伊桑戈骨頭棒，人類數學的黎明，2001太空漫游的引子

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1. 簡介

伊桑戈骨頭棒是在伊桑戈（Ishango）發現的一塊距今 22000 年的骨頭，該地區位于剛果和烏干達交界處，靠近盧旺達。在殖民時期，它從剛果運往比利時。伊桑戈骨頭棒是庫布里克的電影《2001：太空漫游》中著名開場鏡頭的隱喻，

2. 歷史和數學背景

伊桑戈骨頭棒是比利時考古學家Jean de Heinzelin de Braucourt 在剛果一個名叫伊桑戈的村莊附近發現的文物（圖 1）。這發生在70多年前，當時剛果民主共和國還是比利時的殖民地。發現者將這塊石化骨骼帶到了位于布魯塞爾的比利時皇家自然科學博物館（RBINS），并一直保存至今[8,9]。

圖1：伊桑戈“月亮山”景色（左）和殖民時代的讓·德·海因澤林（右）在挖掘現場。

骨頭棒上有三列清晰可辨的精細、鋒利的雕刻（圖2）。一列按以下順序顯示劃痕:3、6；4、8；10、5；5、7。這些數字加起來是48。前兩對可以提示乘法運算。另外兩列分別顯示了分組11、21、19、9和11、13、17、19；也就是10 + 1、20 + 1、20 - 1、10 - 1和10到20之間的質數。德·海因澤林在他關于伊桑戈發掘的報告中提出了一個假設，即這根棍子是某種算術游戲的證據，他后來在1962年廣為閱讀的《科學美國人》文章中重申了這一點。

圖2：伊桑戈骨頭棒

數年后，美國考古學家亞歷山大·馬沙克（Alexander Marshack）對最后兩列的總和為 60 這一事實給予了更高的評價，他將其解釋為兩個月的天數[19]。他認為，第一列的總和 48 相當于一個半月。因此，馬沙克指出，這根骨頭棒應被視為天文歷法。盡管這些雕刻背后有著不為人知的神秘邏輯，但不可否認的是，在很長一段時間里，這根骨頭棒仍然只是一件來自非洲中心地帶的孤立而奇特的工藝品。半個世紀以來，它一直被收藏在博物館的 19 層，不為博物館的普通游客所見。

這一疏忽的部分原因是該文物太獨特了。此外，考古學家們一直在討論這根骨頭棒的年代。在 20 世紀 50 年代發現這根骨頭棒時，沒有可靠的火山地區物體碳14測年表。長話短說，這個問題現在已經解決，至少有四種不同的測年方法證實，伊桑戈骨頭棒至少有 22 000 年的歷史。對于某些人來說，這將把數學的誕生時間至少向后推了 15000 年，而數學的誕生以前被認為是在希臘或埃及。

自 20 世紀 50 年代以來，由于阿舍爾[1]、克羅[7]、格爾德斯[13]、約瑟夫[16]、納爾遜等人[21]和扎斯拉夫斯基[28]的研究工作，我們對非洲數學的認識有了很大提高。對伊桑戈骨頭棒數學性質假設的經典反對意見是棒上沒有任何文字，而在某些人看來，文字是"數學"推理所不可或缺的。然而，關于一位非洲計算天才[12]在作為奴隸來到美國之前就已經掌握了計算知識的報道，以及非洲棋盤游戲（如 awari [25]、boa [14]、igisoro [6]、kubuguza [20]或 omweso [23]）甚至在現代仍有人玩的例子，都證明了相反的觀點[2]。值得注意的是，這些棋盤游戲確實是很聰明的游戲。最近，諾基亞 3310 手機就采用了這種被稱為"bantumi"的游戲。此外，非洲還存在許多不同的數學符號方法，其中包括繩索、木棍和骨頭，雖然這些物品很少在博物館展出[17]，但傳教士的報告描述了它們的用途，而且有些物品上確實有與伊桑戈骨頭棒上類似的標記。

