小樂數學科普：“十杯馬提尼猜想”的證明利用數論解釋量子分形——譯自量子雜志Quanta Magazine

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這個猜想的證明極其困難，它將量子力學與無限復雜的數學結構聯系起來，一位數學家曾為能解決它的人請客提供10杯馬提尼酒。

圖源：Wei-An Ji / Quanta Magazine

作者：Lyndie Chiou、Joseph Howlett（量子雜志撰稿人）2025-8-25

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-8-26

1974年，在侯世達（道格拉斯·霍夫施塔特，Douglas Hofstadter）創作普利策獎獲獎神作《GEB》（中文版譯名《哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成》，英文版名為《G?del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid》，直譯為：哥德爾、艾舍爾、巴赫——一條永恒的金縷）的五年前，他還是俄勒岡大學的物理學研究生。

他的博士生導師去德國雷根斯堡休假時，侯世達也跟著去了，希望能練習一下德語。兩人加入了一群才華橫溢的理論物理學家，他們當時正苦苦思索量子理論中的一個特定問題。他們想確定靠近磁鐵的晶格中電子的能級。

侯世達是個異類，跟不上其他人的思路。現在回想起來，他很慶幸。“我的運氣一部分在于我跟不上他們，”他說，“他們雖然在證明定理，但跟情況的本質毫無關系。”

侯世達決定嘗試一種更務實的方法。他不打算證明定理，而是打算用一臺惠普9820A臺式計算器 https://www.hpmuseum.org/hp9820.htm 來計算一些數字——這臺類似計算機的機器重近40磅，可以通過編程進行復雜的計算。

侯世達需要它來求解薛定諤方程（Schr?dinger equation）的一個特定公式，該方程是量子力學的核心。當輸入關于電子及其環境的某些信息時，薛定諤方程會描述電子的行為。具體來說，它的解可以告訴你電子所能擁有的能量。

在侯世達感興趣的案例中，薛定諤方程包含一個名為α的變量，它是磁場強度與一個網格面積的乘積。α刻畫了作用于電子的力的信息。

侯世達（Douglas Hofstadter）是普利策獎獲獎書籍《哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成》的作者，該書探討了數學、音樂等領域中的自指性質。

侯世達供圖

德國數學家團隊知道，當α為有理數（即整數或分數）時，解薛定諤方程雖然困難，但并非不可能（只要你有一個足夠大的計算器）。但當α為無理數時，也就是說它不能寫成分數，他們就不知道該如何解了。

侯世達沒有像他的同事那樣苦苦思索無理數的情況，而是從他所知道的入手。他編寫了計算器程序，將一個是有理數的α值作為輸入，并將輸出打印在一卷紙上。結果代表了電子的允許能級和禁止能級。

每天晚上，侯世達都會讓他的計算器嗡嗡作響。第二天早上，他回到機器旁，看到一卷紙從機器里展開，上面列出了他設定的每個有理α值對應的能量位置。他把幾張坐標紙粘在一起，用氈尖筆一絲不茍地畫出這些能量值。這幅圖后來被稱為“侯世達蝴蝶”，因為圖表的負空間與這種昆蟲翅膀的圖案非常相似。

當晶體靠近磁鐵時，其電子只能擁有一定的能量。這些能量值取決于晶體的磁通量，磁通量衡量電子受到的力的大小。1974年，侯世達繪制了這一現象的圖表（上圖）。縱軸代表磁通量；橫軸代表電子可能的能量值。侯世達注意到，這些能量形成了分形圖案。這張完整的圖表（下圖）后來被命名為“侯世達蝴蝶”。

上圖：侯世達（Douglas Hofstadter）提供；

下圖：Douglas Hofstadter CC BY SA 3.0，來自 Wikimedia Commons

侯世達的同事們無法理解他這種費力的做法。他們開玩笑說，他這是在把稻草紡成金子，還把他的計算器叫做“侏儒計算器”（Rumpelstilzchen，是格林兄弟收錄的德國民間童話角色，該妖怪以能夠將稻草紡成黃金的超自然能力著稱。 故事中通過三次魔法交易幫助磨坊主女兒擺脫困境，最終因真實姓名被識破而暴怒自戕的情節構成敘事核心——zzllrr小樂譯注）。

就連他的導師也認為他的研究只是“數字命理學”，并威脅要停止資助他。“他說我講迷信，胡言亂語，”侯世達說，“在數字中尋找意義和模式，即使它們并不存在。”

