12月27日直播開講：人耳如何分離不同音調？|《線性代數：一名合格科研人的筑基課》第二課預告

導語

當我們聆聽交響樂時，為何能清晰分辨出不同樂器的聲音？這背后隱藏著一個強大的數學思想：正交分解。它不僅是公式，更是一種“解耦”的思維模式，幫助我們在混沌中建立秩序，在復雜中識別核心。

本課程將從這一直覺出發，揭示內積與正交性如何成為衡量相關性、構建獨立坐標系的基石。我們將探討如何用格拉姆-施密特方法“鍛造”出純凈的數學坐標，并將視野延伸至無窮維的奇妙空間。更重要的是，本課程將結合科研實例，討論這種“正交思維”如何在處理高度耦合的數據、簡化復雜系統時發揮關鍵作用，并反思其適用的邊界。

集智學園聯合清華大學數學博士諸葛昌靖老師推出「」，并邀請武漢大學數學與統計學院周進教授于1月20日、1月27日就特征值與特征向量在復雜網絡中的應用做特別加餐分享。課程已于12月20日開啟，早鳥價將于本講結束后截止。

主題：線性空間與線性映射（下）

課程簡介

當我們聆聽交響樂時，為什么能夠在混雜的空氣振動中，清晰分辨出小提琴的高亢與大提琴的低沉？在物理層面，空氣中傳播的其實只是一個疊加后的混合波形，而人耳卻能將其中不同成分“分離”出來。這一過程的本質，正與線性代數中“正交分解”的思想高度相似。

如果說上一講的線性變換關注的是“結構如何在映射中發生變化”，那么本講將進一步引入內積這一關鍵概念，討論如何在向量空間中刻畫“方向”“長度”與“相互關系”。內積不僅是一個計算公式，它為向量空間賦予了幾何意義，使我們能夠討論角度、距離以及正交性，從而建立起更加精細的結構認知。

圍繞“為什么需要內積、它解決了什么問題”這一核心問題，課程將系統介紹內積空間的基本性質，并通過Gram–Schmidt 正交化方法，展示如何在具體計算與建模中構造合適的正交基。同時，課程將視野拓展至無窮維情形，幫助學習者理解內積思想在函數空間中的一般意義。

結合真實科研與復雜系統研究中的案例，本講將展示正交分解如何作為一種重要的分析工具，參與到結構識別與問題求解之中。通過學習，學習者不僅能夠掌握內積空間的基本概念與方法，更將逐步形成一種在復雜問題中尋找“相互獨立結構成分”的分析視角。

課程大綱

• 實際應用：從耳朵識別頻率引出內積(能量)的概念、Fourier 變換信號處理

• 內積空間的定義、內積的數學意義：長度、角度、正交性

• “代數”與“證明”：公理化方法的邏輯思維與數學的用處

• 內積與線性相關性、正交化

• 線性無關的優點與缺點、標架

• 數學應用：微分方程的解（常微分方程、偏微分方程）、積分作為內積

• 無窮維內積空間(Hilbert空間)舉例：函數空間、泛函、對偶空間

• 無窮的維數以及無窮求和的性質

課程關鍵詞

內積空間、投影、結構化思維、Banach空間和Hilbert空間

概念解析｜正交（Orthogonality）在線性代數中，正交不僅意味著幾何上的 90 度夾角，更代表著信息之間的零冗余。當兩個向量（或函數、信號）正交時，它們在結構上彼此獨立。這一性質是信號處理、特征工程與復雜系統分析得以成立的重要基礎。

課程信息

• 課程主題：人耳如何分離不同音調？——內積與正交分解如何實現信號解耦

• 課程時間：12月27日（周六）晚 19:30–21:30

• 課程形式：

• • 騰訊會議（會議信息見群內通知）

  • 集智俱樂部視頻號、B站直播

  • 集智學園網站錄播（3 個工作日內上線）

課程主講人

北京工業大學數學統計學與力學學院副研究員，清華大學數學博士，研究方向：計算系統生物學。致力于數學與生物醫學的交叉研究，聚焦癌癥的演化機制及放化療、血液病、網絡藥理學及傳染病等復雜生物醫學問題的多尺度動力學建模與分析。

