豆瓣8.7，這才是學(xué)好數(shù)學(xué)的底層能力：思維能力！

當(dāng)人們談?wù)撃切┨觳艛?shù)學(xué)家時，經(jīng)常會冠之以“天賦”“神秘的直覺”等美譽(yù)。關(guān)于數(shù)學(xué)的討論中也盡是諸如“搞數(shù)學(xué)的有沒有天分最重要”“做數(shù)學(xué)研究得有那種感覺才行”等論調(diào)。你的身邊應(yīng)該也有一些悲觀的家長吧，他們總是覺得“我家孩子根本就不是學(xué)數(shù)學(xué)的那塊料……”

但是， 在我看來， 這些都不過只是些宣傳口號罷了?！疤旆帧薄案杏X”等，說這話的人都是事后諸葛亮。那些被稱為“直覺”的靈光一閃，不過是早已得出答案的當(dāng)事者的事后說明而已。他們其實(shí)早已窺見了解決問題的正確途徑，只不過是換種說法，把解決的過程稱為“直覺”。當(dāng)你真正面對那些無法解答的問題時，我想這種神乎其神的所謂“直覺”的力量，根本不會有什么幫助吧!

真正的天才，并不是說他有才華就會大放光彩，能夠受人矚目一定是因?yàn)樗M(jìn)行了大量的思考和研究工作。在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里，沒有所謂“直覺”這樣的捷徑。最終能夠通往正確答案的唯一道路，就是要有韌性，要不斷地反復(fù)去思考問題之所在，耐心地追尋其中的邏輯。

來源 | 《數(shù)學(xué)思考法：解析直覺與謊言》

作者 | [日]神永正博

譯者 | 孫慶媛

問題 : 兩人手中分別持有 100 元的本金，兩人進(jìn)行以下規(guī)則的游戲。如果將游戲 A 與游戲 B 結(jié)合，那么輸贏情況會如何？

游戲 A

有 48% 的概率獲勝，使本金增加 1 元。

有 52% 的概率輸?shù)簦贡窘饻p少 1 元。

游戲 B

本金數(shù)額為 3 的倍數(shù)時，獲勝概率為 1%。除此之外，獲

勝的概率為 85%。

獲勝本金增加 1 元，失敗則本金減少 1 元。

很明顯，游戲 A 中輸?shù)母怕适呛芨叩?。而游?B 中，本金的數(shù)額有 1/3 的概率是 3 的倍數(shù)，此時獲勝概率僅為 1%，幾乎會必定輸?shù)粲螒?。本金?shù)字有 2/3 的概率不是 3 的倍數(shù)，此時獲勝的概率為 85%。但是一旦贏了，本金增加，幾次過后本金又會變成為 3 的倍數(shù)。所以，游戲 B 輸?shù)母怕释瑯雍芨摺＜热挥螒?A 和游戲 B 輸?shù)母怕识己芨?，那么將游?A 與游戲 B 結(jié)合，結(jié)果自然也是輸多贏少！

容易輸?shù)舻挠螒?+ 容易輸?shù)舻挠螒?= 容易獲勝的游戲？

兩個不利于獲勝的游戲，無論如何組合，也無法改變不利于獲勝的情況吧。一般人這樣想是非常自然的。

但 是， 馬 德 里 康 普 頓 斯 大 學(xué) 物 理 系 的 胡 安· 帕 隆 多（Juan Parrondo）教授卻提出了異議。如果將兩個容易輸?shù)舻挠螒?A、B 組合，則可以得到一個容易獲勝的游戲。單獨(dú)玩游戲 A 或游戲 B，結(jié)果均為輸多贏少，但是如果將游戲 A、B 巧妙組合，在不改變?nèi)魏纹渌麠l件的情況下，就可以將游戲結(jié)果變?yōu)橼A多輸少。真是令人難以置信！

先總結(jié)下前文信息，游戲 A 的規(guī)則是這樣的：

游戲 A

有 48% 的概率獲勝，使本金增加 1 元。

有 52% 的概率輸?shù)簦贡窘饻p少 1 元。

48% 和 52%，雖然從數(shù)字上看來兩個概率相差不大，但是如果一直玩下去，結(jié)果就會輸多贏少。因?yàn)樵谶@種由偶然性支配的游戲中，概率上的微小差異都會對結(jié)果產(chǎn)生巨大影響。

