伊辛模型：相變是自然界最迷人的現(xiàn)象之一

轉載自“集智俱樂部”微信公眾號

伊辛模型的恩斯特·伊辛肖像

導語

伊辛模型作為統(tǒng)計物理學中的經(jīng)典框架，不僅成功解釋了鐵磁材料的相變現(xiàn)象，更在量子計算、優(yōu)化算法和藝術創(chuàng)作等領域展現(xiàn)出驚人的跨界潛力。本文帶您穿越百年科學史，從倫茨和伊辛的原始構想出發(fā)，探索該模型如何從解釋磁性的簡單工具，發(fā)展為連接量子計算與藝術紋理生成的通用語言。

B座17樓丨來源

什么是伊辛模型 Ising Model？

伊辛模型是統(tǒng)計物理中最著名的模型之一，在二維及更高維度中表現(xiàn)出在臨界溫度下的相變。它模擬了從鐵磁體到神經(jīng)網(wǎng)絡的各種現(xiàn)象。

量子伊辛模型的起源可以追溯到20世紀初，當時威廉·倫茨提出了一個簡單的晶格模型來理解鐵磁性，他的學生恩斯特·伊辛在1925年分析了它的一維形式。

雖然伊辛的初步結果在一個維度上沒有顯示出長程秩序—似乎令人沮喪，但它為對統(tǒng)計力學的更深入探索奠定了基礎。

后來的突破，如克萊默斯-萬尼爾對偶性1941和拉爾斯·昂薩格對二維經(jīng)典伊辛模型的精確解（1944），揭示了豐富的相變行為，并將該模型確立為理論物理學的基石。

量子版本的飛躍是隨著橫向磁場的引入而實現(xiàn)的，該磁場將自旋轉化為非交換量子算子。

這種修改導致了橫場伊辛模型 TFIM，使物理學家能夠研究量子漲落如何與相互作用能競爭，特別是在出現(xiàn)量子相變的零溫度下。

量子伊辛模型通過將硬組合問題轉化為物理問題來幫助優(yōu)化：最小化能量。二元決策變量映射到自旋，目標加上成對約束映射到局部域和耦合。

“最佳”解是伊辛哈密頓量的基態(tài)—因此找到最優(yōu)就變成了找到最低能自旋構型。

該映射涵蓋了整個 QUBO 系列（Max-Cut、路由、調度、投資組合選擇、特征選擇等），這就是為什么 Ising 模型是用于現(xiàn)實世界優(yōu)化的通用編碼。

動畫模擬伊辛模型？

動畫模擬 | 倫茨對磁體建模的洞見

與伊辛的論文來源：J. van Saders

通過實驗，量子伊辛模型已經(jīng)在不同的平臺上實現(xiàn)，從捕獲離子和里德堡原子陣列到超導量子比特。

這些系統(tǒng)允許對相互作用強度和橫向場進行受控調整，從而能夠直接觀察臨界點、激發(fā)光譜和糾纏增長。

除了實驗室結構之外，類似 TFIM 的行為還存在于量子磁體、某些鐵電材料和分子自旋系統(tǒng)中，顯示出其在合成和自然環(huán)境中的相關性。

它的重要性遠遠超出了基礎物理學。在量子計算中，許多困難的優(yōu)化問題可以表示為找到伊辛哈密頓量的基態(tài)。

這種映射是量子退火和絕熱量子計算的核心，其中 TFIM 充當“驅動”哈密頓量，慢慢演化為問題哈密頓量。TFIM的光譜特性和動態(tài)直接影響此類算法的性能、運行時間和成功概率。

