數(shù)學(xué)是怎么進(jìn)步的？數(shù)學(xué)這門學(xué)問的深邃之處在哪？

2012年的一天，日本數(shù)學(xué)家望月新一（Shinichi Mochizuki）將4篇論文掛到了他的網(wǎng)站上。這些論文的總篇幅超過了600頁，望月新一在論文中宣稱，他解決了ABC猜想——當(dāng)今數(shù)學(xué)界最大的難題之一。然而，論文公開后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，能讀懂這篇論文的數(shù)學(xué)家寥寥無幾。望月新一的證明，也成了數(shù)學(xué)界的一樁懸案。

2017年，《用數(shù)學(xué)的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》的作者、望月新一的深交摯友、日本數(shù)學(xué)家加藤文元的一場(chǎng)演講引發(fā)了熱議，也帶來了這本書的出版。

這本書雖然是解讀望月新一“跨視宇Teichmüller理論（IUT理論）”的通俗讀本，但閱讀難度不高，通過展現(xiàn)望月新一的數(shù)學(xué)研究歷程，主要傳遞的還是數(shù)學(xué)家在做什么？數(shù)學(xué)家是如何思考的？數(shù)學(xué)的底層邏輯與深度思考方法等問題。適合眾多對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，以及希望學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的人。

《用數(shù)學(xué)的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者 | [日]加藤文元

譯者 | 周健

01

為什么在數(shù)學(xué)里可以不斷

做出新的事情？

在數(shù)學(xué)工作者的世界里，怎樣才能使自己的理論和想法在世界范圍內(nèi)被大家所知道，被大家所理解，被大家所認(rèn)可？數(shù)學(xué)工作者的世界到底是個(gè)怎樣的世界？

對(duì)于這樣一些十分基本的情況，我們好像說得還不夠清楚，所以在這里，讓我們來轉(zhuǎn)換一下心情，先來談一談數(shù)學(xué)中的一個(gè)新理論從它出現(xiàn)到被數(shù)學(xué)工作者圈子所接受一般要經(jīng)歷一個(gè)怎樣的過程。

那么，在數(shù)學(xué)的世界里，所謂“做出新的事情”到底是指什么樣的事情呢？對(duì)于任何一個(gè)數(shù)學(xué)工作者來說，這樣一個(gè)問題大概都會(huì)被問到過一次，抱有這個(gè)疑問的人應(yīng)該是很多的。我自己在和普通人談?wù)摂?shù)學(xué)方面的話題時(shí)，常常也會(huì)被問到這種類型的問題。我們將在后面的章節(jié)中看到關(guān)于“學(xué)校里教的數(shù)學(xué)”和“研究中的數(shù)學(xué)”這兩者之間的區(qū)別。愛德華·弗倫克爾通過拼圖板的比喻對(duì)此做了很巧妙的說明，對(duì)于在數(shù)學(xué)中“做出新的事情”到底是怎么一件事這個(gè)問題，從這個(gè)比喻性說明來看的話，也能大概得到某種感覺。

但是，在此之前，我們還必須先來回答一個(gè)更為根本性的問題，那就是“為什么在數(shù)學(xué)上做出新的事情是可能的？”。實(shí)際上，許多人在向數(shù)學(xué)工作者提出前面那類問題的時(shí)候，他們心里的真實(shí)感覺其實(shí)是，“在今天這個(gè)時(shí)代，在數(shù)學(xué)里還能做出什么新的東西嗎？”

很多人在初中和高中階段就已經(jīng)被數(shù)學(xué)折磨得夠嗆，而到了大學(xué)階段，對(duì)于某些人來說，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)直就是個(gè)讓人痛不欲生的學(xué)科。不過另一方面，有些人卻十分喜愛數(shù)學(xué)，并且能夠在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中體會(huì)到很多樂趣，這樣的人也不在少數(shù)。

