Tony Phillips教授的數(shù)學(xué)讀報評論2025-08

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本月主題：

1. 杰利蠑螈的數(shù)學(xué)

2. “蛋白質(zhì)宇宙的拓?fù)涮匦浴?/strong>

作者：Tony Phillips（石溪大學(xué)數(shù)學(xué)教授）2025-10-8

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-10-9

1. 杰利蠑螈的數(shù)學(xué)原理

杰利蠑螈（Gerrymandering）是指繪制不成比例地有利于某一政黨的立法地圖的做法。最近，德克薩斯州新制定的親共和黨立法地圖 https://www.texastribune.org/2025/08/23/texas-congressional-map-lawsuit/ 引發(fā)了訴訟，民主黨州甚至威脅要采取類似行動 https://www.nytimes.com/2025/09/10/opinion/gerrymandering-california.html 。哈佛大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅蘭·弗萊爾（Roland Fryer）在2025年8月12日刊登于《紐約時報》的一篇客座文章中 https://www.nytimes.com/2025/08/12/opinion/math-solution-gerrymandering.html ，分享了一個他認(rèn)為有助于識別杰利蠑螈地圖的指標(biāo)。

這一指標(biāo)被稱為“相對接近指數(shù)”（RPI，Relative Proximity Index），由弗萊爾和理查德·霍爾登（Richard Holden）于2007年提出 https://www.nber.org/system/files/working_papers/w13456/w13456.pdf 。它對緊湊性進(jìn)行了精確的數(shù)學(xué)解釋，而緊湊性正是美國國家州議會委員會 https://www.ncsl.org/elections-and-campaigns/redistricting-criteria 制定公平立法地圖的兩大“傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)”之一。（雖然不公正劃分選區(qū)的做法并不被認(rèn)為是好的做法，但法律并未明確禁止。各州只需盡可能劃分人口比例相等的選區(qū)即可。）不同州對緊湊性的衡量標(biāo)準(zhǔn)有所不同，婦女選民聯(lián)盟的這些例子 https://my.lwv.org/sites/default/files/leagues/wysiwyg/North%20Carolina/fs-compact.pdf 就證明了這一點。

目前的緊湊度衡量標(biāo)準(zhǔn)是基于選區(qū)的幾何形狀：狹長的選區(qū)或周長較長的選區(qū)會受到懲罰。然而，F(xiàn)ryer 和 Holden 的指數(shù)則基于選民的位置來衡量緊湊度——具體來說，是選區(qū)內(nèi)選民之間的平均物理距離。該指數(shù)隨后將這一平均物理距離與任何可能的選區(qū)劃分方案所能達(dá)到的最小物理距離進(jìn)行比較。RPI 實際上與目前的衡量標(biāo)準(zhǔn)呈負(fù)相關(guān)，因此可能會推薦與目前使用的地圖截然不同的地圖。

這個平均距離是如何計算的？我們首先將州 S 想象成一個二維平面，居住著編號為 1,2,...,N 的個人。如果該州選出 M 名立法者，則人口均等要求規(guī)定 S 應(yīng)劃分為 M 個選區(qū) D?, D?, ..., D?，每個選區(qū)約有 N/M 名居民。要計算 Fryer 和 Holden 的平均距離測量值，請計算居住在同一選區(qū)的任意一對 i 和 j 之間的物理距離 d_{ij}。對于每個選區(qū) D_k，將所有這些距離的平方相加：

∑_{i,j ∈ D_k} d_{ij}2

然后，將所有 M 個選區(qū)的結(jié)果相加，得到

π(D?, ..., D?) = ∑_{k=1}^{M} ∑_{i,j ∈ D_k}d_{ij}2

Fryer 和 Holden 舉了一個例子來說明這一點。下圖改編自他們的文章，展示了一個假設(shè)的州，該州有兩張可能的立法地圖：一張是藍(lán)色的（B ），另一張是橙色的（ O ）。藍(lán)色地圖中，同一選區(qū)選民之間的平均距離為π(B) = 24 ；橙色地圖中，平均距離為 π(O) = 16。其他分區(qū)的π-得分均不低于 16 。

