建筑中的鑲嵌、密鋪和編織表面

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文著重于建筑表面的鑲嵌、密鋪和編織。這三個過程會讓覆蓋平面的連接形狀的出現幾何圖案。在建筑中，這種技術通常用于為地板、墻壁或天花板創造更耐久或防風雨的飾面。但它們也提供了一種裝飾表面的方法，以獲得美學、詩意或象征性的結果，其中一些被用來喚起特定的數學屬性。本文概述了建筑拼塊的發展，強調了與數學的重要聯系。建筑實例從簡單的新石器時代編織和石頭切割實踐到二十世紀末主要公共建筑中的不定期覆層系統。這一章也提到了過去對建筑中貼磚的研究以及過去已經研究過的主要主題。

介紹

Nikos Salingaros (1999)認為，縱觀歷史，圖案提供了建筑、數學和社會之間的基本聯系。人類的思維不僅被吸引去識別自然和社會中的圖案，還被吸引去開發新的圖案，并可視化地表現它們，以理解它們的應用或結果。Salingaros認為，在最基本的層面上，這種對圖案制作和識別的社會文化親和力“解釋了視覺圖案在人類傳統藝術和建筑中的普遍性”(1999: 76)。他甚至認為密鋪、鑲嵌或編織的幾何排列是社會中數學的“可見端倪”(Salingaros 1999: 76)，提供了抽象概念及其實際應用之間的重要聯系。從某種意義上說，即使是建筑中最基本的拼塊圖案制作也很重要，因為它代表了數學和世界之間的實用和詩意的聯系。但是對于Salingaros (1999)來說，這些基本的幾何圖案曾經是維持這種聯系的關鍵，但并不總是被慶祝或尊重。例如，在20世紀上半葉，他提出現代主義建筑師貶低了拼塊的作用，從那時起，大多數建筑師要么忽視了它，要么忘記了它的潛力。現代主義建筑師貶低鑲嵌的原因為建筑師和數學家對鑲嵌的態度差異提供了一個有趣的視角。

20世紀初的幾十年間，現代建筑運動在歐洲和美國蓬勃發展，對大型雕塑造型、功能表達和機械化生產情有獨鐘（Ostwald和Dawes，2018年）。因此，現代主義建筑師傾向于珍視混凝土、鋼材和玻璃等不需要應用飾面的材料，他們還呼吁摒棄一切裝飾和裝潢。例如，阿道夫·盧斯（Adolf Loos，1998年）等歐洲建筑理論家拒絕拼塊，理由是拼塊不衛生（有太多不必要的接縫）、有社會偏見（因為它需要特定階層的工匠）和文化低劣（因為非洲和亞洲的原始或部落藝術中經常使用幾何圖案）。

現代主義建筑師認為唯一可以接受的鑲嵌圖案是大規模工業制造的副產品。因此，使用預制構件制作的簡單直線網格或“堆疊”圖案被認為是“誠實”，因為它體現了材料的基本特性（圖 1）。標準的“拉伸”粘結拼塊排列被認為是“功能性的”，因為其重疊圖案增強了其結構特性（圖 2）。然而，“人字形”圖案則被認為是“不誠實的”，因為這種材料是用來達到裝飾效果的，因此在道德上是不光彩的（圖 3）。從數學意義上講，這三種鑲嵌——堆疊、拉伸和人字形——都有些微不足道。事實上，它們都可以用完全相同的部件或拼塊拼成，而且都能有效地覆蓋一個表面。但對于現代主義建筑師或理論家來說，圖案的選擇還必須考慮到倫理、道德或象征意義。

圖1：堆疊圖案

圖2：拉伸或流動圖案

圖3：人字形圖案

雖然詳細分析早期現代派對圖案制作的態度不在本文討論范圍之內，但它們確實讓我們了解到這一主題的復雜性。對于數學家來說，可以用代數或算法符號來表達鑲嵌，也可以用幾種相關的方法對其本質進行分析或分類。對于建筑師來說，拼塊或圖案表面必須適合場地的環境條件、建筑物的功能和預算。此外，圖案還可能喚起社會或文化屬性，象征價值觀或傳達特定信息。令人啼笑皆非的是，與數學發展聯系更為緊密的，正是建筑拼塊的后一種更具美學或詩意的特性。事實上，在20世紀的最后十年，人們對建筑中的復雜密鋪重新產生了興趣，這種興趣一直持續到今天。