不管是哪種情況，對(duì)于大多數(shù)人來說，數(shù)學(xué)給人的感覺通常就是“已經(jīng)完全成熟了”。就拿三角函數(shù)、向量、微積分等來說吧，古代的人知不知道這些東西，我們暫且不去深究，但對(duì)于我們這些現(xiàn)代人來說，它們是為了闡明自然和宇宙的真理而發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的。

也就是說，它們被刻在自然和宇宙的真理中，它們就像自然和宇宙本身一樣已經(jīng)建成了，正因如此，才有了它們就是無可非議、無可挑剔、完美無暇的知識(shí)的感覺。甚至那些不喜歡數(shù)學(xué)的人也會(huì)有這樣的感覺。

要說數(shù)學(xué)其實(shí)還很不完善，是一門具有很大發(fā)展空間的學(xué)問，恐怕很多人絕對(duì)不會(huì)這么想。

但數(shù)學(xué)確實(shí)不是一門“已經(jīng)完成了的學(xué)問”。當(dāng)然，數(shù)學(xué)是一門已經(jīng)存在了幾千年的古老學(xué)問，因而可以說，它作為一門學(xué)問的成熟度是非常高的。

比如說，在古代巴比倫的黏土板上，我們就發(fā)現(xiàn)了一套非常先進(jìn)和精確的數(shù)學(xué)知識(shí)，那些可都是距今約4000年前的東西了，看到這些材料，不僅是普通人，就連作為數(shù)學(xué)工作者的我們都會(huì)非常吃驚。從數(shù)學(xué)的漫長(zhǎng)歷史來看，可以明確的是，這些知識(shí)并不是直線式地連續(xù)發(fā)展起來的，其中有許多部分都曾經(jīng)一度衰落或者被遺忘，然后被重新發(fā)現(xiàn)，它們走過了一條曲折而復(fù)雜的道路。

不過總的來說，數(shù)學(xué)在人類各種各樣的文明發(fā)展史當(dāng)中，仍然可以算是一門不斷更新、不斷進(jìn)步的學(xué)問。從這個(gè)意義上來說，毋庸置疑，數(shù)學(xué)就是一門歷史悠久、深邃、成熟的學(xué)問。

然而，即便是這樣，數(shù)學(xué)也一直不是完美的。就拿現(xiàn)代數(shù)學(xué)來說，盡管已經(jīng)發(fā)展到了如此的高度，內(nèi)容極其精深，我們也絕對(duì)不能說，它達(dá)到了盡善盡美的程度。實(shí)際上，它一直是對(duì)新的發(fā)展保持開放的。

數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)不會(huì)有所謂的“完成”或“結(jié)束”的時(shí)刻，它始終以不完美的狀態(tài)而存在著。而且（這么說可能有點(diǎn)兒讓人驚訝）它也是一門可以通過人類的努力而獲得進(jìn)步的學(xué)問。應(yīng)該說，這反而是數(shù)學(xué)這門學(xué)問的深邃之處。

02

所謂的數(shù)學(xué)進(jìn)步

到底是怎么一回事？

數(shù)學(xué)和其他眾多學(xué)科一樣，也是一點(diǎn)一滴從基礎(chǔ)開始慢慢積累，逐漸形成一個(gè)學(xué)術(shù)體系的。所以說，在數(shù)學(xué)上，所謂的學(xué)術(shù)進(jìn)步與發(fā)展，也是在其過往的積累之上，進(jìn)一步構(gòu)筑新事物的一項(xiàng)事業(yè)。就像牛頓曾經(jīng)說過的那樣，如果說“我”看得比別人更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)椤拔摇闭驹诰奕说募绨蛏稀?/p>

