自然界中的圖案形成：物理約束與自組織

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

從云朵到動物斑紋，從沙丘到微觀海洋生物的殼，模式形成在自然系統中隨處可見。盡管這類結構形式驚人地多樣且各不相同，但許多都具有相似的特征。本文回顧了自然界中發現的一些常見模式，闡釋了這些模式通常如何通過系統中眾多組成部分之間簡單、局部的相互作用而形成——這是一種物理計算形式，它催生了自組織以及涌現的結構與行為。

當博物學家約瑟夫·班克斯首次踏上蘇格蘭斯塔法島，見到芬戈爾洞穴時，他被洞口兩側那似幾何形狀的棱柱狀巖柱所震撼。正如班克斯所言：

與此相比，人類建造的大教堂或宮殿又算得了什么！不過是模型或玩物罷了；與自然造物相比，人類的工程永遠顯得如此渺小。如今建筑師還能夸耀什么呢！規整性——這唯一讓他自以為勝過自然母親的部分——竟在此處為自然所有，且已在此默默存在了無數歲月。1

此結構在愛爾蘭海岸有一對應奇觀：安特里姆郡的巨人堤道。在那里，人們同樣能見到斷裂的火成巖所呈現的異常規整且具幾何美感的蜂巢狀結構。

當我們構建此類建筑圖案時，需要經過周密的規劃與施工，每個獨立構件皆需經切割塑形并精確就位。從人類技術經驗來看，創造圖案必然需要圖案設計者。然而在芬戈爾洞穴與巨人堤道，自然之力卻仿佛暗中協作，在毫無藍圖、預見或設計的情況下，形成了這般規整的圖案。這正是自發性模式生成的典型例證。

在更早的年代，自然界中此類規整形態常被視為神明之手的指引。如今我們已然知曉，在生機盎然與無機物質并存的大自然中，那些層出不窮的圖案并不需要智能設計的介入。無論是發生反應與擴散的化學試劑、凝聚成團的小顆粒或分子、蔓延的裂紋、風沙吹拂的沙粒，還是流動的液體，這些有序排列的結構都自發產生于眾多組成部分之間的相互作用。這類圖案被稱為自組織形態。對它們的研究構成了復雜系統科學的一個重要維度——這類系統往往展現出"涌現性"行為，僅關注單個元素的特性既無法推演出這些行為，也無法預知其形成。

這種規律性不僅存在于無意識或本能驅動的自然世界，也可能出現在看似受自由意志支配的人類社會體系中。例如，在流動車流中出現的間距均勻的擁堵波，或是經濟系統中的準周期性循環。因此，理解自發模式如何形成，成為了一項聯結眾多不同科學領域的探索——從動物學到斷裂力學，從化學動力學到社會學。自然界中的許多模式具有普遍性特征，不受傳統自然科學分界、甚至生物與非生物世界分野的局限。相反，自然模式似乎源自相對有限的生成模板，即使那些看似毫無共同之處的系統也是如此。芬戈爾洞穴的六邊形石柱可能讓我們聯想到其他自然界的六邊形形態。這些圖案是否真有關聯？抑或只是外觀上的巧合？

首先以系統化方式探討這個問題的是蘇格蘭動物學家達西·湯普森。他在1917年出版的著作《生長與形態》中，融合生物學、博物學、數學、物理學和工程學知識，匯集整理了當時關于自然界形態與圖案的所有認知。湯普森指出，至少在生物學領域（非生物世界亦常如此），模式形成并非靜態產物，而是源于生長過程——萬物之所以呈現當前形態，皆因其經歷了特定的生成軌跡。

謎題答案在于其形成過程。這道理聽來簡單，實則不然：橋梁、稻田或芯片的形態由其最終樣貌即可“解釋”，無需追溯制造過程。湯普森反對達爾文主義對生物形態與圖案的適應性解釋也沿襲這種思路——斑馬條紋或可從偽裝優勢的角度解釋（盡管條紋的實際隱蔽效果至今仍有爭議），但這無法說明任何特定斑馬在胚胎發育過程中，如何在其皮毛上形成這些色素斑紋。湯普森主張進化生物學必須綜合考慮：作用于生物生長過程中的純粹物理力量（包括化學過程）既施加了限制，也提供了可能性。

如今我們認識到，許多自然圖案的共同特征源于其形成規則中存在的數學類比性與等效性——無論這些規則是以描述物質擴散與傳輸的連續統方程表達，還是通過組分間的局域相互作用呈現。這兩種描述方式往往都會引致系統從初始的均勻或隨機狀態發生對稱破缺，從而形成組分在空間和/或時間上的分離。這些規律性往往會被特定條件修正，例如邊界約束、缺陷的出現，以及模式轉換過程中路徑依賴的滯后現象。但究其本質，它們揭示出自組織乃是復雜系統的固有屬性。

