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導語
在前幾講中,我們游歷了拓撲學的深刻理論與眾多應用,由此可見拓撲學不僅存在于抽象的數學世界。這一講將更加徹底地重塑你的觀念:運動軌跡、時空和內部自由度空間是怎樣彎曲的?DNA如何在細胞中纏繞又解開?為什么物理世界中會存在“拓撲相變”和“物質拓撲態”?分析數據時,怎樣用“拓撲形狀”識別復雜結構?拓撲量子計算又是怎樣利用“內蘊形”、其代數不變量及相互關系處理信息的?……這一講將繼續帶大家打破數學、生物、物理、計算與認知的邊界,進一步理解“拓撲”如何成為連接理論與現實的橋梁。
集智學園聯合北京大學博士金威老師開設,以“結構不變性”為核心線索,貫通數學思想史與現代系統科學。課程已于11月23日開啟,歡迎加入課程群交流。
主題:拓撲思想在理論與現實中的應用
課程簡介
目標: 進一步認識拓撲思想在自然與人工系統中的應用,理解“內蘊形及其關系”與“系統穩定性”及“系統的狀態與變化”的關系。
幾何中刻畫“彎曲”的曲率在各尺度中廣泛存在:在宏觀世界的工程與力學系統中,曲率出現在運動學中;在宇觀層次,它刻畫時空,是廣義相對論的核心要素;在微觀尺度上,粒子間的規范場與相互作用由纖維叢的曲率來刻畫。而曲率的整體積分又被拓撲性質所決定。由此,拓撲、幾何與物理在“整體性”“局部-整體關系”和“對偶性”等核心概念下深刻地統一起來。
在生命科學中,DNA 的復制、轉錄與重組是高度受限的拓撲過程:雙螺旋如何在狹小的細胞空間中纏繞、打結,又被精準地解開?紐結論為理解這些過程提供了不可替代的語言。在凝聚態物理中,人們發現某些物質的性質并非由局部對稱性,而是由系統的整體拓撲結構所決定,“拓撲相變”與“拓撲物態”由此成為理解新型材料與量子現象的核心概念。
當今時代數據規模與系統復雜度不斷提升,拓撲思想也進入了計算與信息科學領域。拓撲數據分析(TDA)利用同調與持續同調,從高維、噪聲數據中提取穩定的“形狀特征”,為人工智能、模式識別與復雜系統分析等提供了新的工具。在量子信息與計算領域,拓撲量子計算則試圖利用拓撲不變量的穩定性,對抗環境擾動與退相干問題,將“形之不變”轉化為信息處理的可靠來源。
本講將以一系列跨學科實例為線索,展示拓撲如何成為連接數學理論、自然現象與工程實踐的共同語言。通過這些案例,學生將體會到:面對具體細節的汪洋大海,,我們可以用拓撲思維抓住系統整體的結構性本質;也具備了理解復雜系統穩定性、狀態演化與認知結構的獨特而深刻的視角。本課程亦將在此處開始回望全程,反思拓撲思維在科學與哲學層面的意義。
課程大綱
曲率及其應用(續)
紐結論與DNA的拓撲異構(酶)
拓撲數據分析(TDA)與人工智能
拓撲相與凝聚態物理
拓撲量子計算、量子拓撲、范疇論與思維科學中的結構不變性
互動討論:拓撲思維的數學、科學與哲學意義
關鍵詞
關鍵詞:紐結理論、DNA、拓撲數據分析、拓撲相變、拓撲量子計算
課程信息
課程主題:見大象之形,致無窮之用——拓撲思想在理論與現實中的應用
課程時間:1月18日(周日)晚19:00-21:00
課程形式:騰訊會議(會議信息見群內通知);集智俱樂部視頻號、b站同步直播,集智學園網站錄播(3個工作日內上線)
課程主講人
金威,北京大學基礎數學博士,博士后。主要研究方向為拓撲學和數學物理。現從事人工智能的基礎理論和算法研發,并致力于數學和系統科學方面的教育/科研和科普活動。《基本粒子:數學、物理學和哲學》一書中文版譯者,《返樸》公眾號作者。研究興趣:屬性論和屬性數學、拓撲學和數學物理、系統科學和復雜網絡、中醫等。
課程適用對象
理工科領域研究者及高年級學生:適合具備基礎數學背景(微積分、線性代數、復變函數、常微分方程)的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關注復雜系統、非線性動力學、統計物理、信息科學等方向,或希望將數學思想應用于物理、工程、生命與智能/認知系統的學習者。
喜愛探索和創新學習者:面向對抽象思維、系統建模與跨學科分析有興趣的學生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學習者,通過拓撲學培養結構化與整體化的科學思維。
報名須知
課程形式:騰訊會議,前兩課線上同步直播,集智學園網站錄播,部分課程設置線下課。
課程周期:2025年11月23日-2026年1月,線上課程每周日19:00-21:00進行。
課程定價:前兩節課程免費,全部課程原價599
付費流程
https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat
可開發票
課程頁面添加學員登記表,添加助教微信入群;
課程可開發票。
課程群內討論交流
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拓撲學課程:從空間直覺到系統科學
你是否曾思考過:為什么咖啡杯在數學上可以變成甜甜圈?為什么混沌系統中會出現周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式?為什么神經網絡、量子物理甚至心理結構,都可以從“拓撲”角度理解?
拓撲學不僅是數學的抽象分支,更提供了系統的思維方式,讓我們理解連續性、結構不變性乃至復雜系統的整體規律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結,從量子場論到思維科學與腦科學,拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。
集智學園聯合北京大學博士金威老師開設,課程于11月23日開啟,歡迎感興趣的讀者加入。
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詳情請見:
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