話又說回來，在過去積累的基礎(chǔ)上再增添新的東西，在理解這樣的表達(dá)方式的時(shí)候，有些地方是需要特別注意的。把現(xiàn)代數(shù)學(xué)想象成摩天大樓那樣一層一層構(gòu)筑起來的樣子，這個(gè)想法肯定是不對(duì)的。因?yàn)椤胺e累”這個(gè)詞在這里其實(shí)包含著非常多的含義。舉例來說，在數(shù)學(xué)中有初等幾何學(xué)這么一個(gè)分支。這是一門使用直線、三角形、圓之類的工具來研究幾何圖形的各種性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。讀者中，應(yīng)該有很多人在初中或高中時(shí)就學(xué)過與這類圖形有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。此分支也是我們學(xué)習(xí)“證明”這個(gè)數(shù)學(xué)中的特有技術(shù)的良好素材，但反過來，“證明”這個(gè)東西又像是一個(gè)魔鬼，給許多人留下了關(guān)于數(shù)學(xué)的不太好的回憶。

初等幾何學(xué)也經(jīng)常被稱為“歐幾里得幾何學(xué)”，它是從古希臘就已經(jīng)開始研究的幾何學(xué)。從這個(gè)意義上來說，它是一個(gè)非常古老的數(shù)學(xué)分支。這樣說的話，歐幾里得幾何學(xué)應(yīng)該一直延續(xù)到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)之中，并在數(shù)學(xué)的逐層積累的過程中處于非?；A(chǔ)的位置，而數(shù)學(xué)的發(fā)展就應(yīng)該是在它之上一層一層地積累新的發(fā)現(xiàn)和新的想法，最終發(fā)展到了今天這樣的程度，估計(jì)有些人會(huì)這么想。當(dāng)然，這個(gè)說法總體上來說是沒有問題的，因?yàn)橄駳W幾里得幾何學(xué)這樣基礎(chǔ)性的幾何學(xué)，毫無疑問就是后來出現(xiàn)的各種各樣的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)。

但是從另一方面來說，歐幾里得幾何學(xué)這門學(xué)問本身已經(jīng)是一個(gè)“結(jié)束了”的東西，今天已經(jīng)很少有人再對(duì)它進(jìn)行專門的研究了。需要注意的是，我們這里所說的“結(jié)束了”并不意味著，它在歷史上的某個(gè)時(shí)刻已經(jīng)被人研究完，因而不再有什么需要進(jìn)一步研究的東西了。這里的意思簡(jiǎn)單來說就是，基于某種合理的原因，人們覺得在這個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)不再需要追求進(jìn)步了，目標(biāo)已經(jīng)在相當(dāng)程度上達(dá)成了，主要結(jié)果也都出來了，再往前走的話也就是清掃一下邊邊角角之類的事情。與其說這是數(shù)學(xué)上的問題，倒不如說是人類興趣方面的問題。因此，在這里，我們也絕對(duì)不能說，歐幾里得幾何學(xué)已經(jīng)在古代的某個(gè)時(shí)期結(jié)束了。

實(shí)際上，在歐幾里得幾何學(xué)中也有許多事實(shí)是古代人并不知道，直到很久以后才被人發(fā)現(xiàn)的，這在歷史長(zhǎng)河中已經(jīng)發(fā)生過很多次了。比較著名的事例有，18世紀(jì)末，年輕的高斯就發(fā)現(xiàn)了正17邊形是可以用直尺和圓規(guī)作出的（見方框中的小短文“尺規(guī)作圖問題介紹”）。

然而，這些研究并不是在與古代幾何研究相同的背景條件下進(jìn)行的。也就是說，我們并不能說，從古希臘到18世紀(jì)末這段很長(zhǎng)的時(shí)間里，歐幾里得幾何學(xué)一直在同一個(gè)范式中不斷發(fā)展，并且正是在這種連續(xù)的積累下，高斯又加進(jìn)了他的新發(fā)現(xiàn)。實(shí)際上，作為一個(gè)活躍的研究主題，初等幾何學(xué)在古代就已經(jīng)“結(jié)束了”。也因?yàn)檫@樣，如果你僅僅從初等幾何學(xué)或者初中和高中學(xué)過的其他一些已經(jīng)結(jié)束了的數(shù)學(xué)分支的角度來觀察數(shù)學(xué)，進(jìn)而對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)形成自己的想法的話，那就很難了解到數(shù)學(xué)其實(shí)是一直處在進(jìn)步之中的，而這種想法也不無道理。