我們來看一下如果將游戲 A 連續(xù)進(jìn)行 400 次，本金會如何變化（圖 132）。在 48% 勝率的支撐下，玩家的本金最初還是有所增加的。但是，隨著游戲次數(shù)的增加，本金則越來越少。游戲中獲勝的概率與輸?shù)舻母怕氏嗖畈⒉淮螅啻芜M(jìn)行游戲后，本金最終還是會減少。

這里需要說明一下，圖 132 是我用計(jì)算機(jī)程序模擬得到的結(jié)果。大家也可以用其他方式驗(yàn)證，比如用一個略微不均衡的硬幣（正反面概率不同）就可以。

下面我們來看游戲 B，游戲 B 的規(guī)則有了一些小變化。游戲 B 中，獲勝概率會依據(jù)玩家本金的數(shù)額（是否為 3 的倍數(shù)）而變化。

游戲 B

本金數(shù)額為 3 的倍數(shù)時，獲勝概率為 1%。除此之外，獲

勝的概率為 85%。

獲勝本金增加 1 元，失敗則本金減少 1 元。

游戲 B 的勝負(fù)概率，需要依照當(dāng)下持有的本金數(shù)額，計(jì)算上較為繁瑣復(fù)雜。這里我還是使用計(jì)算機(jī)程序來模擬，可以得到大致的結(jié)果。圖 133 為游戲 B 進(jìn)行 400 次后的本金變化結(jié)果。

當(dāng)本金數(shù)額不為 3 的倍數(shù)時，獲勝的概率為 85%，我們可以舉例子來說明這一點(diǎn)。假設(shè)當(dāng)前的本金是 4 元，4 不是 3 的倍數(shù)，因此玩家此時獲勝的概率高達(dá) 85%。此時如果玩家決定參與游戲 B，就有 85% 的概率贏，本金就增加 1 元，變成了 5 元。這時，5 也仍然不是 3 的倍數(shù)，因此玩家下一輪再進(jìn)行游戲 B 的話，仍然會有 85%的概率將本金增加到 6 元。

但是，當(dāng)本金變?yōu)?6 時，因?yàn)?6 是 3 的倍數(shù)，此時玩家獲勝的概率僅有 1%。這就意味本金基本會減少為 5 元。非常有趣的是，曲線此時呈現(xiàn)出了上下波動的現(xiàn)象，即本金“增加 1 元、減少 1 元”的重復(fù)循環(huán)。在圖 133 中，我們可以很明顯地觀察到這種現(xiàn)象。

不過，隨著游戲的進(jìn)行，偶爾也會出現(xiàn)連續(xù)獲勝或連續(xù)輸?shù)舻那闆r，這時曲線就會暫時擺脫波動循環(huán)。但是，從總體而言，本金減少的概率還是高一些，因此本金會逐漸減少下去。

在具體分析了游戲 A 和游戲 B 之后，下面就是我們本節(jié)所要探討的焦點(diǎn)問題：“組合游戲 A 和游戲 B，是否可以改變勝敗概率?！?/p>

組合的結(jié)果

根據(jù)目前的信息，可以將游戲 A 和游戲 B 的規(guī)則用圖 134 的樹狀圖來呈現(xiàn)。

在前文的計(jì)算機(jī)模擬中，不論是游戲 A 還是游戲 B，本金最后都是減少。在這種不利的條件下，帕隆多教授究竟想出什么策略可以扭轉(zhuǎn)局勢呢？

令人驚訝的是，他的思路非常簡單：“將游戲 A、游戲 B 組合，50% 的概率進(jìn)行游戲 A，50% 概率進(jìn)行游戲 B。”也就是說，游戲 A和游戲 B 分別以 50% 交替進(jìn)行。帕隆多教授認(rèn)為，只要將游戲如此組合設(shè)計(jì)，就有可能使本金呈現(xiàn)增加的趨勢。

按照帕隆多教授的思路，下一輪進(jìn)行哪一個游戲，是由概率決定的。這個概率分別設(shè)計(jì)為 50%，這就意味著增加游戲次數(shù)的情況下，基本都不會出現(xiàn)連續(xù)進(jìn)行游戲 A 或游戲 B 的情況。我們可以再用計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行 400 次模擬，其中游戲 A 進(jìn)行 200 次，游戲 B 同樣也是 200 次。

不過，原本輸多贏少的游戲 A、游戲 B，以 50% 的概率交替進(jìn)行，就可以讓本金增加嗎？怎么想都覺得不太靠譜。

我們馬上用計(jì)算機(jī)程序模擬來看一看結(jié)果。將游戲 A 與游戲 B 以 50% 的概率交替進(jìn)行的形式組合為游戲 C，模擬運(yùn)行 400 后，就得到了圖 135 的結(jié)果。為了與游戲 A、游戲 B 對比，圖中也加入了單獨(dú)運(yùn)行游戲 A、游戲 B 時的結(jié)果。