新興的 "民族數學 "學科也確定了非洲人在計數系統方面的創造性。例如，"8 "通常表示為 "4-4"，一些非洲人說 "5-12 "而不是 "17"，因為他們使用的是基數 12，而不是 10。當他們用基數 12 計數時，為了表示這個基數的數位，他們會用拇指依次指向同一只手其余四個手指的 12 個指骨。因此，48 = 4×12 和 60 = 5×12 這兩個和數可能有純粹的算術淵源（類似于購買商品時喜歡以一打12為單位）。這些觀察結果支持了一種說法，即伊桑戈骨頭棒的標記可能表示以不同的基數（如 12）進行計數。在非洲，同樣常見的是將數學意義賦予蝕刻線：沙地和衣服上的蝕刻方案顯示出大量的結構特征，在一些數學家看來，這意味著使用基本圖形或分形結構的抽象圖形或幾何娛樂。

一個懸而未決的問題是伊桑戈骨頭棒上的 "質數 "的意義。非洲有證據表明存在復雜的計算。約魯巴語的基數為 20 的乘法[10]表明，基數 10 對于進行困難的計算并非不可或缺。同樣，"埃塞俄比亞 "乘法系統只使用加倍和減半，這也可以解釋伊桑戈骨頭棒上出現加倍的原因。遺憾的是，非洲其他地方還沒有質數的記錄。

有鑒于此，歐洲航天局的研究員 V. Pletser 提出了第三種不那么引人注目的假設，即伊桑戈骨頭棒只是一個民族以 6 或 12 為基數計數的見證[24]。他們可能按照數字的發音將線條分組，就像今天西方計數法中常見的按 5 或 2 分組一樣。

無論真實的解釋是什么，這根骨頭棒上的標記背后都有一些不可否認的邏輯。當然，要推斷出這根骨頭棒可能對埃及和古希臘等地產生過任何影響[18]、[22]、[27]，還是邁出了太大的一步。正如《懷疑論者》（The Skeptical Inquirer）[26]所指出的，科學家們從來不會像廣大讀者所希望的那樣肯定地陳述問題，事實上，在這里應該謙虛一些。然而，另一些人對古代數學文物存在的說法走得更遠。他們指出，在南非和斯威士蘭交界處的萊邦博山脈洞穴挖掘時，發現了一根狒狒的腓骨[3]。這塊 7.7 厘米長的骨頭距今已有 3.5 萬年歷史，上面有 29 處界限分明的雕刻，但沒有任何明顯的邏輯 "關系"。Francesco d'Errico 認為，在 "Blombos "洞穴中發現的一塊鵝卵石證明了幾何思維，因為它有七條平行線，因此這個距今 5 萬至 7 萬年的物體可能是已知最古老的具有 "設計 "的物體 [11]。當然，這些說法并不能反駁伊桑戈骨頭棒是迄今發現的最古老的具有數學意義的物體這一假設。恰恰相反，它們使該物品成為非洲"數學意識"的一個不那么奇特的證明，遠早于埃及或希臘[4]。

總之，在過去的 50 年里，這根骨頭棒的年代得到了確定，有關其用途的數學論證也從幾種神秘的解釋簡化為簡單的解釋，即這根骨頭棒不過是一根簡單的混合基數的計數棒，但無疑是最古老的計數棒。就這樣，在布魯塞爾比利時皇家自然科學研究所 19 層的抽屜里塵封了半個世紀之后，2001 年，這根伊桑戈骨頭棒來到了相關博物館的主廳。

