小樂數(shù)學(xué)科普：為什么數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)不會(huì)完備——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆

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每周量子雜志

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圖源：Quanta Magazine量子雜志

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-7-21

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-7-28

20世紀(jì)之交，數(shù)學(xué)似乎走在了一條完美的道路上。在對不精確的定義和令人不安的悖論進(jìn)行了幾十年的清算（現(xiàn)在被稱為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)的時(shí)期）之后，數(shù)學(xué)家們終于開始為該領(lǐng)域建立堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。他們的目標(biāo)是制定一個(gè)所有數(shù)學(xué)都可以依賴的基礎(chǔ)真理或公理的最小列表。

如果他們成功了，即使是最深?yuàn)W的結(jié)果也有可能從這些簡單、自然的假設(shè)中得出。一開始，數(shù)學(xué)家可以使用公理來證明簡單的命題；隨后他們就可以使用這些命題來證明更復(fù)雜的定理等等。未來的數(shù)學(xué)家們可以繼續(xù)為這座大廈添磚加瓦。只要有足夠的時(shí)間和創(chuàng)造力，任何真理都不會(huì)遙不可及。

每個(gè)人大概都是這么想的。

大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）

事實(shí)證明，數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）最突出倡導(dǎo)的“完備”（complete）數(shù)學(xué)夢想代表了啟蒙運(yùn)動(dòng)時(shí)代對這個(gè)問題的樂觀看法。

1931年，庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）用他的兩個(gè)“不完備性定理”（incompleteness theorems，有時(shí)也稱不完全性定理）的證明 https://www.quantamagazine.org/how-godels-proof-works-20200714/ 粉碎了希爾伯特的夢想。

第一個(gè)定理的證明表明，對于任何足夠強(qiáng)大的公理集（包括現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的公理），總存在一些無法被證明是真或假的數(shù)學(xué)真理。它們被證明是無法被證明（或證否）的。

哥德爾第二個(gè)定理的證明建立在這個(gè)想法之上，證明這樣一組公理永遠(yuǎn)不能用來證明它自己的一致性（consistency，有時(shí)也稱相容性）。這些公理可能會(huì)導(dǎo)致相互矛盾的命題，如果數(shù)學(xué)家僅限于使用這些公理，他們就不會(huì)變得更聰明了。

你可能會(huì)認(rèn)為這樣的結(jié)果會(huì)扼殺一門如此致力于追求絕對真理的學(xué)科的進(jìn)步。但大多數(shù)數(shù)學(xué)家仍然能夠證明他們想要證明的命題。與此同時(shí)，哥德爾的不完備性定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域開辟了一個(gè)全新的研究領(lǐng)域。數(shù)學(xué)家現(xiàn)在不僅可以專注于發(fā)現(xiàn)什么是正確的，還可以專注于發(fā)現(xiàn)什么是可知的。解決這個(gè)想法仍然是當(dāng)今數(shù)學(xué)的核心實(shí)踐。

新增的和值得注意的內(nèi)容

多虧了哥德爾的工作，數(shù)學(xué)家們知道，如果他們從現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的常用公理出發(fā)，就會(huì)有一些他們無法證明真假的命題。為了證明這些命題，他們需要在這些基礎(chǔ)上引入新的公理。這些新公理通常涉及一個(gè)違反直覺且令人著迷的數(shù)學(xué)概念：無窮大（infinity）。

無窮大有許多不同的大小。自然數(shù)集（0、1、2、3、4 ...）的大小等于所有偶數(shù)的集合和所有分?jǐn)?shù)的集合的大小。但是所有實(shí)數(shù)的集合（數(shù)軸上的所有數(shù)字）比這些集合都要大得多，即使它們都是無限的（無窮的）。

數(shù)學(xué)家們提出了公理來定義更大、更奇特的無窮大類型。最近， 量子雜志報(bào)道了三位數(shù)學(xué)家聲稱發(fā)現(xiàn)了兩種新的無窮大的工作 https://www.quantamagazine.org/is-mathematics-mostly-chaos-or-mostly-order-20250620/ ，它們的行為與數(shù)學(xué)家預(yù)期的不符。這一發(fā)現(xiàn)可能意味著數(shù)學(xué)世界比預(yù)期的要混沌得多。

一般來說，定義新公理的最佳方法——即對數(shù)學(xué)世界有更完備（盡管從未徹底完備）理解的最佳方式引起了激烈爭論https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/ 。（參閱小樂數(shù)學(xué)科普：）

在哥德爾發(fā)表他的不完備性定理幾年后，艾倫·圖靈（Alan Turing）等人以他的想法為基礎(chǔ)，證明存在“不可判定”（undecidable）的數(shù)學(xué)命題。它們無法通過任何計(jì)算機(jī)算法解決。