圖 135 中，最上方的曲線就是游戲 C 的模擬結(jié)果。游戲 C 是游戲 A 和 B 的組合，但是游戲 C 的本金變化趨勢卻與 A 和 B 截然不同。游戲 C 中的本金是上漲的，而且不是增加一點(diǎn)點(diǎn)兒，是呈現(xiàn)出了整體增加的趨勢。

僅僅是讓游戲 A、B 交替進(jìn)行，就導(dǎo)致了顛覆性的結(jié)果。這究竟是什么原理？

我們先來用圖 134 確認(rèn)一下游戲的情況。但是圖 134 的樹狀圖，只用來說明“進(jìn)行游戲 A、游戲 B 的結(jié)果如何”。并不能解釋組合 A和 B 后的顛覆性結(jié)果。這是因?yàn)?，由游?A、游戲 B 組合而成的游戲 C 是“動態(tài)”的。

因此，隨著游戲次數(shù)的增多，我們需要考慮游戲 C 中“趨于固定的結(jié)果”（這種狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)）。

圖 136 呈現(xiàn)了游戲 A、B、C 各自的變化。這個狀態(tài)圖中涵蓋了游戲 A、B、C 所有可能的狀態(tài)，即本金除以 3 后余數(shù)為 0、1、2 的情況，以及勝負(fù)概率、游戲如何繼續(xù)的情況。

下面我來具體說明一下這個狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖的解讀方法。因游戲 A、 B 的圖的構(gòu)成機(jī)制是相同的，所以這里只選取運(yùn)行機(jī)制更為復(fù)雜的游戲 B 進(jìn)行說明。

在游戲 B 中，當(dāng)本金除以 3 的余數(shù)為 0 時，游戲的勝率只有1%。若游戲獲勝，則本金增加 1 元，增加后的本金除以 3 的余數(shù)變?yōu)?1。這就是圖中 0 和 1 之間標(biāo)有 1% 箭頭代表的意思。

當(dāng)本金除以 3 余數(shù)為 2 時，此時本金不能被 3 整除，所以勝率變?yōu)?85%，如果獲勝，則本金增加 1 元，增加后的本金除以 3 的余數(shù)又變?yōu)?0。這就是圖中 2 和 0 之間標(biāo)有 85% 箭頭代表的意思。

以上分析中選取的都是 1%、85% 的獲勝概率，輸?shù)舻那闆r原理也是同樣的。類似這樣，當(dāng)前狀態(tài)在概率的影響下變?yōu)橄乱环N狀態(tài)，這種情況在概率論中稱為“馬爾可夫鏈”。

將游戲 A、B 的狀態(tài)變化的概率相加，然后除以 2，就可以制作出游戲 C 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。

這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示的是進(jìn)行一次游戲時的狀態(tài)變化，當(dāng)游戲次數(shù)增加時，余數(shù)分別為 0、1、2 的概率又會有什么變化呢？將 0、1、2 比例為 1∶5∶8 的游戲進(jìn)行 200 次，其變化情況如圖 137 ～圖 139 所示。

這里需要說明一下，初始狀態(tài)中把余數(shù)為 0、1、2 的比例設(shè)置為 1∶5∶8，并沒有什么特殊的含義。初始狀態(tài)選擇差異較為明顯的比例，會使后續(xù)的變化更清晰可見。初始狀態(tài)設(shè)定為其他比例也是完全可以的。

觀察圖 137 ～圖 139 的變化可知，在三個模擬測試中，雖然最初三者的比例有所波動，但最后都分別穩(wěn)定在了一個固定的比例上。

獲勝的原因

圖 137 ～圖 139 中賭局 A、B、C 各自的狀態(tài)變化有一個共同規(guī)律，那就是本金除以 3 的余數(shù)為 0、1、2 的情況，都是分別逐漸趨向一個固定比例。我們可以用表 8 來總結(jié)一下這個固定比例。

可 以 看 到， 在 游 戲 A 中， 余 數(shù) 為 0、1、2 的概率都同樣是33.3%（1/3）。而游戲 B 中，余數(shù)為 0 的概率是 43.0% ；余數(shù)為 1 的概率是 7.8% ；余數(shù)為 2 的概率是 49.2%。在游戲 C 中，三者分別為35.4%、22.7%、41.9%，已經(jīng)非常接近了（穩(wěn)定狀態(tài)）。

