從對稱性到信息閉包：層級涌現的起源

導語

從氣體的溫度與壓強，到神經網絡中的記憶模式，再到人類進行抽象推理時使用的高層概念，我們總能在極其復雜的系統中找到穩定、低維的描述方式。這些宏觀變量究竟只是近似，還是在信息意義上真正獨立的層級？

2025年的一項最新研究提出了“信息閉合”這一嚴格判據，指出層級涌現并非經驗現象，而是由動力學對稱性必然誘導的結果。更進一步，作者展示了同樣的對稱性如何在貝葉斯信念更新中支撐高效推理，為理解智能系統中的抽象與計算效率提供了統一理論框架。

關鍵詞：對稱性、信息閉合、層級涌現、貝葉斯推理、復雜系統

來源：集智俱樂部

作者：郭瑞東

審校：趙思怡

論文題目：Symmetries at the origin of hierarchical emergence 論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2512.00984 發表時間：2025年11月30日 論文來源：arxiv

許多我們感興趣的系統展現出嵌套的涌現層次，每一層都有自己的規則和規律性，而我們對它們的認識似乎自然地圍繞這些層次組織起來。近日一項研究指出，這種嵌套的涌現源于底層的對稱性。舉例來說：一滴水的分子在微觀上做無規則熱運動，但我們觀察到的溫度、壓強是宏觀量。水分子在空間中平移或互換位置，不會改變整體的熱力學規律，這稱為平移對稱性與置換對稱性。正是這些對稱性，使得大量微觀細節在宏觀層面變得“無關緊要”，從而允許我們用極少的變量描述系統整體行為。

對稱性與信息閉合

那么，什么時候我們才能說一個宏觀描述是“真正獨立”的，而不僅僅是對微觀的近似？本文提出了一個核心概念：信息閉合（information closure）。它為“涌現”提供了一個可檢驗的信息論判據。其核心思想是：一個有效的宏觀描述應該包含預測其自身未來所需的全部信息，無需回溯微觀細節。其數學定義為

考慮一個微觀過程Xt和粗粒化映射Zt=?(Xt)。如果對于任意預測長度L和任意時間 t，滿足：

其中 I(?;?) 表示兩事件之間的互信息，Xt表示微觀歷史，表示宏觀未來。

這個條件等價于：

意味著知道微觀歷史對預測宏觀未來沒有提供任何額外信息——所有相關信息都已“上移”到宏觀層面。

在圖1所述的6狀態馬爾可夫鏈中，其狀態轉移具有對稱性（旋轉120°不會改變），通過對稱群，可將狀態空間劃分為等價類，每個等價類對應于系統的宏觀狀態，觀察者可以基于系統處于哪個等價類中，預測系統的未來，而無需關心等價類內的狀態轉換細節。這體現了信息閉合，使得層級的嵌套涌現得以呈現出自我完備的宏觀描述。

圖1：馬爾可夫鏈上的信息閉包，及其對應的宏觀等價類

之后以Hopfield網絡為例，展現對稱性如何在神經網絡動力學中催生具有信息閉包特征的宏觀變量。

圖2：Hopfield網絡展現出的層級涌現

圖2a描述一個全連接的回環神經網絡。每個神經元與其他所有神經元相連，通過Hebbian規則編碼特定的記憶模式。這種網絡的動力學會收斂到預設的吸引子狀態，實現聯想記憶。在Hopfield網絡中，對稱性體現在存儲字母模式的網絡中，交換兩個具有相同激活模式的神經元不會影響網絡的宏觀行為（圖2b）。當存儲字母的所有旋轉和反射變體時（圖2c），網絡獲得更高的對稱性，具體體現為網絡無法區分字母“R”和它的旋轉版本，因為它們在對稱變換下是等價的。

圖2d展示了4階子群結構，每個子群對應不同的抽象層次：理論循環子群〈r〉：只考慮旋轉對稱，能區分字母是否被反射；Klein四元群：考慮特定反射組合，提供中間層次的描述粒度。而2階子群對應單個反射或180度旋轉，提供更精細的區分能力。圖2e通過對比實驗說明對稱性變量的自預測能力顯著優于隨機變量，證明它們確實捕獲了所有動態相關信息，滿足信息閉合條件。