六個頂點排列成兩行。第一行包含頂點 1、2、3；第二行包含頂點 4、5、6。

在這個簡單的例子中，一個州有六名居民，位于一個 1 公里網(wǎng)格的頂點。他們將被分配到兩個選區(qū)。圖中展示了兩種劃分方案。在藍(lán)色方案中，選區(qū)的人口分別為 {1,2,3}和{4,5,6} 。在橙色方案中，選區(qū)的人口分別為 {1,4,5}和 {2,3,6}。

圖源：Tony Phillips

由于最小平均距離是橙色地圖所達(dá)到的，因此為了計算特定地圖的 RPI，我們?nèi)∑淦骄嚯x與 π(O) 的比值。因此，藍(lán)色分區(qū)的 RPI 等于 π(B) 與 π(O) 的比值，即 24/16 = 1.5。橙色分區(qū)的 RPI 當(dāng)然是 π(O)/π(O) = 1。

這種自然的緊湊性度量方法的缺點在于，目前已知的唯一找到最小平均距離的方法需要測試所有可能分區(qū)集合中的每個元素，而該集合的大小會隨著該州人口的增加而呈指數(shù)增長。作者以加利福尼亞州的簡化模型為例，將該集合的大小設(shè)為 78.4×10??3?1。

事實上，正如他們所說，最緊湊分區(qū)問題是計算復(fù)雜性理論歸類為“NP難”的一類計數(shù)問題之一。是否存在一種通用的方法來控制這些問題是數(shù)學(xué)中一個懸而未決的問題，其重要性足以成為價值百萬美元的千禧年大獎難題之一 https://www.claymath.org/millennium-problems/ 。

因此，就目前情況而言，從實際角度來看，無法獲得精確的解決方案。但作者找到了一種解決方法：利用人口普查數(shù)據(jù)（即該州每個立法選區(qū)的人口中心）中包含的額外信息，他們可以構(gòu)建出一個接近最緊湊分區(qū)的近似值。

為了了解轉(zhuǎn)向最緊湊選區(qū)的實際后果，作者回顧了2000年加利福尼亞州、紐約州、賓夕法尼亞州和德克薩斯州選舉的數(shù)據(jù)，并研究了從現(xiàn)行制度轉(zhuǎn)變?yōu)樽罴阎贫葘⑷绾斡绊戇x舉結(jié)果。針對這兩種情況，他們分析了數(shù)百次選舉模擬，記錄了各政黨贏得的席位比例如何隨其得票率的變化。他們得出結(jié)論，最緊湊的選區(qū)將使選舉結(jié)果在統(tǒng)計上更顯著地反映實際投票情況。

2. “蛋白質(zhì)宇宙的拓?fù)涮匦浴?/strong>

這是2025年8月13日發(fā)表在《自然通訊》Nature Communications上的一篇文章 https://www.nature.com/articles/s41467-025-61108-2 的標(biāo)題。正如標(biāo)題所示，這項工作的范圍非常廣泛：AlphaFold2 數(shù)據(jù)庫 https://alphafold.ebi.ac.uk 中建模的2.14億個獨(dú)特蛋白質(zhì)。作者指出，蛋白質(zhì)科學(xué)的一個主要原則是“蛋白質(zhì)的形狀決定了它的功能”。這促使他們系統(tǒng)地清點數(shù)據(jù)庫中的所有蛋白質(zhì)形狀。為此，他們運(yùn)用了21世紀(jì)拓?fù)鋵W(xué)的一項創(chuàng)新，即對形狀進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，稱為持久同調(diào)（persistent homology, PH，也稱持續(xù)同調(diào)） https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2016-12 。（另見此綜述文章 https://arxiv.org/pdf/2004.00738 ）

