一套通用新框架，破解量子蒙卡測量瓶頸

量子蒙特卡羅是處理大規模強關聯系統最有力的無偏數值工具之一，但其“測量能力”長期受限于一個深層困境：只能高效測量在路徑積分表象下的對角物理量。非對角觀測量雖往往承載量子物質的核心信息，卻因與采樣權重“零重疊”，在傳統QMC中幾乎“不可見”。

本文作者近期在《自然-通訊》發文提出一套新的通用框架，通過在連續路徑上連接原本難以重疊的采樣分布，為量子蒙特卡羅在大尺度體系中研究非對角關聯的臨界行為、無序算符以及量子多體糾纏等問題提供了新路徑。其核心思想亦可延伸至大數據分布比較、機器學習中的重要性采樣等領域。感興趣的讀者可以進一步閱讀相關論文。

撰文 | 王枳妍、劉澤楠（西湖大學物理系量子多體計算實驗室）

量子蒙特卡羅（QMC）能在多項式的時間內模擬尺寸很大的二維及高維量子體系，但“能模擬”不等于“什么都能測”。許多關鍵物理量，比如橫向自旋等時關聯、非對角虛時間關聯函數、甚至某些非局域的“無序算符”，都屬于所謂的非對角測量。這類測量會從根本上改變采樣位形的結構，導致常規“邊采樣邊讀數”的套路徹底失效。

為此，基于重賦權思想[1, 2]，我們提出了一種名為雙組分重賦權退火 (bipartite reweight-annealing，BRA) 的通用框架[3]，其核心在于：將任意非對角觀測統一寫為兩個配分函數之比，再通過兩條獨立、可控的退火路徑與一個已知的參考點，重構出目標結果。這一思想，還可以進一步擴展到更多非常規物理量的測量中，比如糾纏熵、糾纏負性、量子魔法等[4-6]。

本文集中討論如何解決QMC中的測量瓶頸，為系統研究非對角關聯、非局域的無序算符等前沿問題打開了大門。

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為什么非對角測量在 QMC 里這么難？

在凝聚態物理中，非對角物理量往往與對角物理量的行為表現不同，有可能揭示對角物理量更難直接反映的信息，或者能與對角的物理量形成互補。比如，常見的量子磁體材料中，當我們選擇在z方向的基底探測物理量時，x和y方向等關聯函數對應于橫向自旋漲落，其動力學結構因子能體現自旋波等激發的譜權重，這是實驗與數值計算里最常用的對照之一；又比如，在U(1) 對稱性的反鐵磁系統中，z方向磁化強度在熱力學極限下為0，但是非對角關聯函數的不同的衰減行為可能標志著自發的連續對稱性破缺（如XY非對角序）。在量子臨界點附近，橫向關聯函數的衰減指數也能反映普適類。當然，一個典型例子是玻色-愛因斯坦凝聚中，與對角的密度-密度關聯不同，單粒子密度矩陣的非對角關聯函數具有著名的非對角長程序（ODLRO），是量子相干的宏觀體現。因此，這些非對角算符往往與探測系統的量子相干性和糾纏有關，是凝聚態物理中的重要物理量之一。

從數值的角度上來說，我們當然希望能夠測量越多的信息，才能更精確地捕捉系統的行為。然而，不僅是解析上更難以計算，測量一般的非對角關聯函數在技術上也具有挑戰性。

圖1 測量示意圖：左邊是測量對角算符的情況，右邊是測量非對角算符遇到的情況，用分布大致對比這兩種測量。對角測量就相當于在原分布中采樣，而非對角測量由于目標分布和現有分布幾乎不重疊，對采樣的效率造成嚴重威脅。

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歷史上的巧解：很多很漂亮，但往往依賴特定結構

過去幾十年，人們確實想出了不少精巧辦法，讓某些非對角量在特定模型或特定框架下變得可測。例如，行列式QMC（DQMC）[7]則利用Wick定理，將高階關聯函數拆解為低階格林函數的乘積；對于世界線/SSE這類框架，蠕蟲算法（worm algorithm）[8-10]通過引入“開放世界線”的更新，能夠直接采樣兩點格林函數，自然也可以計算非對角的等時間和虛時間關聯函數。但是其推廣到多體非對角關聯函數相對來說比較復雜。

這些方案往往利用模型結構、對稱性或更新方式，把“換分布”這件事局部化或隱式化，在各自適用范圍內非常高效，也深刻影響了后來的算法設計。然而，它們大多無法推廣到任意算符、任意模型，更難以處理多體關聯、非局域算符等觀測量。

我們這次的目標更普適：把“測量”抽象成一個統一的比值問題，然后用同一套框架在普適的場景中去處理任意的算符觀測量。

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核心想法：把“不可直接比”變成“兩條可退火的比值”