盡管人們對貼磚的態度不斷變化，但最近一個用于分類建筑與數學之間聯系的框架將“表面銜接”確定為貫穿建筑史的一貫主題。表面銜接被定義為“使用數學來有效或可控地覆蓋一個確定的平面”（Ostwald and Williams 2015: 40）。這一類別包括“根據經驗或直覺得出的實現防水或防風[......]表面的方法”，以及使用幾何拼塊“實現復雜的圖案表面覆蓋”（40）。這些定義包含了拼塊在建筑中的實用和美學意義。不過，在本文中，我們只是簡要地討論了鋪貼的實用性，因為建筑與數學方格之間一些最有趣的聯系往往是設計師從數學的特殊發展中獲得靈感而產生的。

本文介紹了建筑環境中拼塊鋪貼的歷史背景，并概述了數學領域的平行發展。不過，在繼續討論之前，有五點注意事項必須說明。首先，本文討論的大多數“建筑”實例都是室內或室外表面，而不是完整的建筑物，因此它們也可以被視為來自室內設計或外墻設計領域。其次，本文還討論了編織表面，將其視為一種特殊的拼塊。增加這一內容的原因在下一節中將會更加清楚，但原始社會最早創造的圖案表面通常是編織而成的，其幾何表現形式類似于拼塊或棋盤格表面，即使它們的制作方法并不相同。第三，本文的大部分內容都是關于表面或“平面填充”拼塊的。然而，我們也可以討論空間的密鋪或鑲嵌，這與“空間填充”特性有關。正如正方形拼塊可以輕易地覆蓋一個表面，形成網格狀圖案，立方體拼塊也可以輕易地填充網格中的體積。除少數例外，建筑界對拼塊的興趣主要集中在前一類，即表面網格，而使用體積網格的例子并不多見。最后，當藝術家、設計師或建筑師受到數學啟發時，他們傾向于改編而不是采用數學家的語言。因此，建筑師描述密鋪的方式與數學中使用的術語并不一致。此外，建筑師對當代鑲嵌理論的了解有限，在應用鑲嵌圖案時往往對其數學特性缺乏深入了解。在閱讀本文和研究其中的實例時，應牢記最后這一點。

密鋪背景

在建筑學和數學中，“密鋪”和“鑲嵌”這兩個詞經常交替使用，用來描述用多邊形覆蓋表面的過程。雖然有些數學文獻在圖案有明確的基本規則時使用 “tessellation”（鑲嵌）一詞，而在沒有規則時使用 “tiling”（密鋪）一詞，但這種用法并不一致。tessellation "一詞源于拉丁文 tessela，是古希臘和古羅馬世界用于鑲嵌的半規則立方體小拼塊。而 “tile”（拼塊）一詞的起源通常可追溯到拉丁語 tegula，意為覆蓋某物。從本質上講，這兩個詞都起源于用更小、更耐用或裝飾性更強的元素覆蓋大面積墻壁、地板或天花板的過程。

鑲嵌的一個更數學的定義是，它是使用平面形狀覆蓋一個表面的過程，以滿足兩個條件。首先，任何拼塊之間不得有重疊，其次，在生成的表面上不得有間隙。如果這兩個條件都滿足，那么這種密鋪就被稱為“完全的”或“真實的”除此之外，圖案中特定多邊形的每個實例都被定義為一個“拼塊”，用于創建鑲嵌的不同多邊形類型的數量被稱為“拼塊集”因此，如果一個表面被相同大小的正方形拼塊覆蓋，這是一個拼塊集，因為只有一種類型的拼塊(圖4)。上一節中的堆疊、拉伸和人字形示例都有一個拼塊集。如果一個表面被正方形拼塊和直角三角形拼塊(由一個正方形的對角線分割而成)的混合物覆蓋，則它被描述為兩個拼塊集，以此類推。理論上，拼塊集沒有最大數量，因為每個拼塊都可能與其他拼塊不同。相比之下，只有三種“規則”或“全等”鑲嵌，即正方形、等邊三角形和六邊形(圖4、5和6)。像這樣顯示多條對稱線或重復其配置的鑲嵌通常被稱為“周期”集。一些最容易辨認的周期性圖案是基于正方形、長方形、梯形或平行四邊形。此外，通過僅重復單一形狀，幾個三維形狀也可以完美地填充空間體積。最明顯的例子是立方體，但是菱形十二面體以及一些三角形和菱形棱柱也具有這種性質。

