從拋物線到馬鞍面，如何理解矩陣二次型？

你是否還記得中學(xué)數(shù)學(xué)里那個(gè)熟悉的拋物線y=ax^2+bx+c？它的開口方向由a決定，與x軸的交點(diǎn)由判別式Δ決定。這就引出了一個(gè)核心問(wèn)題：如何判斷一個(gè)多項(xiàng)式的值是恒正、恒負(fù)還是有正有負(fù)？

本文正是從這個(gè)簡(jiǎn)單的中學(xué)問(wèn)題出發(fā)，將視野拓展到更廣闊的領(lǐng)域。它展示了如何用矩陣語(yǔ)言來(lái)描述多變量的二次函數(shù)，并利用特征值、行列式和合同變換等線性代數(shù)工具，來(lái)解決更復(fù)雜維度的“開口方向”和“正負(fù)性”問(wèn)題。

撰文 | 朱慧堅(jiān)（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授）、丁玖（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授）

從一元二次函數(shù)說(shuō)起

讀過(guò)中學(xué)的人對(duì)實(shí)系數(shù)二次多項(xiàng)式 = ^2 + 2 + 是最熟悉不過(guò)的了。這個(gè)函數(shù)的圖像是站立的拋物線，開口朝上或朝下依二次項(xiàng)系數(shù)大于或小于零而定。另外，這根拋物線是否完全不碰-軸，又和另一數(shù)有關(guān)系：如果 ? 2大于零，則拋物線不碰橫坐標(biāo)軸，這時(shí)上述方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；如果 ? ^2小于零，則拋物線非穿過(guò)-軸兩次不可，兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別等于一元二次方程^2 + 2 + = 0的相異實(shí)數(shù)根。剩下的情形是 ? ^2等于零，此時(shí)光滑曲線與-軸像戀人般“相擁而吻”。看來(lái)^2 + 2 + 中三個(gè)常數(shù)字母構(gòu)成的表達(dá)式 ? ^2，決定了多項(xiàng)式的不同行為；它的相反數(shù)被叫做“判別式”。注意，在通常初等代數(shù)教科書里，(2)^2 ? 4稱為判別式，但它與這里的判別式僅差正數(shù)因子4，故它們本質(zhì)上無(wú)異。

這些簡(jiǎn)單的初等知識(shí)可以引導(dǎo)人們走向更加寬廣的數(shù)學(xué)世界，幫助理解一系列屬于不同學(xué)科的新概念，而它們的源頭依然是我們最近一直在談?wù)摰木€性代數(shù)。首先，將上面單變量函數(shù)中的一次冪乘上一個(gè)因子，然后在常數(shù)后面乘上的平方，得到兩個(gè)變?cè)凝R次二次多項(xiàng)式^2 + 2 + ^2。說(shuō)它是 “齊次”是因?yàn)樗许?xiàng)的次數(shù)（各因子變?cè)膬绱螖?shù)之和）都一樣；對(duì)于n次齊次多項(xiàng)式，如果你把其中的每一個(gè)變?cè)纪瑫r(shí)放大k倍，那么整個(gè)多項(xiàng)式就會(huì)放大kn倍。

為什么要引進(jìn)如上兩個(gè)變量的齊次多項(xiàng)式？原因是它可以很自然地用矩陣乘法的語(yǔ)言重新表達(dá)。讀者馬上就能驗(yàn)證如下的恒等式

如果將上式中的二階方陣用表示，二維列向量記為，則^2 + 2 + ^2變成，其中上標(biāo)代表矩陣和向量的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

模仿中學(xué)代數(shù)所問(wèn)“單變量二次多項(xiàng)式何時(shí)恒正，何時(shí)恒負(fù)，或者有正有負(fù)？”我們問(wèn)大學(xué)代數(shù)中的類似問(wèn)題：“在什么情況下，雙變量二次多項(xiàng)式^2 + 2 + ^2的值對(duì)所有不全為零的和都為正、都為負(fù)或有正有負(fù)？”

