數學圖解——James Propp教授專欄

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可視化圖解是數學科普最需要的演繹手段之一，雖難而有意義，且聽馬薩諸塞大學James Propp教授的見聞和觀點。

作者：James Propp（麻省大學教授，數學家）2025-10-18

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-11-12

我非常相信低技術含量的數學。我不喜歡依賴計算機告訴我的東西；如果代碼里有bug怎么辦？我更喜歡相信自己能檢查的東西。同時，我非常清楚自己的想象力是有限的，即使借助紙筆。有時我需要一臺電腦來向我展示一些我能想象但看不到的東西。

一起圖解數學

2016年，位于羅德島州普羅維登斯的布朗大學數學計算與實驗研究所（ICERM https://icerm.brown.edu ）舉辦了一場名為 “圖解數學” 的研討會 https://icerm.brown.edu/program/topical_workshop/tw-16-im ，希望能夠匯聚像我一樣研究數學抽象概念的研究人員，讓他們能夠通過合適的視覺效果將其變為現實。研討會催生了一個社群，該社群不時在ICERM舉行會議 https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09962-z ，并從2023年開始舉辦一系列網絡研討會 https://illustratingmath.org 。

我在網絡研討會上發言過兩次。在2024年，我曾為才華橫溢的數學探索者羅杰·安東森（Roger Antonsen）做過簡短的數學頌詞。如今，他不幸去世了（雖然從他的網站上看不出來 https://rantonse.org/about ），他擁有一種獨特的天賦，能為我們討論過的每個話題創作出精彩的視覺效果。

下面這張引人注目的圖形，只是他在我們郵件交流中創作的數十張圖形之一，，源自我提出的一維氣體確定性模型。

2025年10月10日，我第二次在網絡研討會上發言，時間更短：我做了一個五分鐘的“展示與提問”式演講，作為杰出數學講解員/動畫師格蘭特·桑德森（即 3Blue1Brown https://3blue1brown.com ）的暖場表演。我的簡短演講題為“福特球的演變橫截面” https://faculty.uml.edu/jpropp/ford-spheres.pdf ，旨在試探網絡研討會聽眾的胃口。

我當時想：如果我描述一個引人注目的數學對象，而這個對象至今無人能以一種完全令人（或至少沒有令我）滿意的方式進行圖解，并且與其他網絡研討會參與者分享我的愿景：如何讓這個數學對象更容易被大腦通過眼睛感知，那么我能否說服那些在計算機輔助繪圖領域比我更熟練的人，將我的愿景變為現實？

答案是響亮的“是的！”羅伊斯·尼爾森（Roice Nelson，我以前和他通信過）是幾位表示感興趣的人士之一，我和羅伊斯已經推進了這個項目。可以說我不應該把時間花在這樣的地方——我沒打算寫任何關于福特球的研究文章。我只是覺得它們很酷，如果更好地宣傳，其他人也會覺得它們很有趣。它們就像一首朗朗上口的曲子一樣縈繞在我的腦海里。

87歲的分形

我相信你一定聽說過分形（fractal）——它在1980年代曾風靡一時，至今仍未消退。分形不僅滲透到科學和極客文化領域，也深入到流行文化中，并在2013年迪士尼電影《冰雪奇緣》

Frozen

福特球構成了一種三維分形，盡管萊斯特·福特（Lester Ford）早在1938年就曾在一篇名為《分數》

Fractions

實際上，現在有很多種被稱為福特球排列（Ford sphere arrangements）的排列方式，但福特本人描述的排列方式是這樣的：

這張圖片是Sam Wells和Aidan Donahue制作的視頻截圖 https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI 。視頻對分形進行了一些直觀的理解，但（引用另一位迪士尼電影女主角的話 https://www.youtube.com/watch?v=SXKlJuO07eM&list=RDSXKlJuO07eM&start_radio=1 ）“我還想知道更多”。

福特球為何值得研究？從研究角度來看，它們是福特在1938年的文章中提到的更著名的二維分形的衍生。福特圓 https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle 是有理數的幾何替代，而這些圓相互依偎的方式恰恰反映了數論中的重要事實。

按理說，類似的三維分形也應該有秘密可以教給我們。

到處都是，但幾乎無處可尋

福特球值得一提的另一個原因是，它讓熱愛數學的非數學人士有機會體驗可數稠密集的反直覺行為，讓他們大開眼界。此類集合的原始例子是有理數集：作為實數軸的元素，有理數無處不在，但又幾乎處處不在。

我的措辭略帶挑釁和自相矛盾，但在某種數學意義上，這的確是事實：實數里面幾乎都不是有理數，但實數軸上的每一小段都包含有理數。如果你放大（比如說）2的平方根，無論放大到什么程度，你都會看到分子和分母越來越大的有理數。福特圓賦予了這種“大”的幾何意義：分子和分母越大，對應的圓就越小。

所有福特圓都與一條水平線相切。理解福特圓的一種方法是，把它想象成你試圖在那條水平線上方盡可能多地塞滿圓時得到的結果。首先，在點 ……，-2，-1，0，1，2，……處畫出與數軸相切的等距圓。我只畫出在0和1處與數軸相切的兩個圓，之后忽略它們左側或右側的所有圓：