圖4：正方形

圖5：等邊三角形鑲嵌

圖6：六邊形鑲嵌

周期性拼塊必須有對稱線或重復其配置，而“非周期性”拼塊也有兩種類型。第一類拼塊既可以周期性地填充平面，也可以非周期性地填充平面，這取決于組裝它們的規則。加德納四邊形就是第一類非周期性拼塊的一個例子（奧斯特瓦爾德，1998 年）。第二類拼塊是數學家和建筑師最感興趣的拼塊，它們只能以非周期方式密鋪。近年來，這類拼塊已成為大量研究的焦點，但在20世紀60年代之前，人們甚至不知道它的存在。

1961年，王浩開始研究，如果給定一個特定的多邊形拼塊集，是否有辦法確定其周期性地鋪貼平面的能力（即確定它們是否會重復其配置）。然而，1965 年，羅伯特·伯杰（Robert Berger）證明，不可能開發出周期性鋪貼的程序，因此非周期性拼塊集和圖案必然存在（魯賓斯泰姆，1996 年）。這一認識引發了該領域的一系列發展，伯杰提出了第一個非周期性拼塊集，該拼塊集有 20426 種不同的形狀。1967 年，伯杰將這一數字減少到 104 個；1968 年，唐納德·克努特將其減少到 92 個；1971 年，拉斐爾·羅賓遜將該集合減少到只有 6 個拼塊。兩年后，羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）證明，利用平行四邊形密鋪法，可以將圖形集減少到兩塊拼塊，這就是今天的“彭羅斯拼塊”或“飛鏢和風箏”圖形集（圖 7）。20 世紀90年代初，約翰·康威發現了另一種雙拼塊非周期性集合，即“風車”集合。

圖7：彭羅斯的“飛鏢和風箏”非周期鑲嵌

有趣的是，彭羅斯的“飛鏢和風箏”組合呈現出一種“準對稱性”，讓人聯想到20世紀60 年代在準晶體幾何中發現的五重對稱性，以及20世紀80年代在鋁錳晶體中發現的五重對稱性（Stewart和 Golubitsky，1993年；Ostwald，1998年）。康威拼塊的一個奇特特征是，與分形幾何形式一樣，它們也可以按比例縮放，這樣較小的拼塊集可以嵌套在較大的拼塊集中（圖 8）。有多種周期性集合可以出現這種情況，但康威圖案是唯一具有這種特性的著名非周期性集合。盡管如此，這種拼塊集往往是貝努瓦·曼德布羅特（Benoit Mandelbrot）所說的“微不足道的分形”，這意味著細分圖案與分形幾何之間的聯系并不一定像這個例子所暗示的那樣重要或有趣（奧斯特瓦爾德和沃恩，2016 年）。一些細分圖案會在更大尺度上重復其小尺度幾何形狀，這也是分形定義的一部分。但也有很多非分形圖案具有相同的特性，包括全等正方形（圖 4）和等邊三角形（圖 5）。

圖8：康威的“風車”非周期鑲嵌

在開發平面填充非周期性拼塊集的同時，也有一些關于空間填充非周期性拼塊集的建議。Koji Miyazaki（1977 年）和羅伯特·安曼（Robert Ammann）都發現了兩種可以填充空間的非周期性拼塊集。安曼的拼塊集由一對菱形組成，這對菱形由兩個實體構成，每個實體都有六條邊，這些邊都與彭羅斯形成飛鏢和風箏集的起始菱形相同。此外，還開發了非周期性沃羅諾伊鑲嵌的平面填充和空間填充變體。雖然這些沃羅諾伊集合不具備安曼集合和Miyazaki集合的數學純度，但它們卻非常有趣，因為它們似乎復制了一些自然現象，而這些自然現象反過來又啟發了建筑師、設計師和藝術家。