那么，“新”的數(shù)學(xué)會(huì)以什么形式產(chǎn)生呢？數(shù)學(xué)是怎樣“進(jìn)步”的呢？就像Thomas Kuhn所說的，其產(chǎn)生一般會(huì)有兩種形式，一種是在“科學(xué)的常規(guī)發(fā)展”中通過連續(xù)地積累而產(chǎn)生新事物，另一種則是通過“范式轉(zhuǎn)型”而產(chǎn)生新事物。

舉例來說，笛卡兒是以引入了坐標(biāo)系并創(chuàng)立解析幾何學(xué)而聞名于世的，這種新事物就產(chǎn)生于上述第2種情況。也就是說，它是與范式轉(zhuǎn)型相對(duì)應(yīng)的一種進(jìn)步。通過笛卡兒所開創(chuàng)的這個(gè)新的數(shù)學(xué)范式，確實(shí)也能夠在古典的歐幾里得幾何學(xué)中得到很多新的結(jié)果，但這已經(jīng)不能算是古代數(shù)學(xué)所開創(chuàng)的歐幾里得幾何學(xué)了。

更進(jìn)一步地說，笛卡兒的理論并不是在前代數(shù)學(xué)家們堅(jiān)持不懈地建造起來的歐幾里得幾何學(xué)這個(gè)建筑物之上又繼續(xù)建造出來的東西，而是已經(jīng)超越了歐幾里得幾何學(xué)，或者如果把話說得再激進(jìn)一點(diǎn)兒，這是通過把歐幾里得幾何學(xué)這種過往的常識(shí)徹底打破以后而取得的進(jìn)步。同樣的說法也適用于19世紀(jì)中期相繼出現(xiàn)的“非歐幾里得幾何學(xué)”的發(fā)現(xiàn)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)具有非常巨大的“破壞力”，因?yàn)樗耆輾Я藗鹘y(tǒng)“幾何學(xué)”的范式。

01

《用數(shù)學(xué)的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者：[日]加藤文元

譯者：周健

1.日本天才數(shù)學(xué)家望月新一，為解決數(shù)學(xué)界頂級(jí)難題“abc猜想”而自建的IUT理論（即宇宙際Teichmüller理論）的解讀讀物，展現(xiàn)理論思考脈絡(luò)及其對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系的重大意義，同時(shí)也展示了數(shù)學(xué)家的思考方法。

2.深度展現(xiàn)數(shù)學(xué)家在做什么？數(shù)學(xué)家是如何思考的？數(shù)學(xué)的底層邏輯與深度思考方法等問題等，以及數(shù)學(xué)家如何挑戰(zhàn)人類遺留下的最后一個(gè)超級(jí)難題--ABC預(yù)測(cè)！

3.望月新一親自作序推薦，日本數(shù)學(xué)家加藤文元的嘔心瀝血之作，解鎖被遺留下來的數(shù)論難題。

02

《用數(shù)學(xué)的語言看世界（修訂版）》

作者：大栗博司

加州理工學(xué)院理論物理研究所所長(zhǎng)、東京大學(xué)Kavli 數(shù)學(xué)物理聯(lián)合宇宙研究機(jī)構(gòu)研究主任大栗博司贈(zèng)給女兒的“私房”數(shù)學(xué)科普讀本。

全書以用“數(shù)學(xué)語言”解讀自然為線索，用生動(dòng)故事和比喻重新講解了數(shù)學(xué)的核心原理與體系，并且講解了把數(shù)學(xué)作為一門“語言”的思維方式，是數(shù)學(xué)入門，重新理解數(shù)學(xué)的科普佳作。