在門模型范式中，量子近似優(yōu)化算法 QAOA等算法使用基于伊辛的成本函數(shù)以及受 TFIM 啟發(fā)的混合器。

了解 TFIM 動力學有助于設計高效的時間表、選擇參數(shù)以最大限度地提高解決方案質量以及探索可能增強算法性能的非隨機驅動因素。

這使得量子伊辛模型不僅僅是一個理論結構，而且是一個量子算法工程師的實用設計工具。

該模型在量子計算中的應用非常廣泛：金融中的投資組合優(yōu)化、運籌學中的交通流和物流、機器學習中的特征選擇，甚至計算生物學中的蛋白質折疊。

基于硬件的伊辛機和混合經(jīng)典量子求解器都依賴于 TFIM 框架來建模、映射和解決這些問題。這種普遍性使該模型成為跨行業(yè)問題編碼的通用語言。

量子伊辛模型之所以受歡迎，是因為它擊中了一個罕見的最佳點：它足夠簡單，可以進行深入分析，但又足夠豐富，可以捕捉基本的物理和現(xiàn)實世界的計算。

在凝聚態(tài)物質中，它是量子相變、對偶性和糾纏的首選游樂場;在實驗室中，它很容易在捕獲離子、里德堡原子陣列和超導量子比特上實現(xiàn)，這些量子比特帶有用于調整相互作用和場的干凈旋鈕。

在計算方面，它通過量子退火、絕熱算法和 QAOA 提供了從硬優(yōu)化QUBO/Ising 成本函數(shù)到硬件的直接橋梁，使其成為對設備進行基準測試和設計啟發(fā)式方法的通用語言。