持久同調(diào)是一種為點云 X 賦予有意義形狀的方法。使用正實參數(shù) ε，我們在距離小于ε的任意兩點之間畫一條邊；當(dāng)三個點可以放入直徑為 ε 的球體中時，我們填充一個三角形；當(dāng)四個點可以放入直徑為 ε 的球體中時，我們填充一個四面體。這就得到了所謂的單純復(fù)形（simplicial complex），我們記為 X^ε。單純復(fù)形具體的意思是，每當(dāng)一個四面體屬于 X^ε 時，它的三角形面也必須屬于 X^ε，等等。（這根據(jù)我們定義 X^ε 的方式自動實現(xiàn)）

通常將點、邊、三角形和四面體稱為單純形（單數(shù)simplex，復(fù)數(shù)simplices），并按如下方式標(biāo)記它們。 X 中的點 p 是 0-單純形 ?p?， p 和 q 之間的邊是 1-單純形 ?pq?，等等。 k維單純形（我們將使用 ? 中的系數(shù)，即 0 和 1 ，以及 1+1=0）的線性組合稱為一個k-鏈（k-chain）。 X^ε的k-鏈形成一個 ?-向量空間。我們將這個向量空間標(biāo)記為 C_k^ε(X)。它的基是 k-單純形的集合。

同調(diào)是圍繞邊界（boundary）運(yùn)算建立的。四面體 3-單純形 ?pqrs?的邊界是其四個面之和， ?pqr?+ ?pqs?+ ?prs?+ ?qrs?，等等：三角形的邊界是其三條邊之和，邊的邊界是其兩個端點之和，點的邊界是 0 。這在基礎(chǔ)元素上定義了邊界，并且該定義擴(kuò)展到線性變換 ?_k:C_k^ε(X) → C_{k-1}^ε(X)，在我們的例子中對應(yīng)于 k=1,2,3 。

同調(diào)的基本原理是邊界的邊界為零。這在單純形上很容易驗證，因此它對任何鏈都成立。例如，四面體邊界的每條邊恰好出現(xiàn)兩次，分別出現(xiàn)在兩個相鄰的三角形面上，得出系數(shù) 0 mod 2。

這尤其意味著，由某個 (k+1)-鏈的所有邊界組成的空間是所有邊界為零的 k-鏈的子空間。這讓我們將第k個同調(diào)向量空間 H_k^ε(X) 定義為商空間：在 C_k^ε(X) 中，取由所有邊界為 0 的 k-鏈組成的向量子空間，除以由某個 (k+1)-鏈的所有邊界組成的子空間。因此，在商中，如果兩個 k-環(huán)的和是 (k+1)-鏈的邊界，我們就稱它們等價；特別是，如果一個環(huán)本身就是邊界，則它就等價于0。粗略地說，H_k^ε(X) 跟蹤 X^ε 中的 k-環(huán)，它們不是任何邊界。

從這個粗略的意義上講，H?^ε(X) 記錄的是沒有內(nèi)部的多邊形——作者稱之為“洞”（hole）。 H?^ε(X) 記錄的是空的多面體表面，或稱“空隙”（void）。同時， H?^ε(X) 記錄的是位于 X^ε中不同連通分量中的點對。

當(dāng)我們改變 ε 時，持久性就會出現(xiàn)。假設(shè)兩點 1 和 2 的距離 δ 大于我們選擇的參數(shù) ε。那么 C?^ε(X) 中的鏈 ?1?+ ?2? 是一個 0-環(huán)，它不是邊界，因此表示 H?^ε(X) 中的 0 維同調(diào)類。但如果我們增加 ε 直到它大于距離 δ，鏈 ?1?+ ?2? 就成為 1-單純形 ?12?的邊界。也就是說，它的同調(diào)類現(xiàn)在為0。原始類沒有持久化。下面是一個更詳細(xì)的例子。

左圖：四個點，標(biāo)記為 1、2、3、4，參數(shù)為 ε。點 2 到 3、點 3 到 4 以及點 4 到 1 之間均存在線段。點 1 和 2 之間沒有線段。

