龐斯萊(V.Poncelet)的玩具——定線軌跡問題探究

龐斯萊(V.Poncelet)的玩具

定線軌跡問題探究

在幾何動點問題系列中，運動軌跡問題通常難度較高，需要學生對整個運動過程中，點的運動路徑有清醒的認識，更需要用方程或函數去描述，當我們建立了平面直角坐標系之后，初中數學范圍內運動過程中點的每一段狀態，都可以有相應的函數描述，每一個點的位置，都可以找到相應的方程的解。基于以上認知，再來看定線問題，所謂定線，可分為固定直線、過定點的直線、定圓等，涉及到的知識很多，這里的“定”是確定的意思，可以是已知數值，也可以是字母表示的常數，理解了這些內容，我們來看下面這道題.

題目

解析：

01

(1)先理解玩具中的小棍在數學上的意義，即定長線段，按題目描述，設AB=BC=BG=a，AF=AD=b，CD=DE=EF=CF=c，其中a、b、c均為常數，并滿足a

由這些條件，本小題可輕松秒掉了，如下圖：

連接DF之后，點A到線段DF兩端距離相等，點C到線段DF兩端距離相等，點E到線段DF兩端距離相等，因此這三個點都在線段DF的垂直平分線上，即圖中的AE所在直線；

02

(2)圖中已經給出了這條定線EH，由于EH⊥AB，因此我們只需要說明AH長度是定值，當AH長度為定值的時候，則點H為定點，而直線上經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，從而說明EH是定線；

連接CG，如下圖：

連接CG的目的是構造出一對相似三角形，△AGC∽△AEH，從而得到AC：AH=AG：AE，于是AH=AC·AE/AG，我們將等式右邊的線段AC，AE，AG分別用含a，b，c的代數式表示出來，便可說明AH的長為定值；

解題思考

在給學生完成的過程中，很多學生在審題環節被pass掉了，玩具的原理描述中，實際上是三種不同長度的木棍，這些長度就是定值線段，即需要我們用數學的眼光去看待玩具構成中的木棍；

另一個理解上的難點在于定線的理解，點E在一定直線上運動，在結論之前，題目給出了“當點C在半圓B上運動時，點E在一條直線上運動”，即點C和點E是相關聯的兩個動點，由點C帶動點E運動，之所以能帶動，則是線段定長的原因，這需要一點生活經驗，我們不少學生玩過玩具，這種連桿結構的玩具，就是典型的由幾根長度不一的木棍連接之后，相互之間的轉動，但聯動之下某個點會出現一種定態，很多機械方面的原理都與此有關；

在用參數表示線段AH長度的時候，相似三角形只是個引子，并沒有涉及到復雜的比例變換，這十分貼合2022版新課標中對相似內容的學業要求，重點在于對其中線段之間關系的尋找，勾股定理反倒更關鍵；

最后，順便說一下這道題目的制圖，無論是用幾何畫板或是GeoGebra，一定要作定長線段才能完美呈現整個動態過程。