因此，理解自發模式如何生成已成為一項聯結眾多學科的科學探索——從動物學到斷裂力學，從化學動力學到社會學。

化學圖案

對于動物斑紋中顯見的圖案——達西·湯普森曾注意到但未深入研究——其形成機制可從所謂的化學振蕩反應研究中找到解釋。在這類反應中，化學試劑混合物會先朝某一方向反應，隨后逆轉并重新生成原始混合物。最具代表性的案例是20世紀60年代發現的別洛烏索夫-扎博京斯基反應（BZ反應）：由于催化反應的鐵離子電荷態發生變化，混合液會在紅藍兩色間交替變化。若這種振蕩無限持續，系統將違背熱力學第二定律。但實際上振蕩終會衰減，混合物將趨于平衡態。熱力學定律雖不限定化學反應的過程，卻決定了其最終穩定態。只有當系統處于非平衡狀態時，振蕩才會持續。不過，通過持續補充新試劑并移除終產物，系統能無限期維持這種非平衡態。

如果攪拌混合物，顏色變化幾乎會同時在各處發生。但若反應在不受擾動的薄層液體中進行——或更理想的是在凝膠中進行，以減緩擴散并抑制流體動力擾動——則不同區域可能會在不同時間發生轉換。這不僅會產生斑駁的拼湊效果，更能形成規則的同心圓帶與螺旋圖案：化學波在介質中擴散開來，猶如投石入水泛開的層層漣漪。當兩道波陣面相遇時，它們會相互抵消湮滅。

這種振蕩現象源于反應存在兩種可能的狀態或分支。每個分支都涉及自催化過程：反應產物會促進更多同類產物的生成。這是一種正反饋過程，意味著隨著反饋加速反應并消耗反應物，每個分支最終都會耗盡自身。當這種情況發生時，系統便為切換至另一分支做好了準備。

振蕩過程依賴于兩個基本要素：一是反應物發生反應生成有色產物，二是相關分子通過擴散在液體中移動。系統在紅藍狀態間切換的速度，則取決于擴散補充新反應物以替代反應消耗物的速度。因此，這里的圖案源于反應與擴散之間的平衡——反應消耗反應物，而擴散補充反應物。這類過程被稱為反應-擴散系統。

值得注意的是，圖案的形成正是通過這兩個對立過程之間的競爭實現的。這是模式形成的普適原理之一：它需要對立傾向之間的平衡。

1952年，艾倫·圖靈發現了另一種化學反應-擴散過程，它產生的不是移動的化學波，而是靜態圖案。圖靈提出這一理論的契機是探索受精卵胚胎形成的最初階段如何產生模式。這是一個對稱性破缺的問題：一個由相同細胞構成的、具有球面對稱性的球體，將分化出未來形成頭部、四肢、脊柱等不同部位的細胞。

圖靈提出，這些圖案可能由兩種在系統中擴散的化學物質（形態發生素或“成形素”）共同作用形成。其中一種被稱為激活劑，因其能催化自身生成，即具有自催化特性。另一種形態發生素則是能干擾激活劑這種自我生成的物質，換言之，它是一種抑制劑。圖靈證明，當抑制劑在系統中的擴散速度比激活劑更快時，就會形成靜態圖案——即系統中不同區域的激活劑與抑制劑濃度將出現持續差異。

圖靈模型可生成兩種特定類型的圖案：斑點與條紋。這一預測在20世紀90年代首次通過實驗制造出圖靈圖案時得到了驗證。該理論為動物斑紋形成提供了機制解釋：在胚胎發育過程中，擴散的形態發生素會在皮膚上留下印記，這些印記或開啟色素生成基因，或將其關閉。圖靈式模型能夠解釋魚類、野生貓科動物及瓢蟲等動物斑紋的諸多特征。雖然尚未確定導致這些圖案的具體形態發生素，但在哺乳動物毛囊規則排列的類似案例中，相關發生素已被發現。

上圖：長頸鹿斑紋中顯現出類六邊形圖案。

中圖：微觀海洋生物（放射蟲）外殼上的六邊形網狀結構。

下圖：振蕩型別洛烏索夫-扎博京斯基反應中化學波圖案的瞬時狀態。

顆粒圖案

斑馬的條紋或許會讓我們聯想到風吹沙形成的波紋。有觀點認為，沙紋和沙丘的形成也可視為一種涉及局部激活與長程抑制的過程。波紋的出現是一種自我激活或自催化過程：當平坦沙面在風沙吹拂下形成微小凸起時，它便開始比周圍區域捕獲更多沙粒，從而使凸起逐漸增大。凸起越大，捕獲的沙粒就越多。同時，這意味著風中攜帶的沙粒會減少，因此在現有波紋的下風處形成新波紋的可能性也隨之降低——波紋周圍存在抑制效應，使得相鄰波紋必須保持特定的最小間距。