但坐標紙上浮現的蝴蝶卻激起了他的興趣。侯世達注意到，當他輸入一個分數時，允許的能量會被一長串的禁止值打斷。隨著分數越來越復雜，分母的位數越來越多，可能的能量之間的斷點也越來越多。能量值開始形成一種視覺上引人注目的圖案——分形，這意味著分形中較小的部分看起來與整體相同。

他的直覺告訴他，這反映了一個深刻的數學真理。“我很清楚，我抓住了老虎的尾巴，”他說。他認出了那只老虎。它就是康托集。

該集合以數學家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）的名字命名，他于1883年通過一條簡單的規則推廣了該集合：取一條線段，將其分成三等份，然后擦去中間的三分之一。這樣就剩下兩條線段，中間有一條空隙。現在，擦去每條線段中間的三分之一，以此類推。如果無限次地重復這個過程，就會得到一個無限的點集，像塵埃一樣沿著數軸散布開來。

圖源：Merrill Sherman / Quanta Magazine

侯世達絕不會代入α的無理數值。無理數無法用分數來表示——這需要分子或分母有無窮多位數字，而這在計算器中是無法處理的。但他注意到，隨著α的有理數值越來越接近無理數，其允許的能量值集合——也就是他蝴蝶圖每一行的墨跡——看起來越來越像康托集。因此，他假設，當α為無理數時，可能的能量將形成一個真正的康托集。

幾年后，兩位杰出的數學家從截然不同的角度得出了相同的結論。巴里·西蒙（Barry Simon）和馬克·卡克（Mark Kac）一直在研究他們所謂的“概周期函數”（almost-periodic，也稱殆周期）。周期函數的輸出，例如正弦波，會一遍又一遍地重復。而概周期函數則會描繪出一條非常接近重復的路徑，但永遠不會重復。

1981年，卡克和西蒙共進午餐，討論了侯世達及其同事試圖求解的薛定諤方程版本。當α為無理數時，該方程變成了一個概周期函數。這正是他們一直在研究的現象。基于他們對概周期函數的了解，侯世達是對的：當α為無理數時，允許的能級應該形成一個康托集。

但西蒙和卡克也無法證明這一點。卡克說，誰能證明，他就請客給誰買10杯馬提尼酒。西蒙開始宣傳卡克的提議，這個問題后來被稱為“十杯馬提尼猜想”。

數學家馬克·卡克曾為任何能解決量子理論中一個重要問題的人提供10杯馬提尼酒。2004年，卡克在證明完成前去世。上圖為一群致力于該問題的數學家在當年舉行的一次會議上慶祝這一證明的完成。

圖源：Michael Aizenman

多年來，數學家們不斷努力，證明了某些（但并非全部）無理數α值的猜想。西蒙在1??982年宣布了其中一個中間結果。卡克請他喝了三杯馬提尼。1984年卡克去世時，這個問題依然懸而未決。一個值得獲得全部10杯馬提尼酒的證明，直到20年后才出現。

微瑕

2003年， 斯維特蘭娜·吉托米爾斯卡婭 （Svetlana Jitomirskaya）花了數年時間研究薛定諤方程中蘊含的概周期函數 https://www.quantamagazine.org/in-math-and-life-svetlana-jitomirskaya-stares-down-complexity-20221101/ ，最終放棄了她畢生追求的證明“十杯馬提尼猜想”的目標。一年前，一位名叫若阿金·普伊格（Joaquim Puig）的競爭對手已經證明了除少數幾類無理α值外，所有類型的猜想都成立。而且，他使用了她之前發表的技術。“我當時真是后悔不已，”她說道，“我的證明中已有最難的部分，然后卻是他提出了這個漂亮的證明。”

因此，當一位名叫阿圖爾·阿維拉（Artur Avila）的24歲數學家來找她，并建議他們研究α的其余數值時，她感到很驚訝。“我告訴他這會非常困難，非常耗時，而且沒人會在意，”她說。

阿圖爾·阿維拉（Artur Avila）

但他們確實做到了。他們于2005年在網上發布的證明最終發表在了數學領域最負盛名的期刊《數學年鑒》上。 阿維拉后來憑借他對這個問題的研究獲得了菲爾茲獎 https://www.quantamagazine.org/artur-avila-is-first-brazilian-mathematician-to-win-fields-medal-20140812/ 。