如今，量子伊辛模型已成為一個統(tǒng)一的概念：足夠簡單，可以解決關鍵情況，足夠豐富，可以捕捉復雜現(xiàn)象，并直接適用于新興的量子算法領域。

對于任何從事量子技術工作的人來說，了解 TFIM 既是了解量子物質的窗口，也是計算創(chuàng)新的藍圖。

1920年，德國物理學家威廉·倫茨Wilhelm Lenz試圖尋找一個簡化的模型來解釋為什么磁體在受熱到一定程度時會“去磁”。

他設想了一個磁偶極子陣列，這些偶極子具有“自旋”，可以指向向上或向下（用箭頭表示）：

伊辛模型中用于模擬鐵磁材料的二維磁偶極子陣列，自旋向上或向下。

從概念上講，如果大多數(shù)自旋方向一致，那么對齊的偶極子場會融合形成磁體。隨著自旋隨機化（通過加熱），場會傾向于相互抵消，從而使大尺度磁性消失。

倫茨指派他的研究生恩斯特·伊辛Ernst Ising來推導數(shù)學模型，這成為伊辛的論文Ising 1925。

伊辛進一步簡化了模型，將其簡化為一個一維偶極子鏈，其中兩個最近鄰會對一個偶極子的自旋產(chǎn)生影響。

他的分析表明，即使在低溫下，所有的自旋也不會完全對齊。伊辛和倫茨都認為二維或三維陣列的結果會相同，因此該模型被認為是失敗的描述性理論而被擱置。

物理學家拉爾斯·昂薩格Lars Onsager在1940年代重新研究了該模型，關注二維陣列中四個最近鄰對偶極子自旋的影響。

他在1944年發(fā)表了解決方案，證明二維模型能夠解釋磁性隨溫度的變化，甚至展示了一個臨界溫度，標志著向去磁狀態(tài)的相變Onsager 1944。

這個被稱為伊辛模型的理論最初被提出作為磁體的卡通式描述。如今，它作為物理系統(tǒng)的簡單模型被廣泛使用，物理學家將其比作生物學中的模式生物——果蠅。

一本最近出版的教科書稱伊辛模型為“幾乎可以用來模擬所有有趣熱力學現(xiàn)象的系統(tǒng)”。

它還滲透到遠超物理學的眾多領域，成為地震、蛋白質、大腦甚至種族隔離的模型。（Wood 2020）

在討論物理系統(tǒng)建模方法時，問一句“你試過伊辛模型了嗎？”幾乎成了默認做法。

對于更高維度模型（三維及以上）難以找到閉合解的問題，促使人們使用模擬方法，如強大的Metropolis-Hastings算法。

Metropolis-Hastings算法

Metropolis算法的強大之處在于認識到，有時候你需要先走錯方向，才能最終到達目的地。

在伊辛模型中，隨機或算法選擇一個自旋點并計算其能量。然后翻轉該自旋并計算新能量。

如果新能量更低，則接受翻轉的自旋（使整個自旋系統(tǒng)的能量狀態(tài)降低）。

然而，不是直接拒絕較高能量狀態(tài)，而是根據(jù)能量差異和一個比例因子，以一定概率接受較高能量狀態(tài)。

Metropolis-Hastings算法流程圖來源：J. van Saders

這個簡單算法通過偶爾“走錯路”避免陷入局部能量最小值！

上述比例因子通常與溫度的倒數(shù)相關。這導致在高溫下接受較高能量狀態(tài)的概率更大，從而模擬了熱誘導自旋翻轉的效果（參見維基百科作為了解底層數(shù)學的起點）。

相變區(qū)域

以一個200×200自旋點的環(huán)面為例，可以將其展開為具有周期邊界條件的二維平面（即頂部邊緣實際上與底部邊緣相鄰）,下面的圖像展示了溫度的影響。

在每種情況下，初始自旋是隨機的，進行了100次迭代，每次迭代以隨機順序更新所有點，使用Metropolis-Hastings算法。

伊辛模型的單調（T Tc）。（來源：J. van Saders）

拉爾斯·昂薩格（Onsager 1944）證明了上述二維模型在臨界溫度Tc（約為2.269）以上從有序到無序發(fā)生相變。

從美學角度看，最有趣的圖案出現(xiàn)在臨界溫度Tc處。低于此溫度是單調的均勻性，高于此溫度則是混亂。一般來說，最有趣的事情發(fā)生在均勻與混亂的邊界處。

用伊辛模型創(chuàng)造紋理

Yannick Meurice（Meurice 2022）最近發(fā)表了一篇有趣的論文（本文的靈感來源?。?，展示了如何使用伊辛模型生成類似水彩版畫的紋理。他通過在伊辛模型中應用外部磁場和選擇溫度展示了這一點。

溫度的影響已在上面展示，但外部磁場尚未討論。伊辛模型允許對自旋偶極子集合施加外部磁場。應用的簡化通常省略外部磁場。Meurice巧妙地使用非均勻外部磁場在自旋狀態(tài)陣列上施加圖像，在他的案例中是阿爾伯特·愛因斯坦的肖像。

雖然Meurice討論了使用非均勻溫度分布的想法，但他將其留作學生的練習。本文接受了這個任務。

通過磁化施加圖像

對于研究的200×200陣列，一個+1自旋（以白色表示）的正方形創(chuàng)建了外部磁化模式。經(jīng)過100次迭代，最初隨機的自旋演變?yōu)樽罱K狀態(tài)，展示出通過將溫度設為Tc而形成的紋理。

在T=Tc時施加非均勻外部場（來源：J. van Saders）

通過熱梯度施加紋理變化

在伊辛模型上施加熱梯度（來源：J. van Saders）

在陣列上施加了從5（右上角）到1（左下角）的熱梯度，其中臨界溫度約為2.269。盡管存在周期邊界條件（即頂部和底部邊緣實際上是相鄰的），但溫度梯度影響每個點接受較高能量狀態(tài)的概率。因此，效果創(chuàng)建了跟隨熱梯度的紋理。