然而，伊桑戈本身并沒有揭開它的所有秘密。德·海因澤林在臨終前寫了一篇論文草稿，介紹了他多年前發現的第二根伊桑戈雕刻棒[15]。2007 年，在比利時皇家學院舉行的一次會議上，第二根伊桑戈骨頭棒亮相。它受到了媒體的極大關注。有關它的新聞登上了受人尊敬的《世界報》的頭版頭條，從而證明了伊桑戈和數學仍然可以讓人們夢想成真。值得一提的是，包括 CNN 在內的所有媒體的關注都有助于說服比利時當局將伊桑戈骨頭棒作為布魯塞爾博物館永久展覽的一部分。畢竟，伊桑戈骨頭棒是殖民時期在前比屬剛果發現的，而比利時的殖民歷史至少可以說并不成功。

3. 藝術概念

伊桑戈骨頭棒首次展出的 2001 年也是比利時擔任歐洲共同體輪值主席國的一年，因此也是充滿 "新期望 "的一年。2001 年還與斯坦利·庫布里克的電影《2001 太空漫游》有關 [5]。影片開頭的場景眾所周知：人類祖先將其首次發現的工具--一根骨頭扔向太空，這根骨頭在太空中旋轉并變成了一艘太空船。庫布里克的電影通常被視為具有遠見卓識，隨著時間的推移，人們逐漸萌生了通過實際攜帶伊桑戈骨頭棒進入太空來實現其遠見卓識的想法，以此向《2001 太空漫游》中的隱喻致敬（見圖 3）。

圖3：《2001太空漫游》劇照

太空中失重漂浮的骨頭將進一步體現電影《2001：太空漫游》中廣為人知的開場情節，并強化流行文化中對該情節的引用，如《辛普森一家》中出現的著名情節，以及廣告中使用的其他情節。與冗長的解釋相比，一張圖片更有說服力，也更直接。此外，還可以用最低的成本實現這一目標，因為將一個只有 10.2 厘米長、小鉛筆大小的物體帶入太空就足以實現預期目標。

藝術概念是主觀的--"美在欣賞者的眼中"。雖然不是每個人都能欣賞庫布里克在《2001》中的開場場景所帶來的震撼，因此可能不會同意將其變為現實的想法，但出于某種非同尋常的原因在太空中放置一件藝術品的前景并非沒有先例。例如，月球上就有一件名為 "墮落的宇航員 "的藝術品。巧合的是，它也是比利時藝術家保羅·范·赫東克（Paul van Hoeydonck）的作品（見圖 4）。原作被阿波羅 15 號帶到了月球上，但在比利時奧斯坦德鎮的現代藝術博物館里可以欣賞到它的復制品。

20 世紀 60 年代，美國國家航空航天局（NASA）責成亞歷山大·馬沙克（Alexander Marshack）向廣大讀者介紹月球計劃的歷史和科學背景。他在向行政部門和科學界的權威人士詢問進行太空探險的理由時，偶然發現了伊桑戈的故事。后來，他成為哈佛大學的一級考古學家。在他的早期著作之一《文明的根源》（Roots of Civilization）中，他對自己的探險作了如下描述：

在寫作和尋找人類和太空計劃的意義時，我無法將杰羅姆·威斯納博士[......]或尤里·加加林和約翰·-格倫[......]與數千年前獵殺猛犸象[......]和在冰河時期的歐洲洞穴中作畫的人區分開來。

圖 4：比利時的月球藝術品 "倒下的宇航員"。比利時奧斯坦德 PMMK 博物館。

因此，正如馬沙克所表達的那樣，將伊桑戈骨頭棒帶入太空應被理解為一種國際追求，這無疑是許多人的想法。

這一次它將走得足夠遠，一直到太空（見圖5）。

圖5：伊桑戈骨頭棒能到達太空嗎？

參考文獻

[1] M. Ascher, Ethnomathematics: a Multicultural View of Mathematical Ideas, CRC Press, Boca Raton, 1994.

[2] R.C. Bell, Discovering Old Board Games, Shire Publications Ltd, Aylesbury, UK, 1973.

[3] J. Bogoshi, K. Naidoo, and J. Webb, The oldest mathematical artefact, Math. Gaz. 71 (1987), p. 458, 294.

