AI6小時破30年數學題！陶哲軒，ChatGPT們望塵莫及

數學被譽為“科學的皇后”，其嚴謹的邏輯體系和深邃的思維魅力，吸引著一代又一代研究者為之傾倒。在漫長的歷史長河中，無數數學家以筆為劍、以腦為刃，在未知的數學疆域中開拓前行。而今，人工智能的崛起為這一古老學科注入了全新活力。近期，HarmonicMath團隊研發的AI數學家「亞里士多德」（Aristotle），憑借100%獨立思考，成功攻克了困擾數學界30載的埃爾德什問題#124，這一里程碑式的突破，不僅震撼了學術界，更宣告著數學研究正式邁入“人機協同”的新紀元。

埃爾德什
#124：橫亙30年的數學“攔路虎”

提及數學界的“難題寶庫”，匈牙利數學家保羅·埃爾德什（Erd?s Pál）的「問題列表」絕對是繞不開的存在。這些問題難易不一，懸賞金額從幾十美元到上萬美元不等，但它們的價值早已超越物質層面，成為衡量數學家能力的“試金石”和追逐夢想的“精神圖騰”。在這份列表中，第124號問題（Erd?s#124）自1995年在《Complete sequences of sets of integer powers》一文中提出后，便如同一座堅固的堡壘，屹立在組合數學領域，讓無數研究者望而卻步。

要理解埃爾德什#124問題，我們可以用一個通俗的比喻：假設給出k個不小于2的自然數d_i，若將每個數減1后的倒數相加（即∑ 1/(d_i - 1)），結果大于等于1，那么對于任意一個自然數n，能否找到一組數a_i，使得n恰好是這組a_i的和？并且每個a_i用d_i作為基數來表示時，數字只能是0或1。換而言之，這個問題本質上是在探尋：在嚴苛的規則限制下，任意一個自然數是否都能像二進制數那樣，用特定的“0-1組合”來表示，而不受基數大小的影響？

這個看似簡單的問題，實則觸及了組合數學的核心難點。傳統的研究方法始終在最大公約數（gcd）的約束和邊界案例的驗證上陷入僵局，人類數學家們反復嘗試多種思路，卻始終無法找到突破口。就在人們以為這個難題還將沉睡更久時，AI數學家「亞里士多德」帶來了驚喜。HarmonicMath團隊為其量身打造了融合強化學習、蒙特卡洛樹搜索與Lean形式化語言的智能架構。當問題輸入后，「亞里士多德」僅用6小時便遍歷了上億種證明路徑，最終輸出了一份100%可驗證的完整定理，而通過Lean證明系統進行檢驗，僅需短短1分鐘。

這一成果讓數學家鮑里斯·阿列克謝耶夫（Boris Alexeev）贊嘆不已，他表示這是AI產出的定理中最令他驚艷的一個。目前，該證明已被上傳至GitHub平臺（https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md），供全球數學愛好者和研究者參考。值得注意的是，埃爾德什#124問題存在兩個版本，此次AI攻克的雖為相對簡單的版本，但這絲毫不減其意義——這是人類歷史上首次由AI完全獨立完成具有重大影響力的數學難題證明。

為何是「亞里士多德」？通用AI的“短板”與專業AI的“優勢”

「亞里士多德」的成功，也讓人們不禁發問：同為頂尖AI，ChatGPT和Gemini為何在這個問題上鎩羽而歸？菲爾茲獎得主陶哲軒的分析給出了答案。他指出，據其了解，Gemini和ChatGPT的深度研究功能，均未能找到與埃爾德什#124問題相關的全新、有價值的文獻資料。

具體而言，Gemini僅能給出一些基礎觀察：比如排除數字1后，gcd條件會成為必要條件；它還嘗試將問題與康托爾集（Cantor集）的研究，尤其是“Newhouse gap lemma”聯系起來，但始終未能挖掘出直接相關的新線索。而ChatGPT則表現出明顯的“路徑依賴”，大量引用包含「亞里士多德」證明的網頁、相關論文及問題頁面作為論據，未能提出任何原創性觀點。