由此產(chǎn)生的伊辛狀態(tài)圖讓我想起了海岸線波浪的高對比度圖像。藝術中最著名的波浪是日本浮世繪藝術家葛飾北齋的木版畫《神奈川大浪》（1831）。

其分形性質似乎與伊辛模型域結構的縮放有相似之處。構建了一個粗糙的《大浪》掩模圖像，并用作熱圖：

《大浪》的伊辛模型。來源：J. van Saders

雖然這種方法顯然需要改進，但你可以看到波浪尖端形成的 интересная текстура 模式具有一定潛力。

在展示了使用伊辛模型的磁化和熱梯度后，是時候進入正題了……

恩斯特·伊辛的伊辛模型肖像

來自AIP Emilio Segrè視覺檔案的原始肖像，用于提取面部區(qū)域。（來源：J. van Saders）

由于陣列限于200×200個點，僅使用了上述伊辛肖像的面部區(qū)域。

提取的區(qū)域被閾值化以創(chuàng)建二值圖像，并對其應用了一些侵蝕和膨脹操作以獲得更好的圖像。然后將二值圖像縮放到[-1, +1]自旋。

使用了上述相同的熱梯度，得到了伊辛模型的一對非均勻輸入：

伊辛模型的外部磁化和熱梯度輸入丨來源：J. van Saders

從隨機初始狀態(tài)開始，Metropolis-Hastings算法迭代100次。最終狀態(tài)在伊辛模型中呈現(xiàn)了恩斯特·伊辛的有趣渲染。

伊辛-伊辛元肖像丨來源：J. van Saders

結論

本文受Yannick Meurice的啟發(fā)，展示了伊辛模型如何為圖形藝術創(chuàng)造有趣的紋理。遵循他的思路，創(chuàng)建了恩斯特·伊辛的“元”肖像，以慶祝這一具有普適屬性的模型誕生100周年。

伊辛模型還在其他藝術項目中找到了應用。George Legrady的《伊辛模型：閃爍與多聯(lián)畫》使用陣列中睜開和閉合的眼睛，創(chuàng)建了伊辛陣列演變的電影：

理解和可視化重整化的一個很好的方法是伊辛模型。

數(shù)學家證明相變對稱性的普遍存在

一組數(shù)學家證明，在臨界時刻，一種稱為旋轉不變性的對稱性是眾多物理系統(tǒng)的普遍屬性。這項關于多孔介質滲透模型的研究與近期相變對稱性的重要工作相關。量子雜志專欄文章作者：Allison Whitten 特約撰稿人 2021年7月8日

幾何·數(shù)學物理·數(shù)學·相變·對稱性·普適性·所有主題

五十多年來，數(shù)學家們一直在尋找一種嚴格的方法來證明：當物理系統(tǒng)在從一種狀態(tài)轉變?yōu)榱硪环N狀態(tài)的神秘臨界點時，一種異常強大的對稱性具有普遍性。

這種被稱為共形不變性的強大對稱性實際上包含三種獨立的對稱性。

2020年12月，五位數(shù)學家團隊發(fā)表的證明首次近乎證實了共形不變性是這些物理系統(tǒng)在相變過程中的固有特征。

該研究確立了旋轉不變性——共形不變性包含的三種對稱性之一——在廣泛物理系統(tǒng)相變臨界點的存在。

"這是重大貢獻。這個開放性問題存在已久，"以色列魏茨曼科學研究所的Gady Kozma表示。

旋轉不變性是圓形具有的對稱性：無論旋轉多少度，它看起來都一樣。在相變臨界點的物理系統(tǒng)中，這意味著系統(tǒng)的許多特性在模型旋轉后保持不變。

先前的研究成果已證明旋轉不變性在兩種特定模型中成立，但其方法缺乏普適性。這項新研究首次證明旋轉不變性在廣泛模型類別中具有普遍性。

"這種普適性結果更引人入勝"，因為它表明不同物理系統(tǒng)模型會呈現(xiàn)相同模式，法國高等科學研究所（IHES）和日內瓦大學的Hugo Duminil-Copin表示。他是該研究的五位合著者之一。

這項研究也為證明更宏大的結果帶來希望：這些物理模型具有共形不變性。過去幾十年數(shù)學家已證明共形不變性在幾個特定模型中成立，但始終無法證明其普遍性。這項新研究為此類全面結論奠定了基礎。

"這已是重大突破"，日內瓦大學的Stanislav Smirnov表示，"現(xiàn)在共形不變性似乎觸手可及。"