建筑中的拼塊

縱觀歷史，拼塊一直與建筑密切相關。即使是最早的原始住所也常常鋪著編織席子，用粗略堆疊的磚石砌成墻壁，并刻有幾何圖案。最古老的建筑基礎神話之一，“古代人的原始小屋”，描繪了史前人類將樹枝拼成一個緊密的網格，以創建第一個庇護所(Rykwert 1991)。這種編織籃子、墊子和屏風的方法可以在中石器時代之前和新石器時代(公元前10，000年)找到證據。這些早期的建筑是通過密鋪干樹葉或藤蔓來創造更大的表面。通過重復規則的圖案，這些編織物品變得更加耐用，通過組合不同的材料，它們成為裝飾性的表面，通常具有文化意義(Gerdes 1999)。

Indra Kagis McEwen（1993 年）認為，建筑的起源——不僅指最早的建筑作品，還包括神話中作為建筑起點的作品——可以追溯到編織結構或馬賽克地板。雖然從數學的角度來看，編織和鑲嵌是不同的過程，但它們有幾個共同的語言祖先，而且它們的表面條件具有相似的特性。例如，在希臘神話中，代達羅斯被認為是第一位建筑師，因為他創造了克諾索斯的迷宮和阿里阿德涅的舞池——馬賽克舞池。然而，關于哪一個被認為是第一個建筑作品，仍然存在一些混淆。在神話中，這兩件作品都被歸類為建筑，因為它們都是使人類行為生動的幾何編織物。首先，代達羅斯在克諾索斯建造的迷宮是一個復雜的空間圖案，它描述了米諾陶洛斯在迷宮核心走過的路徑，以及被釋放到迷宮中的犧牲者。相反，阿里阿德涅的“詠嘆調”則囊括了舞者在參與編排儀式時所遵循的運動圖案。在這兩種情況下，表面圖案都很重要，因為它塑造或激發了人們的行動。無論這些例子中的哪一個可以被視為第一件建筑作品，在希臘和羅馬神話中，建筑的起源顯然與創造表面圖案的行為息息相關。

Grünbaum 和 Shephard（1987: 1）認為，實用的“拼塊藝術”始于首次使用石頭鋪設地板。在新石器時代的遺址中可以發現這種不規則的地板，而從公元前7000年左右開始，有證據表明糧倉中使用了更加規則的石質和木質地板。在美索不達米亞和古埃及，原始磚塊的制作方法是將粘土放入正方形或長方形的模具中（通常中間部分加厚或挖空，以便于堆放），然后在窯中燒制或在太陽下曬干。這些磚塊被用來建造道路、小徑、地板和墻壁，并以各種圖案拼接在一起，以增加其強度或耐久性。

Grünbaum和Shephard（1987: 1）還特別將“拼塊藝術”與建筑聯系在一起，因為在最早的社會中，人們就意識到拼塊圖案可以增加建筑物表面的豐富性、裝飾性或點綴性。此外，在任何歷史時期，“無論哪種拼塊受到青睞，其藝術和技術總是吸引著高超的工匠、富有創造力的從業者和寬宏大量的贊助人”（Grünbaum 和 Shephard，1987 年：1）。例如，最早的馬賽克可以追溯到美索不達米亞，當時人們將彩色拼塊組合在一起，在墻壁或地板上創造出圖案或圖畫。在古波斯和印度的建筑中也廣泛使用了以幾何而非圖像表現為主題的彩色拼塊，如今它們通常與伊斯蘭建筑聯系在一起。雖然這種密鋪圖案的使用比這更普遍，但北非和中東的清真寺、伊斯蘭學校和宮殿代表了有史以來最先進的密鋪應用，至今仍是引人入勝和爭論的焦點（Bonner，2017 年；Wichmann 和 Wade，2017 年）。