對稱性如何塑造層級貝葉斯信念更新

該文接下來將對稱性在客觀動力學中的作用延伸到人的主觀認知領域，在對稱性約束客觀世界結構后，通過貝葉斯信念更新，說明對稱性如何影響主觀信念架構。圖3揭示了對稱性不僅是物理世界的組織原則，也是智能系統進行高效推理的認知基礎。

圖3：對稱性誘導的客觀層級結構，測量過程與信念更新

圖3左側描述了具有等變對稱性的動力學過程自然產生信息閉包的宏觀層次。每個對稱子群對應一個特定的粗粒化描述，這些描述按照子群格的偏序關系組織成層級結構。當要求測量過程同樣尊重對稱性，圖3中間部分展示了不同層次的測量如何對應不同層次的客觀描述。高分辨率測量直接觀測微觀狀態，對應最細層次的描述（下部的圖）；低分辨率測量只能檢測最大對稱群對應的最抽象特征。

圖3右側上圖的對于由對稱性誘導的宏觀變量，相比下圖的微觀信念，維度更低，且同樣具有信息閉包的特征。這意味著我們可以在不涉及微觀細節的情況下，自主更新宏觀信念，而這將帶來計算效率的提升。而對于人工智能系統構建來說，對稱性提供了天然的抽象支架。通過將推理限制在對稱性定義的宏觀變量上，智能體可以在低維空間進行高效推理，避免維度災難。不同抽象層次的描述數學兼容，這為系統提供了語義一致性。而在適當的時候在不同粒度間切換，可實現跨層次推理的推理。

具體舉例，對一個容器中n個氣體分子在兩個連通腔室間的隨機擴散行為進行描述。系統的微觀狀態由二進制向量表示，其中標識第k個分子所在的腔室（圖4A）。如果觀察者只能通過噪聲測量Yt（每個分子位置的二值對稱信道觀測）來推斷系統狀態，那么標準的貝葉斯信念更新需要處理維度為2n的概率分布。如圖4D所示，當 n=40時，單次信念更新在超級計算機上需要數天時間；

圖4：Ehrenfest擴散模型中的對稱性與高效推理

圖4B指出系統的動力學具有粒子置換對稱性。由于所有氣體分子完全相同，交換任意兩個分子的標簽不會改變系統的物理行為。這種對稱性導致了一個自然的宏觀變量每個腔室中的分子數在宏觀層面的涌現。據此可以構建宏觀觀測（圖4C），使得觀察者可以在宏觀層面更新抽象信念，其維度僅為 n+1，而非微觀信念的2n。圖4D對比了兩種信念的維度增長：微觀信念呈指數增長，而抽象信念僅線性增長。這個實例證明了同樣的對稱性可以塑造高效的認知架構。這種“客觀-主觀”的對應關系使得智能系統能夠在保持推理準確性的同時，克服維度災難問題。

總結來看，這項工作提供了一個統一視角，解釋了為何世界在多個層次上都顯得“可理解”：并不是因為我們忽略了細節，而是因為對稱性作為層級涌現的根本機制，保證了某些抽象層次在信息上是自洽且完備的。文中的對稱性指的是動力學上的，并直接決定了粗粒度映射的形式。而文中處理層級信念更新的方法不同于標準的層級貝葉斯建模，后者側重于參數空間中的層級，并且通常需要在涉及細粒度層級的情況下更新粗粒度描述；而本文提出的方法通過仔細限制預測目標來實現精確推斷。未來的工作可能會結合這些方法，類似的研究，還包括用動力學的角度，使用范疇論重新審視控制論[1,2]，探索外部過程和認知信念之間的關系。

參考文獻

[1] Nathaniel Virgo, Martin Biehl, Manuel Baltieri, and Matteo Capucci, “A" good regulator theorem" for em bodied agents,” arXiv preprint arXiv:2508.06326 (2025).

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