「亞里士多德」的脫穎而出，關鍵在于其“專業定位”。與ChatGPT、Gemini這類追求“全能”的通用大語言模型不同，它是為數學研究量身定制的“專項選手”。其核心優勢在于融合了數學形式化證明的底層邏輯，能夠模擬人類數學家的思維模式，進行嚴謹的邏輯推理和策略探索，而非簡單地對現有信息進行拼接與總結。這種“術業有專攻”的特性，讓它在面對需要深度創新的數學難題時，展現出了通用AI難以企及的能力。

陶哲軒視角：AI收割“低垂果實”，照亮數學“暗森林”

作為當代數學界的領軍人物，陶哲軒對AI在數學領域的應用有著獨到的見解。他在社交平臺mathstodon上分享道，數學未解問題呈現出“長尾分布”的特征，而AI的自動化能力恰好擅長處理長尾末端的問題。這意味著，有大量難度適中、可被證明或證偽的問題，因專家數學家數量有限而被長期擱置，這些問題就像是掛在枝頭的“低垂果實”，觸手可及卻無人采摘。

陶哲軒以去年的“Equational Theories Project”為例進行說明：該項目涉及普遍代數中2200萬條可能的蘊涵關系，若完全依賴人類研究，可能需要數十年時間。但研究團隊從一開始就引入“低技術含量”的自動化工具，短短幾天便解決了大部分問題；隨后逐步升級技術手段，攻克了一批難點問題；最后剩下的少數“硬骨頭”，才由人類數學家耗時數月攻克。這個案例生動地證明，AI在處理海量“低垂果實”類問題時，效率遠超人類。

埃爾德什問題網站收錄了1108個曾出現在埃爾德什論文中的問題，其中既有E3這樣的著名難題，也有大量無人問津的“小問題”，甚至連埃爾德什本人都未曾再度關注。近幾周，該網站的“未解”標簽減少了近十個，原因并非這些問題剛被解決，而是AI通過文獻檢索發現它們早已被人類攻克。此外，研究人員還發現了一類因描述存在技術瑕疵而變得容易解決的“低垂果實”，埃爾德什#124便是典型——其完整版本具有一定難度，但兩篇相關論文遺漏了關鍵假設，使得該版本成為“Brown判據”的直接推論，這一漏洞直到「亞里士多德」介入才被發現。

在陶哲軒看來，AI并非要取代人類數學家，而是扮演著“清道夫”與“引路人”的雙重角色。它先清理掉那些最容易解決的問題，將真正的核心難題篩選出來，讓人類研究者能夠將精力聚焦在最具價值的領域。就像一束光照亮了數學的“暗森林”，AI不僅讓那些被遺忘的“低垂果實”重見天日，更幫助人類清晰地識別出需要攀登的“數學高峰”。

結語：數學研究的“新范式”已來

HarmonicMath創始人弗拉德·特內夫（Vlad Tenev）感慨道：“數學圈正經歷前所未有的變革，‘智能證明’的時代已經到來！”「亞里士多德」攻克埃爾德什#124問題，絕非孤立的成果，而是數學研究范式轉變的重要信號——AI與數學的深度融合已成為不可逆轉的趨勢。

展望未來，我們或將見證更多AI數學家活躍在科研一線，與人類研究者并肩作戰，攻克一個又一個數學難題。那些曾經讓人類望而生畏的“暗森林”，將在AI的“光照”下逐漸變得清晰；那些沉睡多年的“低垂果實”，將被AI逐一“采摘”。而人類數學家，則能在AI的輔助下，向數學殿堂中那些更巍峨、更神秘的高峰發起沖擊。可以肯定的是，AI發現數學的時代，才剛剛拉開序幕。