二元二次型的符號(hào)判別

下面分別用中學(xué)生的方法和大學(xué)生的方法求解上述問(wèn)題。先用初等代數(shù)。將二次函數(shù)進(jìn)行恒等變形：

由上可見，要想左式恒大于零或恒小于零，必須大于零或小于零。在這個(gè)必要條件下，假設(shè) ? ^2 > 0。如果不為零，那么無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，上面最后一個(gè)等號(hào)后面方括號(hào)內(nèi)那個(gè)表達(dá)式大于或等于正數(shù)( ? ^2)^2/^2。此時(shí)^2 +2 + ^2在 > 0時(shí)總大于零，在 < 0時(shí)總小于零。若 = 0，則對(duì)所有的非零數(shù)，都有^2 + 2 + ^2 = ^2全大于零或全小于零，依 > 0或 < 0而定。所以，若 > 0和 ? ^2 > 0，則^2 + 2 + ^2的值除了當(dāng) = = 0外都大于零；若 < 0和 ? ^2 > 0，則該多項(xiàng)式的值對(duì)所有不全為零的和都小于零。由于和在多項(xiàng)式中的對(duì)稱性，同理可知，^2 + 2 + ^2 > 0或< 0對(duì)所有不全為零的和都為真的另一個(gè)充分條件是 > 0和 ? ^2 > 0或 < 0和 ? ^2 > 0。反過(guò)來(lái)易見， > 0, > 0和 ? ^2 > 0或 < 0, < 0和 ? ^2 > 0也是函數(shù)值恒大于零或小于零的必要條件。此外不難看出，^2 + 2 + ^2的值可正可負(fù)的充要條件是 ? ^2 < 0。

下面用矩陣手段證明同一結(jié)論，走一條與本文主題相關(guān)的道路，即采用筆者在之前文章中介紹過(guò)的“特征值”概念。計(jì)算的特征多項(xiàng)式

它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是

分別求解齊次線性方程( ? ) = 0和( ? ) = 0，算出對(duì)應(yīng)于各自特征值和的特征向量（假定 ≠ 0）

顯見這兩個(gè)特征向量相互正交，即^ = 0，這也是上篇文章《正規(guī)矩陣有哪些特色？》里命題“實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于相異特征值的特征向量必定正交”的直接應(yīng)用。設(shè) = 0，則有特征值和。無(wú)論和是否相等，都有正交特征向量

避開 = 0這一特殊情形，令

其中‖‖和‖‖分別為和的歐幾里得2-范數(shù)（所有分量平方和的平方根），則是正交矩陣，因而它是可逆矩陣且逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣。由于/‖‖和/‖‖是分別對(duì)應(yīng)于和的特征向量，有 = ，其中對(duì)角矩陣

由此得到正交相似關(guān)系 = ^ = ^（?1）。令

它建立了從^2到自身的一個(gè)雙射（即單射和滿射）。進(jìn)行變量替換：

現(xiàn)考慮第一種情形 > 0（或 < 0）和 ? ^2 > 0，即的第一行第一列元素大于零（或小于零），且它的行列式大于零。這時(shí)，由于 > ^2 ≥ 0，系數(shù) > 0（或 < 0）。由特征值和的表達(dá)式（1），它們均為正（或均為負(fù)）。故對(duì)不全為零的和?，有^2 + ?^2 > 0（或< 0）。所以對(duì)全部不全為零的數(shù)和，都有

^2 + 2 + ^2 > 0（或< 0）。

反過(guò)來(lái)，如果上式對(duì)所有非零向量[, ]都滿足，即

類似地，代入[, ] = [0, 1]給出 > 0（或 < 0）。由的特征值和的表達(dá)式（1）可知，它們均為實(shí)數(shù)。設(shè)（= 或）是的一個(gè)特征值，為其對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。將^左乘 = ，得^ = ^，故 = ^/^。既然^為正，便與^同號(hào)。所以的兩個(gè)特征值（包括重?cái)?shù)）同號(hào)。因?yàn)樗鼈兊姆e等于的行列式，故有 ? ^2 = ||> 0。

