四十不惑系列之（二十二）科學研究中的數學方法

科學和哲學一直都是相互影響，相互促進的。但是當我們將焦點放在它們各自使用的方法時，科學的方法比哲學要簡單得多。究其原因可能是現實物質世界比人那顆瞬間千百念頭的腦袋要純粹，也沒有情緒和蠻不講理，更加沒有機智百辨。

科學與哲學間的關系，用牛頓在1687年發表的，預示著科學時代來臨的著作的名字就是最佳的體現，這本著作名稱是《自然哲學的數學原理》。

是什么讓由物質組成的人類如此的復雜了呢？是欲望還是利益？還是魔鬼和天使的對抗？哲學家們在倫理這個范疇內吵吵嚷嚷，改變著社會形態也促進了文化和科技大發展。自以為美好愿景的提出也導致了罪惡的深淵。要討論這些還有很遠的路要走。

相對于復雜的人性和倫理，還有誕生于法庭辯論的哲學邏輯和哲學方法之前，我們先看看更加純粹的科學研究的方法。

很自然的科學最初的方法是觀察，明銳的洞察力往往意味著天才的誕生。隨著時代的發展，天才們想要獲得突破也越來越難，明銳的洞察力需要配合耐心、大膽的猜想，嚴謹的推導，并構建實驗證明才能構成被認可的理論。

1774年，拉瓦錫通過實驗證明燃燒的氧化本質，奠定了現代化學的基礎。

1838-1839年，施萊登和施旺提出了細胞學說，開辟了生物學研究的新方向。

1840年，邁爾、焦耳、亥姆赫茲獨立發現了能量守恒和轉化定律。

1859年，達爾文出版了《物種起源》。對生物構建實驗是不人道的，也因為沒有嚴謹的實驗證明，此學說飽受質疑。直到分子生物學的到來才從理論上給予了支撐。

11869年，門捷列夫編制了原素周期表。

1873年，麥克斯韋出版了《電磁場論》，統一了電、磁、光現象。

進入20世紀，科學研究的方法似乎已經非常成熟。但與科學革命之前的科學家們一樣，受限于觀測手段。科學發現越來越困難，相對于科學發現，基于數學原理的理論研究和各種假說走在了科學發現的前面。特別是千禧年之后的量子力學領域。

科學的方法除了觀察之外，數學的規則似乎是天生就內嵌在科學研究之中的。其中不僅僅是數學的計算方法和規則還包括數學的內涵和精神。其中數學的等價和抽象更是構建了科學家的思維基礎。

數學中的等價是指數學計算中的單位等價。這不僅僅是數學運算的基本規則，也是數學邏輯的基本原則。不等價的單位需要先進行轉化才能進行計算。雖然我們可以在純粹的數學游戲中忽略計算量“單位”的意義，但是單位的等價是數學和科學推演具有現實意義的基礎。同樣數學計算是否具有現實意義也是判斷計算是否正確的基礎。

數學中的單位等價：1角+1元=11角。計算時需要先將1元轉換為10角進行計算。

如果我們給予計算項賦予一個錯誤得意義，那么算式是錯誤的，沒有意義的。1角×1元顯然是一個錯誤的計算。因為其計算的結果沒有實際的意義，無法定義計算結果而是錯誤的算式。而2米×2米=4平米的計算則因為其結果表征了平面的面積而是有價值并且正確的。

很不幸的是，在某個國家的數學教育中喜歡玩弄脫離現實意義的數學游戲，并以此為榮，而這導致了混亂和錯誤。

數學的單位等價和計算項具有意義是科學計算能夠成立和具有普遍性的基礎。這就是物理公式和方程式中要求所有量綱（如長度、時間、質量等）保持單位一致的原因。例如，在計算功的公式W=F×d 中，如果力 F 的單位是牛頓（N），而距離 d 的單位是厘米（cm），直接相乘就會得到錯誤的結果。我們必須先將厘米轉換為米（m），才能得到以焦耳（J）為單位的正確功值。

而在物理公式的推導過程中，如果某一推導過程發生了無意義的運算，那么其結果也是錯誤的。這一點說起來容易，而在復雜的用大量數學符號表述的，未被實驗確認的量子力學公式之間的推導過程則困難的多。有時候某些運算項之間具有想象的，可能存在的現實意義。例如：如果我們給引力一個符號Y。那么引力與磁場強度H的運算結果的意義是什么？Y與天文學單位光年ly的計算結果是否具有現實意義呢？

第二個天生存在于科學中的數學概念是抽象，數學的抽象是剝離事物的細節表象，將事物背后的普遍、本質的結構、關系和模式抽取出來用于數學計算。它有三個層次。

從具體事物到數字：這是最基礎的抽象。當我們看到三只蘋果、三棵樹、三個人時，我們抽離了蘋果、樹、人這些具體的屬性，只留下“三”這個共同的數量概念。這就是從具象到抽象的第一步。

從具體運算到數學結構：當我們發現 2+3=5、一堆蘋果加另一堆蘋果等于總和、一個集合加上另一個集合得到一個新集合時，我們抽象出背后的加法和集合這兩個概念。這些概念可以脫離具體的蘋果和集合，成為獨立的數學研究對象。

從數學結構到更高層次的理論：再進一步，數學家們會抽象出更深層的結構。比如，他們會發現整數的加法和乘法、多項式的加法和乘法、矩陣的加法和乘法都有相似的性質（比如交換律、結合律）。通過抽象，他們將這些相似性提煉出來，創造出群論、環論、域論等更普遍的代數結構理論。這些理論不再關心具體的數字或矩陣，而是關心滿足某些規則的運算本身。

抽象如何與現實的意義相結合的呢？通過謹慎的、精確定義的每一個概念和公理。抽象的核心作用體現在。

1. 普適性：抽象使數學理論具有驚人的普適性。一個抽象的數學定理，比如關于群論的定理，可以同時應用于物理學的粒子模型、化學的分子結構、計算機科學的密碼學等多個看似不相關的領域。一個定理的證明可以一次性解決無數個具體問題。

2. 嚴謹性：抽象迫使我們精確定義每一個概念和公理。當我們只關注結構和規則時，可以避免現實世界的模糊性和不確定性。這使得數學成為一門高度嚴謹、邏輯自洽的學科。

3. 預測性：抽象模型能幫助我們預測現實世界的行為。例如，通過抽象出運動和力的概念，牛頓的數學模型成功預測了行星的軌道。在現代，抽象的數學模型被用于預測天氣、模擬股票市場、設計飛機等等。

正確的抽象可以更好的理解和研究現實世界。錯誤的，違背現實規律和意義的抽象則可能導致一個學術上的遭難。抽象必須是具有現實意義和具有理論、實驗支撐的。這一點在哲學上則困難的多。