沙丘的形成也遵循類似機制，但受風動力、局部地形與植被等因素的影響。沙粒可通過這種自組織方式形成多種結構，包括直紋與波狀賽夫沙丘、新月形巴克哈恩沙丘，以及多臂星狀沙丘等。在火星的顆粒狀地表上，重力、大氣壓力與風速的差異催生了一些地球上未曾出現的新型沙丘形態。

相互作用顆粒系統能形成多樣化的圖案。例如，在淺層密封真空容器中垂直振動的極薄層球形金屬顆粒會形成稱為"振蕩子"的駐波——顆粒在此過程中持續同步升降。這些波會自組織成規則的條紋陣列、螺旋結構、六邊形與方形網格，以及更隨機、非定常的類細胞湍流狀圖案。圖案的選擇取決于振動頻率與振幅，當跨越臨界閾值時，圖案間會發生突變式切換。

這些圖案源于顆粒間的碰撞，碰撞使顆粒實際"接觸"彼此，從而可能實現運動同步。僅假設顆粒碰撞時損失少量能量的模型即可復現這些圖案。

若此類“顆粒”能夠自主移動，并通過相對簡單的吸引、排斥與模仿規則相互作用（正如某些動物種群的行為），它們便能呈現魚類與鳥類集群時展現的協調性群體圖案。基于多粒子相互作用涌現行為的簡單模型，也可用于解釋分支與聚集圖案的形成——這類圖案既可能如雪花般規整，也可能如河網與城市布局般看似無序。

上圖：靜態化學圖案（圖靈圖案）的基本形態：斑點與條紋。

中圖及下圖：基于圖靈圖案的原理模型已被提出，用以解釋野生貓科動物、魚類和瓢蟲身上的斑紋形成。

用圖案計算

盡管人們抱有相反的期許，但自然界并不存在普遍適用的圖案形成理論。不過，我們已能辨識出諸多共同原理，例如某些基本形態的普適性（六邊形、條紋、層級分支、分形結構、螺旋）、非平衡生長過程的重要性、對立驅動力之間的動態平衡，以及引發圖案整體性突變的臨界閾值的存在。芬戈爾洞穴與巨人堤道的擬六邊形裂紋，似乎是釋放熔巖冷卻硬化收縮過程中積聚應力的近乎最優解：這些裂紋在凝固物質中向下延伸時，通過迭代方式從初始隨機分布的裂紋中遴選出有序的能量最低狀態——其作用機制與最終形態，竟與泡沫結構有著異曲同工之妙。

一般而言，自組織圖案可被視為物理粒子通過相互作用執行的一種計算過程。這一點在基于元胞自動機的模型中體現得尤為明顯：這種模型將離散元素（元胞）排列于規則網格，通過依賴相鄰元胞狀態的簡單局域規則進行互動。元胞自動機最初由約翰·馮·諾依曼與斯坦尼斯拉夫·烏拉姆在20世紀50年代提出，其理論背景是廣義計算理論——每個元胞可視為以其物理狀態編碼信息的“記憶”單元。馮·諾依曼關注此類自動機能否復制信息模式，進而演化出更復雜的計算狀態，最終呈現某種“思考”形態。元胞自動機生成復雜圖案的能力——這些圖案能在網格中復制或移動——在《生命游戲》中得到展現，這是數學家約翰·霍頓·康威于20世紀60年代設計的特定元胞自動機模型。沃爾弗拉姆對元胞自動機與計算及自組織圖案的關聯性進行了深入研究。本文所述圖案（包括化學波）皆可通過元胞自動機模型而非化學擴散與動力學的連續方程復現。這揭示了自發圖案生成實為多組分復雜系統的普遍屬性，其通過通常相對簡單的局域規則相互作用而形成。

在生命世界中，模式形成似乎既限制了適應性變化，又提供了新的適應機遇——換言之，它與達爾文進化既并行運作，有時又相互呼應。例如在材料科學、建筑學以及結構動態復雜的化學系統制造領域，自發模式形成所蘊含的技術與美學潛能，其探索之路才剛剛開啟。

上圖：在火星上，風速、重力和大氣壓力的差異可能造就新的沙丘形態。

下圖：顆粒物質是模式形成的多產之源。沙紋的蜿蜒形態看似與斑馬條紋如出一轍。沙丘則是更大尺度上的類似結構。

垂直振動的顆粒會自組織形成孤立波（振蕩子）或包括擴展駐波在內的多種圖案。

參考文獻

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最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

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