正如希爾伯特的夢想不能免受不完備性這一概念的影響一樣，它也不能免受不可判定性這一概念的影響。1970年，數(shù)學(xué)家們證明希爾伯特綱領(lǐng)的另一個(gè)主要支柱——他的“第10問題”，即他提出的幫助強(qiáng)化數(shù)學(xué)發(fā)展的23個(gè)問題之一——是無法判定的。

該問題給數(shù)學(xué)家們帶來的挑戰(zhàn)是，要求他們找到一種算法來判定任何“丟番圖”方程（一類簡單多項(xiàng)式，例如 y = x2 – 1）是否具有整數(shù)解。今年，我報(bào)道了顯著擴(kuò)展這一結(jié)果范圍的工作 https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/ ——這表明數(shù)學(xué)世界的另一部分是不可知的。

《量子雜志》報(bào)道中我最喜歡的（可能）無法回答的問題：復(fù)制某一組形狀之后可以無重疊地覆蓋所有空隙嗎？尋找這種稱為“密鋪”（tilings，有時(shí)也稱鋪砌、平面鑲嵌）的排列，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要主題。事實(shí)證明，一些密鋪問題是無法判定的：給定一些形狀集，無法判定它們是否會(huì)密鋪空間。

但是，當(dāng)你只考慮一種形狀呢？關(guān)于單個(gè)鋪砌塊（單瓦片monotile）的命題是不可判定的嗎？2022年，雷切爾·格林菲爾德 （Rachel Greenfeld）和陶哲軒（Terence Tao） 發(fā)現(xiàn)了一種可以以非重復(fù)即非周期性模式密鋪所有空間的單一形狀，震驚了數(shù)學(xué)界密鋪領(lǐng)域 https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/ 。

但是，僅僅因?yàn)榉侵芷谛詥瓮咂嬖诓⒉灰馕吨豢膳卸ǖ耐咂嬖凇＿@兩位數(shù)學(xué)家希望他們開發(fā)的技術(shù)也能幫助他們最終找到一個(gè)無法判定的瓦片。

與最初看起來的“喪鐘”相去甚遠(yuǎn)，不完備性已成為數(shù)學(xué)的福音。事實(shí)證明，唯一比純粹的、無可爭議的真理更有趣的是，這種真理性往往是無法實(shí)現(xiàn)的。未來的數(shù)學(xué)家將不再像希爾伯特所設(shè)想的那樣，只是在知識(shí)大廈上做不斷疊加層次的工作。他們的任務(wù)將更加困難：為我們判定哪些事情可以判定，哪些事情不能判定。

網(wǎng)絡(luò)上的報(bào)道

我第一次涉足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)是《羅素的故事》

Logicomix

Logicomix小說簡介

這部非凡的圖畫小說講述了哲學(xué)家伯特蘭·羅素的精神冒險(xiǎn)之旅。在對絕對真理的痛苦追求中，羅素遇到了戈特洛布·弗雷格、大衛(wèi)·希爾伯特和庫爾特·哥德爾等傳奇思想家，并在偉大的路德維希·維特根斯坦那兒找到了一位充滿激情的學(xué)生。但他最雄心勃勃的目標(biāo)——建立不可動(dòng)搖的數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)——仍然擺在他面前。通過愛與恨、和平與戰(zhàn)爭，羅素堅(jiān)持著艱苦的使命，這威脅著他的職業(yè)生涯和個(gè)人幸福，最終將他推向了精神錯(cuò)亂的邊緣。

這本故事既是一部歷史小說，也是對數(shù)學(xué)和現(xiàn)代哲學(xué)的一些偉大思想的通俗易懂的解釋。憑借豐富的人物塑造和富有表現(xiàn)力、大氣的藝術(shù)加工，這本書將對這些想法的追求變成了一個(gè)非常令人滿意的傳奇故事。

這本書探討深入，層次巧妙，揭示了羅素內(nèi)心的掙扎，同時(shí)將它們置于他畢生試圖回答的永恒問題的背景下。從本質(zhì)上講，Logicomix是一個(gè)關(guān)于理想理性與不變而有缺陷的現(xiàn)實(shí)之間沖突的故事。

Marcus du Sautoy在YouTube視頻的Numberphile頻道 https://www.youtube.com/watch?v=O4ndIDcDSGc 中解釋了不完備性的基礎(chǔ)知識(shí)。

對數(shù)學(xué)上的勇士而言，更深入地研究哥德爾的證明、希爾伯特的第十問題和數(shù)學(xué)公理可以在已故數(shù)學(xué)家馬丁·戴維斯（Martin Davis）撰寫的2006年美國數(shù)學(xué)會(huì)通告 https://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf 中找到。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/how-math-helps-tame-natures-chaos-4867089

https://www.quantamagazine.org/how-godels-proof-works-20200714/

https://www.quantamagazine.org/is-mathematics-mostly-chaos-or-mostly-order-20250620/

https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/

https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/

https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/

https://www.bloomsbury.com/us/logicomix-9781596914520/

https://www.youtube.com/watch?v=O4ndIDcDSGc

https://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf

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