神奇時刻 相變是自然界最迷人的現(xiàn)象之一。有些相變劇烈，如水加熱汽化或冷卻結冰；而本研究關注的相變則存在模糊的臨界區(qū)域。

在這個臨界點，系統(tǒng)既非前態(tài)亦非后態(tài)。

以鐵磁體加熱為例：超過居里溫度約540℃時，鐵會失去磁性。這個轉變源于數(shù)百萬原子磁矩的隨機翻轉。伊辛模型將這個復雜過程簡化為二維方格上的箭頭陣列。

1970年，物理學家Alexander Polyakov預測：盡管微觀表現(xiàn)不同，這些系統(tǒng)在臨界點都呈現(xiàn)共形不變性。此后數(shù)十年間，物理學家確信其正確性，但數(shù)學嚴格證明始終是難題。

對稱性之冠 共形不變性包含平移對稱性、旋轉對稱性和尺度對稱性。"我稱之為'統(tǒng)御一切的對稱性'，因為它比三者更強大，"Duminil-Copin解釋道。

在臨界溫度下，伊辛模型中原子關聯(lián)距離突增，各種尺寸的磁疇同時涌現(xiàn)。共形不變性意味著此時對網(wǎng)格進行平移、旋轉或縮放都不會改變箭頭關聯(lián)性。

突破性進展 2001年，Smirnov首次嚴格證明滲流模型在三角格點上的共形不變性。2006年他又證明伊辛模型的共形不變性，這兩項突破性工作助他獲得菲爾茲獎。但這些證明都依賴特定模型的"魔法"特性。

新研究采用概率論的耦合技術，結合可積系統(tǒng)理論，首次證明旋轉不變性在方形和矩形格點滲流模型中的普遍存在。"需要多學科方法多角度攻關，"Duminil-Copin強調。

最后征程 在證明旋轉不變性后，研究團隊將目標轉向尺度不變性。若再證明這一點，結合已有的旋轉不變性和無需單獨證明的平移不變性，將最終確立共形不變性的普遍性。

"第三步證明很快就會實現(xiàn)，"Duminil-Copin預測，"可能是我們，也可能是更聰明的人，但肯定為時不遠。

"雖然旋轉不變性的證明耗時五年，但Smirnov對二維共形不變性的證明前景表示樂觀："可能一周，也可能五年，但我比去年十一月樂觀多了。"

關鍵術語對照：

1. conformal invariance → 共形不變性

2. rotational invariance → 旋轉不變性

3. phase transitions → 相變

4. critical point → 臨界點

5. Ising model → 伊辛模型

6. percolation → 滲流

7. universality → 普適性

8. lattice → 格點

注：專業(yè)術語保持學科規(guī)范譯法。

最后，但也許是最重要的事情，了解并知道模型的局限，因為人類比自旋系統(tǒng)復雜的多 ...

參考文獻
[1] 伊辛E.《鐵磁理論的貢獻》漢堡論文摘錄1925參見http://www.fh-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/20Jh/Ising/isi-intr.html
[2] Meurice, Y.《用伊辛模型制作數(shù)字水彩版畫》美國物理學雜志 90, 87 (2022)
[3] 昂薩格L《晶體統(tǒng)計學 I. 具有有序-無序轉變的二維模型》物理評論系列II653-4117-149 (1944)
[4] 維基百科《伊辛模型》https://en.wikipedia.org/wiki/Ising_model
[5] Wood,C.《改變科學的磁體卡通圖像》Quanta雜志2020年6月24日

https://www.quantamagazine.org/the-cartoon-picture-of-magnets-that-has-transformed-science-20200624/

[6] Eigenvalue Studio Tangibit Studios的品牌， John van Saders是Tangibit Studios的創(chuàng)始人。他熱衷于模塊化藝術和弗蘭克·勞埃德·賴特的建筑。他的安娜堡咨詢公司Auxilus Systems利用35年以上的技術經(jīng)驗，將系統(tǒng)思維應用于商業(yè)和產(chǎn)品開發(fā)。https://medium.com/@TangibitStudios/membership

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