這里正是關(guān)鍵所在！請注意，游戲 C 的穩(wěn)定狀態(tài)下，三者的比例并不等于 A 和 B 相應(yīng)數(shù)值相加后除以 2 的值。

要判斷游戲的條件是有利還是不利，還需要計(jì)算出游戲進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后的期望值。計(jì)算結(jié)果顯示，游戲 A、B 的期望值均為負(fù)數(shù)，而游戲 C 的期望值是正的。如圖 140 所示，對于游戲 A、B、C 中的任意一個游戲而言，將本金為 3 的倍數(shù)時勝率設(shè)為 p1 ，不是 3 的倍數(shù)時勝率設(shè)為 p2 ，只要將 p1 、 p2 設(shè)置為特定的一組值，就可以在游戲中獲勝。

計(jì)算 p1 、 p2 各自概率所對應(yīng)的期望值。將期望值為正的區(qū)間（獲勝的區(qū)間）與期望值為負(fù)的區(qū)間（輸?shù)舻膮^(qū)間）用顏色加以區(qū)分，就可以得到圖 141。圖中上方（白色區(qū)域）為獲勝區(qū)間，下方（灰色區(qū)域）為輸?shù)舻膮^(qū)間。通過判斷 p1、 p2 組合的值落入上方區(qū)域，還是到了下方區(qū)域，游戲的勝負(fù)情況也就一目了然了。

如圖 141 所示，游戲 A 的結(jié)果為 p p 1 2 = = 0.48（48%），同樣游戲 B 中 p1 = 0.01（1%）、 p2 = 0.85（85%），圖中這兩個游戲的對應(yīng)的小黑點(diǎn)均位于輸?shù)粲螒虻膮^(qū)間。

而游戲 C，即將游戲 A 和游戲 B“以特定的比例組合在一起”時，相應(yīng)的 p1 、 p2 值的組合也應(yīng)當(dāng)位于連接這兩點(diǎn)的線段上。

游戲 C 由游戲 A、游戲 B 分別以 50% 的概率組合而成，因此游戲 C p1、 p2 的位置如圖 142 所示，為連接游戲 A 和游戲 B 線段的中點(diǎn)。

很明顯，代表游戲 C 的點(diǎn)落在了白色獲勝區(qū)間內(nèi)。可見，將兩個輸多贏少的游戲組合起來，確實(shí)可以得到一個贏多輸少的游戲。實(shí)際上，這個意外的反轉(zhuǎn)，是由圖中游戲 B 灰色區(qū)域的凹陷部分導(dǎo)致的。這也正是帕隆多悖論的奧秘所在。

自帕隆多悖論被提出之后，陸續(xù)有一些其他的案例被證明適用于該理論，這些案例都是通過將條件不利的游戲進(jìn)行組合從而構(gòu)造出條件有利的游戲?？瓷先l件不利的游戲，其中其實(shí)也隱藏著意外的反轉(zhuǎn)之道。

01

《數(shù)學(xué)思考法：解析直覺與謊言》

作者： [日]神永正博

譯者：孫慶媛

《簡單微積分》作者神永正博經(jīng)典著作！

分析信息真正價(jià)值 / 拆解轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題 / 破除思維定式陷阱。

通過用數(shù)學(xué)思維解析實(shí)際生活案例、公眾認(rèn)知中的錯誤直覺、數(shù)學(xué)經(jīng)典名題等方式，由淺入深地傳授了分析數(shù)據(jù)信息價(jià)值、辨別謊言、拆解轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題、抓住事物本質(zhì)的思考之法，同時講解了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識與理論，可以有效提高理性思維、判斷與解決問題能力。

02

《可變思考：數(shù)學(xué)與創(chuàng)造性思維》

作者：[日]廣中平祐

譯者：佟凡

日本數(shù)學(xué)大家、菲爾茲獎得主廣中平祐著作！稻盛和夫力薦，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家觀察事物的獨(dú)特視角與思考方式。

1.稻盛和夫力薦，日本累計(jì)銷售10萬冊！

2.菲爾茲獎得主理解“復(fù)雜”與“變化”的巧妙視角，用數(shù)學(xué)的智慧探索創(chuàng)造力的本質(zhì)

3.講述創(chuàng)造性思維的本質(zhì)與根源傳授學(xué)習(xí)、研究、教育中的創(chuàng)造性思維的模式與方法