前面我們說，在QMC的展開構型中測量非對角，就像估計兩張不同的地圖一樣，那么有沒有什么辦法繞過直接估算呢？有的。

如果兩個分布離得太遠，我們就不硬比，而是讓它們分段接近。具體來說，分為三步：

這就像兩條獨立的登山路線：各自沿緩坡前進，最后在山脊處匯合。這里的參考點（reference point），就是讓問題變得可解的橋梁。

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等時非對角關聯：最基本的示例

要驗證這個方法是否有效，最簡單、也是最基礎的做法，就是找一些最基本的模型用來做基準測試。我們首先選擇有向圈算法[11-13]的最基礎模型 XXZ model，通過BRA算法計算的非對角關聯函數與精確對角化（exact diagonalization）的結果直接做對比。 最典型的

(Δ) 和分母 Z(Δ) 分別沿 Δ 從 1 退火到目標值（比如我們想知道的是 Δ=0.1 處的非對角關聯，那么我們就退火到 0.1 即可），每一步保證相鄰 Δ 的權重比在 O(1) 范圍內，從而維持退火過程的相鄰配分函數保持極大的重疊。最后，將兩條路徑的累積比值與參考點的已知關聯相乘，即得目標關聯函數。

等時關聯只是第一步，除了等時的，當然也能算虛時間的，否則怎么能叫“通用框架”呢？

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虛時相關：沿“時間軸”做退火，把算符插入點搬來搬去

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外延與推廣：時間、空間、尺寸

前面我們講了對哈密頓量的參數 Δ 做退火，或者對虛時間軸 τ 做退火，系統地展示了該方法計算等時、虛時、多體非局域算符的強大能力。你能否腦洞大開，意識到空間的格點、距離，系統的尺寸、甚至是維度都可以都可以成為那條可退火的“軸”？那么恭喜，你已經領會到BRA的精神。正如一開始提出這個框架的研究者，這個看似簡單擴展的洞察，卻打開了新世界的大門。它意味著：

• 沿虛時間軸退火，可以滑動算符的插入點，從而獲得完整的虛時關聯函數 G(τ)，這是提取激發譜的基石。
• 沿空間軸退火，可以改變算符之間的空間距離。例如，固定系統大小，通過調節中間耦合，我們可以將最近鄰關聯 的測量值，“搬運”到遠距離關聯 ，從而高效掃描整個空間不同距離的關聯函數。
• 沿系統尺寸退火，可以從一個精確對角化可解的小系統（如4個格點）出發，通過逐漸“激活”新增格點間的耦合，將測量結果連續外推到巨大系統（如48個格點），實現了從小尺寸精確解到大尺寸蒙卡模擬的無縫銜接。

對 QMC 來說，測量的邊界一旦被推開，許多“以前只能在小系統上看”的問題，就能在大系統上系統研究。BRA 的價值不只在于某個具體結果，而在于提供了一套可復用的流程模板：寫成比值、選退火坐標（參數、空間、時間）、確保相鄰重疊、用參考點拼接。

它本質上解決了統計學中“不同分布函數重疊估計”的經典難題，其思想可延伸至大數據分布比較、機器學習中的重要性采樣等領域。在量子多體物理中，當“難測”變成“可退火”，新的研究領域——非對角臨界標度、無序算符的測量、量子多體糾纏的刻畫——也隨之打開。我們期待更多研究者接過這一工具，探索那些曾因“測不到”而被遮蔽的量子風景。

參考文獻

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[3] Wang, Z., Liu, Z., Mao, B.-B., Wang, Z. & Yan, Z. Addressing general measurements in quantum Monte Carlo. Nat. Commun. 17, 679 (2026). https://doi.org/10.1038/s41467-025-67324-0

[4] Ding, Y.-M., Tang, Y., Wang, Z., Wang, Z., Mao, B.-B. & Yan, Z. Tracking the variation of entanglement Rényi negativity: A quantum Monte Carlo study. Phys. Rev. B 111, L241108 (2025).

[5] Wang, Z., Wang, Z., Ding, Y.-M., Mao, B.-B. & Yan, Z. Bipartite reweight-annealing algorithm of quantum Monte Carlo to extract large-scale data of entanglement entropy and its derivative. Nat. Commun. 16, 5880 (2025). https://doi.org/10.1038/s41467-025-61084-7

[6] Ding, Y.-M., Wang, Z. & Yan, Z. Evaluating Many-Body Stabilizer Rényi Entropy by Sampling Reduced Pauli Strings: Singularities, Volume Law, and Nonlocal Magic. PRX Quantum 6, 030328 (2025)

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[11] Sylju?sen, O. F. & Sandvik, A. W. Quantum Monte Carlo with directed loops. Phys. Rev. E 66, 046701 (2002).

[12] Sylju?sen, O. F. Directed loop updates for quantum lattice models. Phys. Rev. E 67, 046701 (2003).

[13] Evertz, H. G. The loop algorithm. Adv. Phys. 52, 1–66 (2003).

[14] Shao, H. & Sandvik, A. W. Progress on stochastic analytic continuation of quantum Monte Carlo data. Phys. Rep. 1003, 1–88 (2023)

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