然后添加一個圓來填補0-圓和1-圓之間的空隙，與 1/2 處的線相切：

然后添加更多圓來填充新的間隙，切點位于 1/3 和 2/3 處：

然后添加更多圓來填充新的間隙，切點分別為 1/4、2/5、3/5 和 3/4：

如果繼續這個過程，你畫出的圓就正是福特圓，全部與數軸相切，并且切點都是有理數，沒有其他數。

現在想象一下，畫好福特圓（或者盡可能多地畫一些圓），然后在圖片上添加一條與我們之前提到的那條線平行但略高于它的水平線。這條新的線會與一些圓相交。如果你稍微向下移動這條新的線，它會與更多的圓相交。隨著你繼續向下移動這條新線，越來越靠近原來的線（我稱之為“極限線”），你會開始與越來越多的圓相交。

從二維到三維

福特也描述了一種類似的高一維的分形。我們有無數個球體，它們都與 x , y 平面相切，并且切點恰好對應于點 (x,y)，其中 x 和 y 為有理數。這是福特繪制的草圖，其中顯示了無限多個球體中的四個：

（是的，四比無窮小得多，但對福特應寬容些：畢竟這是在計算機出現之前。）

我想通過二維的橫截面來描繪這個復雜的三維物體。這是Roice幾天前發給我的動畫之一，這是我們正在進行的工作的一部分：

https://youtu.be/bMiG5VVluNU

它展示了當你將福特球與一個移動的平面相交時會得到什么，這個平面接近但從未達到與所有福特球相切的極限平面（類似于與所有福特圓相切的極限線）。

隨著視頻中時間的流逝和移動平面的移動，我們看到了不斷增長的圓盤和不斷收縮的圓盤的混合；收縮的圓盤是平面已經穿過其中心的球體的橫截面，而不斷增長的圓盤是其中心仍然位于我們前方一點的球體的橫截面。畫面變得越來越模糊。

當然，視頻在達到無限分形模糊之前就停止了；一旦圓圈變得太小而看不見，時間就會逆轉，切割平面就會改變方向，直到我們回到起點。

這段視頻只是粗剪，但我已經看到了一些意想不到的特征：或許可以稱之為光暈和太陽拱門。也許你們中有人能找到方法，用嚴謹的數學方法解釋眼睛所看到的東西，但即使沒有，我也希望這段動畫能給你們帶來視覺上的享受。

我為何要煞費苦心

如果這篇文章能激發大家參加“圖解數學”網絡研討會的月度會議，請訪問網絡研討會鏈接 https://illustratingmath.org/node/42 。或者，如果你足夠勇敢，想要提出一個想法或進行任何形式的五分鐘演講，請訪問 “展示并提問”注冊表單 https://forms.gle/L2T4L9RVurMPEATe7 。或者，如果你只是想看看 Roice 創作的其他精彩視覺效果，請訪問他的網站 https://www.roice3.org 。

我在發表這篇文章前不久意識到，這與我的研究有某種聯系，盡管并非直接聯系，但這可能潛意識地驅使著我去探索福特球。二十年前，我研究過“轉子路由器斑點”，它產生了像托拜厄斯·弗里德里希（Tobias Friedrich）和萊昂內爾·萊文（Lionel Levine）生成的這種圖像：

如果你像我一樣，你的眼睛和大腦會看到幽靈般的圓圈（或近似圓圈），形成由橙色火焰線隔開的帶狀區域。問題是，這些近似圓圈很大程度上是你的眼睛和大腦的產物，由一個叫做 ImageMagick 的軟件介導。我無法弄清楚究竟是哪些像素級細節在我的大腦中產生了幽靈般的近似圓圈。

這就是“數字點畫法”（digital pointillism）挫敗我的地方：當我們放大時，我們往往會忽略我們試圖理解的東西！這是巨幅畫作的創作者面臨的問題：你必須站在畫布附近才能繪制你的筆觸、點或其他東西，但當你站得太近時，很容易真的看不到畫面的全貌。我希望有一天，當我擁有比過去更有效地“審視”這些圖片的工具和技能時，能再次嘗試觀察這些斑點。

我的技能差距在福特球上體現得更為明顯。那些光暈和太陽拱門存在于我的大腦中（我希望也存在于你的大腦中），但它們在像素層面上對應什么？我不知道該如何讓圖片告訴我，但我希望我能學會。

最后，我想提一下將福特球從幻想世界帶入感官世界的最后一個原因：像這樣的視頻可以向非數學家傳達文字和符號無法做到的事情，即為什么數學對我們這些熱愛數學的人來說如此具有吸引力。

感謝David Jacobi和Roice Nelson。

參考資料

https://mathenchant.wordpress.com/2025/10/18/picturing-mathematics/

L. R. Ford， 《分數》 https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/ford.pdf ，《美國數學月刊》，45，586-601。

S. Northshield， 《福特圓和福特球》 https://arxiv.org/abs/1503.00813 ，2015年。

C. Pickover，《美與高斯有理數》，第103章（第243-247頁），載于：“數字奇跡：數學、思想和意義的冒險” Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning ，牛津大學出版社，2001年。

S. Wells 和 A. Donahue， 《福特球》https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI ，2021年。

https://icerm.brown.edu

https://icerm.brown.edu/program/topical_workshop/tw-16-im

https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09962-z

https://illustratingmath.org

https://rantonse.org/about

https://3blue1brown.com

https://faculty.uml.edu/jpropp/ford-spheres.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=L0MK7qz13bU&list=RDL0MK7qz13bU&start_radio=1

https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI

https://www.youtube.com/watch?v=SXKlJuO07eM&list=RDSXKlJuO07eM&start_radio=1

https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

https://youtu.be/bMiG5VVluNU

https://illustratingmath.org/node/42

https://forms.gle/L2T4L9RVurMPEATe7

https://www.roice3.org

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