上面的推理過(guò)程也讓我們明白，第二種假設(shè) ? ^2 < 0等價(jià)于和一正一負(fù)，因而^2 + 2 + ^2 = ^2 + ?^2對(duì)某些[, ]為正，對(duì)別的[, ]為負(fù)。

一般二次型與合同變換

熟悉了二階實(shí)對(duì)稱矩陣給出的雙變量二次型的值域特征，就可對(duì)任意階實(shí)對(duì)稱矩陣進(jìn)行一

“變量替換”是數(shù)學(xué)中常見的一種把戲，目的不外乎是化繁為簡(jiǎn)，便于計(jì)算。初等微積分里的定積分變量替換法就是眾所皆知的一例。對(duì)于二次型，這也是獲取“標(biāo)準(zhǔn)型”的一條途徑。此法的基本思想已經(jīng)體現(xiàn)在本文前面的二元例子中。如果讓 ∈ ^被替換成 ∈ ^,當(dāng)然需要這種替換不僅“簡(jiǎn)單易行”，而且“來(lái)去自由”。滿足這兩個(gè)要求的非“線性可逆變換”莫屬，“線性”使得運(yùn)算簡(jiǎn)單，“可逆”保證往返都行。故令 = ，其中為一可逆矩陣，然后

^ = ()^ = ^(^)。

由于在上述可逆線性變換關(guān)系下，同雙雙可以窮盡它們所在的基本空間^中的所有向量，所以多元二次函數(shù)^與多元二次函數(shù)^具有同樣的值域，找到其中的一個(gè)，也就獲得了另外的一個(gè)。如果變換取得特別好，以至于矩陣成了一個(gè)對(duì)角矩陣，那么人們“化簡(jiǎn)二次型中嵌入的矩陣”之希望就完全實(shí)現(xiàn)了。問(wèn)題是，這個(gè)希望有可能落空嗎？

答案是“不必?fù)?dān)心”，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣具有與生俱來(lái)的優(yōu)秀性質(zhì)：它們正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣。再次回憶矩陣相似的意思：兩個(gè)同階方陣和稱為彼此相似，如果存在非奇異矩陣使得 = ^（?1）。與合同一樣，所有同階矩陣之間的相似關(guān)系也是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

與實(shí)對(duì)稱矩陣常常形影不離的一類實(shí)矩陣是“正交矩陣”，它們的每一列都是單位向量，即歐幾里得2-范數(shù)為1，并且所有列兩兩正交。或言之，方陣為正交矩陣意指^ = 。正交矩陣是可逆矩陣，逆矩陣就是其轉(zhuǎn)置矩陣。這樣就有此類矩陣的特色雙等式：^ = ^ = 。第二個(gè)等式說(shuō)明正交矩陣的所有行向量也像所有列向量那樣構(gòu)成了^的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。

在相似性等式 = ^（-1）內(nèi)，如果非奇異矩陣更上了一層樓升格為正交矩陣，那么這個(gè)相似關(guān)系同時(shí)又是合同關(guān)系 = ^！妙就妙在，正如線性代數(shù)教科書中都會(huì)擺出來(lái)展示的那樣，正交矩陣可以出馬使得相應(yīng)的合同關(guān)系中的成為形式最為簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣，其主對(duì)角元恰好是的全部特征值。

現(xiàn)在我們采取拿來(lái)主義的方針，將上一篇文章《正規(guī)矩陣有哪些特色？》中的一個(gè)主要結(jié)果借來(lái)，作為下面繼續(xù)討論的出發(fā)點(diǎn)。這個(gè)結(jié)果對(duì)更一般的復(fù)數(shù)域上的埃爾米特矩陣（也叫厄米矩陣，即其共軛轉(zhuǎn)置等于自己的那些矩陣）成立，自然對(duì)本文的主角實(shí)對(duì)稱矩陣也情有獨(dú)鐘，因此我們只對(duì)實(shí)矩陣列出如下的預(yù)備知識(shí)：