[4] F. Buekenhout, Les Polye`dres: de Lucy a` Jacques Tits, 6ieme congres de l’Association des Cercles francophones d’Histoire et d’Archeologie de Belgique, Mons-Bergen, 24–27 Aout, 2000.

[5] A.C. Clarke, 2001: a Space Odyssey, based on the screenplay by Stanley Kubrick and A. C. Clarke, The New American Library, Inc., New York, 1968.

[6] A. Coupez and V. Benda, Terminologie du jeu d’igisoroau Rwanda, Africa Tervuren IX 2 (1963),

pp. 37–41.

[7] D.W. Crowe, The geometry of African art, Part 2. A catalog of Benin patterns, Hist. Math. 2 (1975), pp. 253–271.

[8] J. de Heinzelin de Braucourt, Exploration du Parc National Albert: Les fouilles d’Ishango, Fascicule 2, Institut des Parcs Nationaux du Congo Belge, Vol. 2, Institute of National Parks of the Belgian Congo, Brussels, 1957.

[9] J. de Heinzelin de Braucourt, Ishango, Scientific American, 206-6 (1962), pp. 105–116.

[10] C.I.O. Delano, Conversations in Yoruba and English, Frederick A. Praeger, New York, 1963.

[11] F. Errico, L’origine du stockage de l’information, Pour la Science, October/January (2002), pp. 6–9.

[12] J. Fauvel and P. Gerdes, African slave and calculating prodigy: Bicentenary of the death of Thomas Fuller, Historia Mathematica 17 (1990), pp. 141–151.

[13] P. Gerdes, Geometry from Africa, Mathematical and Educational Explorations, The Mathematical Association of America, Washington DC, 2002.

[14] R. de Z. Hall, Boa, Tanganika Notes 34 (1953), pp. 57–61.

[15] D. Huylebrouck, ed., Ishango, 22000 and 50 years later: the cradle of mathematics?, Conference proceedings, Royal Flemish Academy of Belgium, Brussels, Belgium, 2008.

[16] G.G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London, 1992.

[17] S. Lagercrantz, Counting by means of tally sticks or cuts on the body in Africa, Anthropos 68 (1973), p. 37.

[18] M.R. Lefkowitz, Not Out of Africa, How Afrocentrism Became an Excuse to Teach Myth as History, Basic Books, New York, NY, 1996.

[19] A. Marshack, Roots of Civilisation, The Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, McGraw-Hill Book Company, New York, 1972.

[20] A.P. Merriam, The game of kubuguza among the Abatutsi of North-East Ruanda, Man 53 (1953), pp. 169–172.

[21] D. Nelson, G.G. Joseph, and J. Williams, Multicultural Mathematics, Teaching Mathematics from a Global Perspective, Oxford University Press, Oxford, 1993.

[22] A. Noguera, How African was Egypt? A Comparative Study of Ancient Egyptian and Black African Cultures, Vantage Press, New York, 1976.

[23] M.B. Nsimbi, Omweso, A Game People Play in Uganda, Occasional Paper, No. 6, African Studies Center, University of California at Los Angeles, 1968.

[24] V. Pletser and D. Huylebrouck, The Ishango artefact: the missing base 12 link, Proceedings of the Katachi U Symmetry Congress KUS2, paper C11, Tsukuba University, Japan, 18 November 1999; Forma 14-4, pp. 339–346.

[25] J.W. Romein and H.E. Bal, Awari is solved. Notes, ICGA Journal September (2002), pp. 162–165.

[26] W.F. Rowe, School daze: A critical review of the ‘African-American baseline essays’ for science and mathematics, The Skeptical Inquirer, September/October (1995), pp. 27–32.

[27] I. Van Sertima, ed., Black Athena Egypt Revisited, 2nd edn, Transactions Publications, London and New Brunswick, 1995.

[28] C. Zaslavsky, Africa Counts, Lawrence Hill Books, New York, 1973.

[29] Dirk Huylebrouck, The ISShango project

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