他們決定親自履行10杯馬提尼的合同。“我們喝了很多慶祝酒，包括馬提尼，”吉托米爾斯卡婭說。

斯維特拉娜·吉托米爾斯卡婭 (Svetlana Jitomirskaya) 花了數十年時間研究電子量子行為中出現的微妙模式。

圖源：Monica Almeida

但從某些方面來看，這個證明有點不盡如人意。吉托米爾斯卡婭和阿維拉使用的方法只適用于某些α無理數值的情況。通過將其與之前的中間證明相結合，他們可以說問題已經解決了。但這個組合證明并不優雅。它就像一塊拼布，每個方格都由不同的證明拼接而成。

此外，這些證明僅僅解決了最初提出的猜想，即對電子環境做出簡化的假設。更現實的情況更加復雜：固體中的原子排列方式更復雜，磁場也并非完全恒定。“你已經驗證了這個模型，但這與現實有什么關系？”瑞士蘇黎世聯邦理工學院的數學家西蒙·貝克爾問道。

這些更現實的情況需要你調整薛定諤方程中出現α的部分。而當你這樣做的時候，十杯馬提尼酒的證明就失效了。“這一直讓我很困擾，”吉托米爾斯卡婭說。

在這些更廣泛的背景下證明的崩潰也意味著，已經出現的美麗分形圖案——康托集、侯世達蝴蝶——只不過是一種數學上的好奇心，一旦方程變得更加現實，它就會消失。

阿維拉和吉托米爾斯卡婭轉向了其他問題。就連侯世達也心存疑慮。如果實驗真的發現了他的蝴蝶，他曾在《哥德爾、埃舍爾、巴赫》 一書中寫道：“我會是世界上最驚訝的人。”

但在2013年，哥倫比亞大學的一組物理學家在實驗室里捕捉到了他所構想的蝴蝶。他們將兩層薄薄的石墨烯置于磁場中，然后測量了石墨烯電子的能級。量子分形的光芒由此顯現。“突然間，它從數學家的幻想變成了實際的東西，”吉托米爾斯卡婭說。“這變得非常令人不安。”

她想用數學來解釋這個問題。一位新的合作伙伴想出了一個辦法。

又一回合，略有不同

2019年，葛靈睿加入了吉托米爾斯卡婭的團隊。他受到了吉托米爾斯卡婭和阿維拉在十杯馬提尼酒問題上所做的研究的啟發，同時也受到了阿維拉一直以來努力追求的研究方向的啟發。

阿維拉厭倦了數學家們用來理解概周期函數的零碎方法。他轉而開始發展所謂的“整體理論”（global theory）——一種揭示各種概周期函數中更高層次結構的方法，然后他可以用這種方法一次性解決所有類型的函數。

葛靈睿幫助開發了一種新方法來理解概周期函數的解，即量子物理學中出現的重要方程。

葛靈睿供圖

為此，他將一個幾何對象與給定的概周期函數聯系起來，并研究了它的性質。他意識到其中一些幾何性質可以幫助他求解原始函數。

但它只適用于某些類型的函數。它無法處理十杯馬提尼酒問題所需的計算類型。目前還不清楚它是否真的能做到。

這是因為，為了證明“十杯馬提尼猜想”，數學家必須先將薛定諤方程轉化為一個相關的方程，即它的對偶方程，然后再求解這個新方程。阿維拉的理論無法揭示對偶方程的更高層次結構。

至少他是這么想的。但葛教授對阿維拉描述的幾何對象很感興趣。他猜測這些對象的其他性質隱藏著更多信息——這些信息或許可以闡明對偶方程的某些方面。“我可以看出這是一個非常漂亮且重要的理論，”葛教授說。

他和吉托米爾斯卡婭，以及中國南開大學的尤建功和周麒，找到了一種新的方法來解釋阿維拉的幾何對象，并將其應用于對偶。這使得該理論更加強大。這也使得葛靈睿、吉托米爾斯卡婭和尤建功可以寫出一個證明，在多種不同情況下解決十杯馬提尼問題的不同版本。無需拼湊。

這一結果鞏固了“侯世達蝴蝶”作為一種真實存在現象的地位。抽象的數論世界在物理學領域中占據著舉足輕重的地位。

此后，數學家們利用他們版本的阿維拉整體理論解決了該領域的另外兩個關鍵問題。他們預測，這只是他們利用所發現方法的開端。“我們發現了整體理論背后隱藏的秘密，”葛靈睿教授說。“它就像黑暗大海上的一盞明燈，指引著我們正確的方向。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/

https://www.hpmuseum.org/hp9820.htm

https://www.quantamagazine.org/in-math-and-life-svetlana-jitomirskaya-stares-down-complexity-20221101/

https://www.quantamagazine.org/artur-avila-is-first-brazilian-mathematician-to-win-fields-medal-20140812/

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