引理.存在正交矩陣使得

命題 1. 任一階矩陣與某個(gè)對(duì)角矩陣Σ合同，其中Σ的主對(duì)角元組成{+1, ?1,0}的子集，且主對(duì)角元中+1和?1各自出現(xiàn)的次數(shù)分別等于的正特征值重?cái)?shù)之和和負(fù)特征值重?cái)?shù)之和，而0出現(xiàn)的次數(shù)等于特征值0的重?cái)?shù)。

命題 1 中出現(xiàn)的+1的次數(shù)和?1的次數(shù)（即的正特征值和負(fù)特征值的各自總重?cái)?shù)），被分別稱為的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，而0出現(xiàn)的次數(shù)則等于的階數(shù)減去這兩個(gè)慣性指數(shù)之和，它也恰好是的零空間()的維數(shù)（有時(shí)叫做的零度）。上述結(jié)果表明，實(shí)對(duì)稱矩陣合同于某個(gè)主對(duì)角元只可能是+1, ?1和0的一個(gè)對(duì)角矩陣。

西爾維斯特慣性定律

下面問(wèn)題來(lái)了：如果同一個(gè)經(jīng)過(guò)另一個(gè)非奇異矩陣而合同于一個(gè)新的對(duì)角矩陣Σ，其主對(duì)角元只可能包含+1, ?1和0，那么所得的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)會(huì)有變化嗎？如果有變化，則上一段中所說(shuō)的“的正負(fù)慣性指數(shù)”就不盡合理，因?yàn)檫@兩個(gè)指數(shù)不能由唯一確定。

令人放心的是，“的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)”是定義合理的，因?yàn)樵缭?852 年，“矩陣”一詞的創(chuàng)造者、英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）證明了現(xiàn)以他名字命名的“西爾維斯特慣性定律”（Sylvester’s law of inertia）：

定理1.的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)是的不變量。換言之，所有與合同的主對(duì)角元只可能包含+1, ?1和0的對(duì)角矩陣中的+1, ?1和0之各自個(gè)數(shù)保持不變。

定理 1 的證明需要向量子空間直和維數(shù)加法關(guān)系的一個(gè)等式，我們先復(fù)習(xí)一下這個(gè)等式。如果向量子空間和只有零向量彼此共享，則它們的“和向量空間” + = { + | ∈ , ∈ }的維數(shù)等于的維數(shù)加上的維數(shù)。此時(shí) + 稱為直和，記為 ⊕ 。

的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)之差被稱為及其對(duì)應(yīng)的二次型的符號(hào)差。俄羅斯數(shù)學(xué)家阿諾德（Vladimir Arnold，1937-2010）講過(guò)這樣一個(gè)故事，他曾面試一位法國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家，問(wèn)道：“的符號(hào)差是什么？”這位就數(shù)值計(jì)算二次型已發(fā)表了數(shù)十篇研究論文的專家答不出，嘟噥道：“我編寫的電腦程序可以很快算出隨便多大矩陣的符號(hào)差，但我的頭腦不能像電腦算得那么快。”其實(shí)這個(gè)二次型是由矩陣

確定的。阿諾德想通過(guò)這個(gè)真實(shí)故事來(lái)嘲弄一番他眼里的“法國(guó)布爾巴基主義數(shù)學(xué)家”。我們邀請(qǐng)本文讀者替這個(gè)倒霉的法國(guó)人解答俄國(guó)人阿諾德的試題，順便向這位已故 15 年的世界著名數(shù)學(xué)家展示一下中國(guó)人的數(shù)學(xué)思維能力。

