量子世界中的貝葉斯法則

最小變化原理

我們對某件事情發生的可能性的判斷，取決于我們對背景情境的“信念”——這正是貝葉斯法則背后的核心概念。

貝葉斯法則是一種計算概率的數學方法，它得名于英國數學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）。在1763年的一篇論文中，貝葉斯首次定義了這一用于描述條件概率（conditional probability）的法則。根據這一法則，某事件發生的概率，取決于與之相關的先驗信息。它的核心用途之一，就是根據新證據（數據）來更新信念。

在經典統計學中，貝葉斯法則可以從“最小變化原理”（principle of minimum change）推導出來。這一原理指出，更新后的信念，必須與新數據保持一致，同時要盡量少偏離原有信念。簡單地說，這表示每當獲得新信息時，人們應以與事實相符的最小幅度調整自己的信念。從數學上講，最小變化原理通過最小化初始信念與更新后信念的聯合概率分布之間的距離來實現。

貝葉斯法則的量子版本

科學家一直相信，量子世界中應當存在貝葉斯法則的對應形式，因為量子態本身就定義了概率。例如，一個粒子的量子態給出了它在不同位置被測得的概率。理想情況下，我們希望確定整個量子態，但在進行實際測量時，粒子只會在一個位置被觀測到——這一新的信息就會更新信念，提高在這個位置附近觀測到粒子的概率。

幾十年來，人們已經提出過貝葉斯法則的各種量子類比。但從最小變化原理出發的推導方法此前從未被嘗試過。直到近日，在一項發表于《物理評論快報》的研究中，物理學家首次完成了這一嘗試——從最小變化原理出發，推導出了嚴格意義上的量子版貝葉斯法則。

量子保真度

在這項新的研究中，研究人員使用了量子保真度（quantum fidelity）這一概念來量化“變化”。在量子物理學中，保真度用于衡量兩個量子態之間的接近程度，其取值范圍為0到1，值越大表示兩個量子態越相似（若為1則完全相同）。這一概念已在量子信息理論中得到廣泛應用。

在新研究中，研究人員將保真度用于衡量正向過程（系統從輸入到輸出的演化）與反向過程（系統從輸出回溯到輸入的逆向推斷）之間的統計相似性。他們發現，當最大化兩個過程之間的量子保真度時，便可自然地推導出量子版的貝葉斯法則。這一結果與經典情形相對應：在經典統計中，貝葉斯法則可通過最小化聯合輸入輸出分布之間的若干距離來得到。由于最大化保真度等價于最小化變化，因此這一推導符合最小變化原理。

他們發現，在許多情況下，他們的結果與Petz轉置映射（Petz transpose map）相吻合。該映射由Dénes Petz在20世紀80年代提出，長期被視為是量子版貝葉斯法則最有力的候選形式之一。它建立在信息處理原理之上，這些原理不僅對人類推理至關重要，對機器學習中參數更新的機制同樣關鍵。

面向未來的量子推理工具

這一研究成果有望幫助改進量子機器學習與量子計算中的量子糾錯。研究人員表示，這是一項非常具有啟發性的結果，它能在許多情形下確實重新得到Petz轉置映射，但并非在所有情況下。這意味著，這項工作是一項重要的進展，但并非終點。如果他們的定義方式是正確的，那么先前那些基于類比的構建雖然在多數情況下是對的，但并非總是成立。

目前，研究團隊正繼續完善他們的量子貝葉斯法則，并探索其潛在應用。除了機器學習之外，這一法則在推斷領域也可能非常強大——不僅能預測未來，還能從結果反推出過去的狀態。這在量子通信中具有直接應用價值。研究人員表示，他們希望利用這些結果，開發出更高效、數學上更穩健的量子計算與推理方法。

#參考來源：

https://news.nus.edu.sg/probability-theorem-gets-quantum-makeover/

https://physicsworld.com/a/bayes-rule-goes-quantum/

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/5n4p-bxhm

#圖片來源：

封面圖&首圖：Centre for Quantum Technologies