特別加餐預告

課程簡介：

在復雜網絡的量化分析與結構解析中，矩陣是刻畫網絡拓撲特征的核心工具，而由矩陣衍生的特征值與特征向量，更是解鎖網絡內在規律的關鍵鑰匙。那么，究竟有哪些矩陣與特征值、特征向量與復雜網絡緊密相關？這些核心數學元素又如何為網絡節點與邊的重要性排序提供科學依據，進而幫助我們精準識別網絡中的關鍵核心與薄弱環節？特別加餐將圍繞上述問題展開探討，深入剖析復雜網絡語境下矩陣、特征值與特征向量的內涵，及其在網絡重要性排序中的核心作用。

加餐時間：1 月 20 日、1 月 27 日19:30-21:30（具體安排見群內通知）

形式：騰訊會議（會議信息見課程群內通知）

面向對象：本課程學員

主講人：周進

武漢大學數學與統計學院教授，博士生導師。二十年來，開展數學、復雜性科學、智能科學交叉研究，聚焦于復雜系統的集群控制和動力學分析。曾獲國家自然科學二等獎，教育部自然科學一等獎，湖北省自然科學一等獎，獲全國優秀博士論文提名及湖北省優秀博士論文。共發表學術論文71篇，其中第一作者/獨立通訊作者論文65篇，全部為SCI或EI收錄，包括物理學頂刊Physical Review Letters, 控制學三大頂刊IEEE Transactions on Automatic Control (長文和短文)、Automatica及SIAM Journal on Control and Optimization。所發表論文被國內國際引用總計近四千次。主持國家自然科學基金項目5項；參與專項研究項目1項，面上項目多項。指導的博士生獲得國家自然科學基金青年學生基礎研究項目 (博士研究生) 1項。作為骨干成員參與科技部國家重點研發計劃1項。受邀在2024年第二十屆全國復雜網絡大會、2021年第十七屆中國網絡科學論壇及2016年第十二屆全國復雜網絡大會上做大會特邀報告；2021年在“集智俱樂部”組織的第二期和第三期復雜網絡課程中，分別作了題為“復雜網絡的同步”和“多層網絡及其動力學”的專題講座。

• 加餐主題：透視復雜網絡的核心——特征值與特征向量初探

• 加餐大綱：

• • 復雜網絡與矩陣特征。從網絡的鄰接矩陣與Laplacian矩陣出發，理解網絡結構如何通過矩陣形式被刻畫。介紹特征值與特征向量在描述網絡整體結構、連通性與穩定性中的基本作用。

  • 復雜網絡動力學與矩陣特征。討論網絡動力學過程（如同步、擴散、穩定性）與矩陣特征之間的關系，重點說明關鍵特征值及特征向量如何影響系統演化行為，以及特征值譜在動力學分析中的解釋意義。

  • 透視復雜網絡“核心邊”：討論與網絡結構和動力學有關的邊中心性，展示如何利用矩陣特征刻畫網絡中對信息傳播與動力學過程起關鍵作用的邊，幫助理解網絡中“重要連接”的形成機制。

  • 透視復雜網絡“核心節點”：從點中心性的角度出發，介紹基于特征向量的中心性指標，如PageRank、LeaderRank等，說明這些方法如何揭示網絡中具有全局影響力的關鍵節點。

課程適用對象

• 數學基礎扎實，希望理解線性代數本質及系統應用的學生

• 對生物信息學、系統生物學、復雜網絡與復雜系統科學感興趣的跨學科學習者

• 希望在數據科學、機器學習、網絡分析、系統建模領域深入應用線性代數的人

• 對邏輯、抽象思維和系統性分析有長期興趣的公眾學習者

報名須知

• 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播；集智學園網站錄播；部分課程設置線下課

• 課程周期：2025年12月20日—2026年2月，每周六 19:30–21:30

• 課程定價：

• • 前兩節課程免費

  • 全部課程原價 599 元

  • 早鳥價 479 元（截至 12 月 27 日第二講結束）

可開發票

https://campus.swarma.org/course/5657

付費流程

1. 掃碼付費；

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

線性代數：一名合格科研人的筑基課

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網絡科學，還是物理與工程，幾乎所有復雜系統的建模與推理，最終都會指向同一種底層語言——線性代數。

它不僅是一組計算公式，更是一名科研人理解“結構”、刻畫“變換”、判斷“穩定性”、提取“有效信息”的基本思維框架。本課程以系統科學的視角重新解構線性代數，帶你越過技巧，直達本質，在跨學科的真實問題中建立起堅實而可遷移的數學基礎。

詳情請見：