中圖：參數(shù)已增加到 δ，點 1 和 2 之間現(xiàn)在存在一條線段。

右圖：參數(shù)已增加到 δ'，由點構(gòu)成的四邊形現(xiàn)在已填充。

一維同調(diào)類的生與滅

圖a. 在 X^ε中，邊 ?14?、?34?和?23?不構(gòu)成環(huán)的一部分，因為邊 ?12?不在 X^ε 中。

圖b. 當(dāng) ε 增加到 δ 時，邊 ?12?連接了單純復(fù)形。這四條邊現(xiàn)在構(gòu)成一個無邊界環(huán)，因此是 H?^ε(X) 中的非零類。

圖c. 此類不持久：當(dāng) δ 增加到 δ' 時，2-單純形 ?123?和 ?134?連接復(fù)形 X^{δ'}。鏈 ?12?+?23?+?34?+?14?是?123?+?134?和的邊界，因此這個環(huán)現(xiàn)在在 H?^{δ'}(X) 中為0。

圖源：Tony Phillips

Madsen及其合作者用點云對 2.14 億個 AlphaFold2 蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了近似，其中每個點都給出了該蛋白質(zhì)骨架原子之一在三維空間中的位置。對于人類血紅蛋白這種重要的蛋白質(zhì)，點云中有 574 個點 https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/8890557/ ；對于某些蛋白質(zhì)，點云的數(shù)量則高達(dá)數(shù)千個。對于每個點云，他們記錄了持久同調(diào)性。

左圖：蛋白質(zhì)模型，其中一個環(huán)以紫色突出顯示。

右圖：同一種蛋白質(zhì)，其一組鏈構(gòu)成一個多面體的邊，以紫色突出顯示。

在血紅蛋白亞基之一的持久同調(diào)分析階段中，一個“環(huán)”（loop，表示非零一維同調(diào)類的環(huán)）和一個“空隙”（表示非零二維類的環(huán)）。

圖片1H摘自《自然通訊》16, 7503，根據(jù) CC by-NC-ND 4.0 許可證使用。

作者詳細(xì)闡述了拓?fù)湄S富度（topological richness）的概念，并將其定義為“衡量每種蛋白質(zhì)有多少獨(dú)特、持久的拓?fù)涮卣鳎詺埢鶖?shù) [即該蛋白質(zhì)點云中的點數(shù)，如上所述] 進(jìn)行歸一化”。它是在點云的持久同調(diào)分析中出現(xiàn)的孔洞和空隙的數(shù)量，參數(shù) ε從 0 變化到點云的大小。

在分析中，他們發(fā)現(xiàn)了一些非常驚人的現(xiàn)象：蛋白質(zhì)的拓?fù)湄S富度在生物學(xué)的三個基本領(lǐng)域——真核生物（eukaryota，細(xì)胞有細(xì)胞核的生物；包括所有動物、植物和真菌）、細(xì)菌（bacteria）和古菌（archaea）——之間存在很大差異。對于真核生物，32%的蛋白質(zhì)表現(xiàn)出拓?fù)湄S富度，而細(xì)菌和古菌僅為 10%，古菌僅為 8%。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-august-2025/

https://www.texastribune.org/2025/08/23/texas-congressional-map-lawsuit/

https://www.nytimes.com/2025/09/10/opinion/gerrymandering-california.html

https://www.nytimes.com/2025/08/12/opinion/math-solution-gerrymandering.html

https://www.nber.org/system/files/working_papers/w13456/w13456.pdf

https://www.ncsl.org/elections-and-campaigns/redistricting-criteria

https://my.lwv.org/sites/default/files/leagues/wysiwyg/North%20Carolina/fs-compact.pdf

https://www.claymath.org/millennium-problems/

https://www.nature.com/articles/s41467-025-61108-2

https://alphafold.ebi.ac.uk

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2016-12

https://arxiv.org/pdf/2004.00738

https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/8890557/

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