如用特征值的術(shù)語(yǔ)，上述西爾維斯特慣性定律的等價(jià)說(shuō)法是：兩個(gè)同階的實(shí)對(duì)稱矩陣具有相同數(shù)量的正特征值、負(fù)特征值和零特征值，當(dāng)且僅當(dāng)它們是合同的。

正定性的判別法：特征值與主子式

回想起在本文開始，我們不厭其煩地討論了一個(gè)初等代數(shù)問(wèn)題：“^2+ 2 + ^2在何種條件下，對(duì)所有不全為零的和值保持為正、為負(fù)或正負(fù)相間？”現(xiàn)在，我們已經(jīng)儲(chǔ)備了足夠的知識(shí)，可進(jìn)一步對(duì)多元齊次二次多項(xiàng)式探討同一類型的“值域”問(wèn)題。

即是正定矩陣。若的所有特征值為負(fù)、非負(fù)或非正，同理可證相應(yīng)結(jié)論。上述命題的一個(gè)直接結(jié)果是：是不定的當(dāng)且僅當(dāng)有正負(fù)特征值。此外，正定或負(fù)定矩陣因?yàn)闊o(wú)零特征值，必定是非奇異的。

在本文前部，我們證明了二階實(shí)對(duì)稱矩陣是正定（或負(fù)定）的充要條件是它的首行首列元素為正（或?yàn)樨?fù)）及它的行列式為正。首行首列元素既是方陣的一階子方陣，也是它所對(duì)應(yīng)的行列式，而方陣的行列式則是它的第一行第二行以及第一列第二列元素構(gòu)成的二階子方陣所對(duì)應(yīng)的行列式。這兩個(gè)行列式的行和列在方陣中的指標(biāo)分別從1連續(xù)增加到1或2，因此分別被叫做它的一階或二階前導(dǎo)主子式。這樣，我們已知的結(jié)果用新的術(shù)語(yǔ)來(lái)敘述就是：二階實(shí)對(duì)稱矩陣是正定（或負(fù)定）的，當(dāng)且僅當(dāng)它的一階前導(dǎo)主子式大于（或小于）零及二階前導(dǎo)主子式大于零。

這個(gè)結(jié)論可以推廣到階矩陣。對(duì)于 = 1, … , ，由的第1行至第行與第1列至第列相交處的元素構(gòu)成的階子方陣所對(duì)應(yīng)的行列式稱為的階前導(dǎo)主子式。下面的定理 2用行列式刻畫了的正定性，和上面的定理 1 一樣都是由西爾維斯特發(fā)現(xiàn)的；它被稱為關(guān)于正定矩陣的“西爾維斯特判別法”。

定理2. 一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有前導(dǎo)主子式均為正數(shù)。

上例說(shuō)明，僅僅要求所有的前導(dǎo)主子式均為非負(fù)數(shù)，不足以保證矩陣的半正定性，比之更強(qiáng)的條件是所論方陣的全部主子式都是非負(fù)數(shù)。一般主子式與前導(dǎo)主子式的區(qū)別在于，后者的行和列在原矩陣中的指標(biāo)必須窮盡從1到某個(gè)的所有自然數(shù)，而前者只需要子矩陣所有行和列在母矩陣中的原先行列指標(biāo)是全然相同的正整數(shù)。下面是用全部主子式表達(dá)出的半正定性質(zhì)之等價(jià)條件，因?yàn)樗淖C明依賴于定理 2，我們將它列為一個(gè)直接推論：

系1. 實(shí)對(duì)稱矩陣為半正定的充分必要條件是它所有的主子式都是非負(fù)數(shù)。

證明. 必要性的證明與定理 2 證明中必要性的論證過(guò)程大同小異，我們就省略不寫了。現(xiàn)證充分性。假設(shè)的所有主子式都大于或等于零。令為一正數(shù)，考慮攝動(dòng)后的實(shí)對(duì)稱矩陣 + 。下面我們用定理 2 證明它是正定的。

任取 + 的一個(gè)階前導(dǎo)主子式，它對(duì)應(yīng)的子矩陣為 + ，其中是的對(duì)應(yīng)子矩陣。由假設(shè)條件知，|| ≥ 0。通過(guò)展開行列式，我們有

