手把手教你網格作圖——2023年天津市中考數學第18題

手把手教你網格作圖

2023年天津市中考數學第18題

在進行網格作圖之前，我們有必要先回顧尺規作圖的基本方法，包括作圖原理，畢竟網格作圖仍然是基于尺規作圖原理，網格是由大小完全相同的正方形排列而成，它的基本構成是網格線和格點，其中網格線之間的關系為平行或垂直，相鄰網格線間的距離相等，網格線的交點為格點，通常情況下，網格會有大小限制，并非無限延伸.

近年來網格作圖題在全國各地中考都有呈現，尤其是天津市網格作圖題，被喻為難度天花板，武漢市(非省考)中考數學第21題也是網格作圖，且該題區分度一直優秀.

題目

如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，等邊△ABC內接于圓，且頂點A，B均在格點上．

（1）線段AB的長為_________；

（2）若點D在圓上，AB與CD相交于點P，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點Q，使△CPQ為等邊三角形，并簡要說明點Q的位置是如何找到的（不要求證明）．

解析：

01

(1)AB=√29；

02

(2)先簡要分析圖中已有幾何元素，等邊△ABC，其中A、B在格點處，它有一個外接圓，點D在這個圓上，點P在AB邊上，然后我們從尺規作圖角度來看點Q的位置與各元素間的關聯，如下圖：

若以尺規作圖，以C為頂點，CP為邊作等邊△CPQ，連接BQ、BD，立刻出現一對全等三角形，△APC≌△BQC，若我們能夠構造出這樣一對全等三角形，那么很容易得到等邊△CPQ，并且這一對全等已經具備了一個必要條件即AC=BC；

逆向思考：我們可求出∠CBQ=60°，于是∠ABQ=120°，可證BQ∥AC，于是若能過點B作AC的平行線，則可得到全等的第二個必要條件∠CBQ=∠A；

再連接BD，過點A作AE∥BD，交圓于點E，由同弧所對圓周角相等，得∠ACP=∠BCQ，這是全等的第三個必要條件；

根據以上推導，我們可得到一個找到點Q的方法，構造△ACP≌△BCQ，分別過點B作AC的平行線BQ，再過點A作BD的平行線AE，則CE延長后與BQ相交于點Q.

回到網格圖里，我們分別研究這兩條平行線的作法：

①過點B作AC的平行線

突破口在線段AB與網格線的交點G，它是線段AB與網格線的交點，特殊之處在于，它是AB中點，也是網格中小正方形邊長的中點(這很重要！)，我們可以通過構造全等三角形來證明這個結論；

此時的點G，已經成為部分網格的對稱中心，如下圖：

我們觀察這兩個關于點G中心對稱的正方形網格，其中AC與網格線的交點E恰好在左側正方形中，如果我們連接EG并延長，一定可以與對應小正方形的邊交于點F，如下圖：

只要再連接BF，立刻便得到了一對全等三角形，△AEG≌△BFG，就可以證明BF∥AC，只要再延長FB，就完成了這一步的任務；

②過點A作BD的平行線

過點A作BD的平行線，方法與前面類似，如下圖：

仍然利用點G在網格中的特殊地位，取BD與網格線交點K，連接KG并延長，找到它的中心對稱點K'，再連接AK'并延長，交圓于點M，根據圖中構造的全等三角形可證AM∥BD；

連接CM并延長，交射線FB于點Q，連接PQ；

作圖依據：由于AM∥BD，且它們在圓內都是弦，所以它們所夾的弧相等，這兩段弧所對的圓周角也相等，于是∠ACP=∠BCQ，再由前一步驟中BF∥AC，得到∠ABQ=120°，減掉∠ABC之后，得∠CBQ=60°，所以∠CAP=∠CBQ，再加上AC=BC，可證△ACP≌△BCQ，如下圖：

所以CP=CQ，現在只剩下最后一個需要驗證的問題，即∠PCQ是否為60°？

由AM∥BD，可得∠CNM=∠D=60°，由同弧所對圓周角相等，可得∠CMN=∠ABC=60°，所以∠CPQ=60°.

保留全部作圖過程后，如下圖：

解題思考

本題最難想到的是點G的用途，它不僅是線段AB的中點，更可以看作是一部分網格的對稱中心，至于是哪部分網格，根據需要取舍，可以是2個、4個甚至更多網格的對稱中心；

仍然以作AC的平行線為例，如下圖：

同樣在作BD的平行線的時候，也存在多種作法，如下圖：

線段BD與網格線的交點，除一個之外，其余均可用于構造全等三角形，從而作出BD的平行線，有興趣的讀者可以思考，哪個點不行，為什么？

網格作圖極考驗學生的幾何綜合能力，利用網格構造所需的幾何圖形，必須對各類基本圖形如全等三角形、平行四邊形、圓等概念理解透徹，才有可能在作圖過程中想到去構造它們.

我們需要認識到網格作圖與尺規作圖間緊密的聯系，讓學生意識到尺規作圖的重要性，并且理解作圖依據，這是核心任務；并在平時就設計相應的數學活動，讓學生逐漸學會用網格代替部分尺規操作，在網格環境下重新理解作圖依據.