對(duì)于負(fù)定矩陣和半負(fù)定矩陣，分別有與定理2和系1相似的結(jié)果。因?yàn)槭秦?fù)定（或半負(fù)定）矩陣當(dāng)且僅當(dāng)-是正定（或半正定）矩陣，從上述定理2和系1出發(fā)就能毫無(wú)困難地分別推出對(duì)矩陣負(fù)定性（或半負(fù)定性）的判別法：

系2. 一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是負(fù)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有偶數(shù)階前導(dǎo)主子式均為正數(shù)，所有奇數(shù)階前導(dǎo)主子式均為負(fù)數(shù)。

系3.一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是半負(fù)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有偶數(shù)階主子式均為非負(fù)數(shù)，所有奇數(shù)階主子式均為非正數(shù)。

應(yīng)用掠影：最優(yōu)化問(wèn)題與動(dòng)力系統(tǒng)

到目前為止，我們學(xué)到了實(shí)對(duì)稱矩陣及其子類——正定或半正定矩陣的基本性質(zhì)，讀者肯定想知道這些知識(shí)在其他學(xué)科中有哪些重要應(yīng)用。老實(shí)說(shuō)，它們的應(yīng)用例子多如牛毛，尤其在當(dāng)今的大數(shù)據(jù)時(shí)代。作為一個(gè)范例，讓我們瞧一瞧正定矩陣的二次型性質(zhì)怎樣用于在機(jī)器學(xué)習(xí)中大放異彩的最優(yōu)化理論。

為水平線的幾何直觀可見。如果不可導(dǎo)，恐怕要借用其他分析手段如“凸分析”來(lái)獲取一個(gè)有價(jià)值的必要條件了；這里按下不表。

我們更感興趣的是在可微性條件下極值點(diǎn)的充分條件。上述最優(yōu)性必要條件提示我們，極值點(diǎn)屬于臨界點(diǎn)集合。那么，何種性質(zhì)能確保一個(gè)臨界點(diǎn)擔(dān)當(dāng)起極值點(diǎn)的角色？這時(shí)，二次型的理論派上了用處。

圖片來(lái)源：Nicoguaro/wikipedia

我們只對(duì)多元二次函數(shù)的臨界點(diǎn)分類小試了二次型理論，此時(shí)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是個(gè)實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣。對(duì)一般的非線性可微多元函數(shù)的同樣問(wèn)題，人們面臨的現(xiàn)實(shí)是二階導(dǎo)數(shù)矩陣依賴于函數(shù)定義域中點(diǎn)的位置而成為多變量矩陣函數(shù)，然而，借助于在臨界點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)矩陣的二次型性質(zhì)，正定（半正定）、負(fù)定（半負(fù)定）及不定矩陣仍然是解決問(wèn)題的關(guān)鍵概念。

上述兩例只是浮光掠影地簡(jiǎn)述了二次型理論在最優(yōu)化和動(dòng)力系統(tǒng)中的個(gè)別應(yīng)用，其他領(lǐng)域如控制理論、最優(yōu)傳輸、計(jì)算幾何等，都是一般埃爾米特矩陣譜理論的用兵之處，讀者們不妨多留個(gè)心眼，說(shuō)不定哪天你調(diào)試的機(jī)器學(xué)習(xí)模型、規(guī)劃的物流最優(yōu)路線，甚至手機(jī)里信號(hào)的精準(zhǔn)過(guò)濾，背后都藏著二次型悄悄“發(fā)力”的身影，這數(shù)學(xué)世界的小秘密，還等著大家慢慢發(fā)掘呢！

完稿于從化溫泉鎮(zhèn)廣州南方學(xué)院

注：本文封面圖片來(lái)自版權(quán)圖庫(kù)，轉(zhuǎn)載使用可能引發(fā)版權(quán)糾紛。

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