密鋪是伊斯蘭建筑的重要組成部分，因為宗教信仰限制使用圖像或形象表現。因此，在伊斯蘭建筑中，精心雕刻和鑲嵌的拼塊和阿拉伯式花飾達到了可能是最高的精致程度，這一點也不足為奇。例如，位于格拉納達（安達盧西亞）的摩爾人宮殿阿爾罕布拉宮就有13到16種不同類型的全等或等距圖案。這些拼塊大多來自13世紀末14世紀初的擴建工程，如今因其豐富性和創造性而備受贊譽。后一個方面，即創造性，具有重要意義，因為直到17世紀，約翰內斯·開普勒才完成了對鑲嵌的首次認真研究，而到了19世紀，葉夫格拉夫·費奧多羅夫才確定周期性的棋盤格都符合17種等距或“壁紙”組中的一種。因此，在數學家們對周期性密鋪中不同類型的全等進行分類和理解的三百年前，阿爾罕布拉宮的設計師們就已經使用了其中的許多全等。

Lu和Steinhardt（2007 年）在另一個例子中指出，15世紀中期伊朗建筑中的幾種鑲嵌圖案與彭羅斯鑲嵌圖案有相似之處，它們似乎具有準周期性。Lu最初在布哈拉（烏茲別克斯坦）的宗教學校中觀察到了這些特性，并在伊斯法罕（伊朗）的 Darb-i Imam 神殿中觀察到了更先進的版本。雖然有關伊瑪目神廟拼塊圖案的真實性和制作日期都存在爭議（Lauwers，2018 年），但布哈拉的庫克爾達什伊斯蘭學校也在三維棱形天花板穹頂或拱門內擁有幾個復雜的拼塊表面（Makovicky，2018 年）。

歐洲出現了一套完全不同的拼塊鋪設傳統，修道院、公共建筑和商業建筑的地板通常鋪設對稱、重復的彩色圖案，而教堂和宮殿則鋪設馬賽克，表現《圣經》中的場景、著名戰役或風景。因此，歐洲的拼塊鋪設方式出現了分化，功能性較強的圖案被保留在內部通道或軸線上，而繪畫傳統有時與壁畫或特羅姆普爾（tromp l orl）同時出現，成為一種交流或娛樂方式。

第一種類型的拼塊，尤其是所謂的“棋盤格”拼塊，在古希臘神廟、羅馬別墅、中世紀酒莊和維多利亞時代的醫院中隨處可見。一般來說，這類幾何拼塊多用于入口、走廊或中庭。雖然基礎圖案通常比較簡單，但也經常使用“邊磚”或裝飾性拼塊，有時會描繪紋章或行會標志和徽章。盡管使用了彩色拼塊和具有不同紋理或插圖的拼塊，但這些拼塊中的許多在很大程度上可被視為功能性應用。不過，也有明顯的例外，包括共濟會會所和寺廟的拼塊地板。這些儀式用的地板通常呈直角形，由黑白棋盤式拼塊鋪成（通常是對角線鋪成），邊框由三角形（或菱形）拼塊圍成。這些地板的中央有許多裝飾拼塊，上面刻有十字架（"saltires"）和六角星，或者在四角鑲嵌有共濟會工具的圖案：正方形、圓規、鉛垂線和泥鏟。

西班牙巴倫西亞著名的2世紀馬賽克作品就是第二種拼塊鑲嵌的典范，這種拼塊鑲嵌的目的更多是為了表現或描繪。這幅鑲嵌畫描繪了正方形場地上的四季景色，場地被對角線分割成四個三角形區域，再細分為八角形、梯形和十字形。每個三角形區域都以人臉為中心（在八角形拼塊內），周圍是鳥類、植物和神獸的圖案，代表一年中時間的流逝。另一個例子是六世紀意大利拉文納的圣維塔萊大教堂，精致的馬賽克以海倫式羅馬裝飾傳統中豐富的金色和棕色色調描繪了《舊約圣經》中的故事。這些馬賽克中拼塊圖案的基本幾何形狀并不重要，因為其目的是說明圣經主題與自然元素（植物和動物）的結合。圣維塔萊大教堂（Basilica di San Vitale）也有一個著名的馬賽克地板，上面描繪了一個迷宮，法國13世紀的沙特爾大教堂（Chartres Cathedral）也是如此。雖然這類迷宮的實際目的尚不清楚，但它們通常被解釋為朝圣者為到達禮拜場所而走過的艱難道路的象征，或者是跪在地上的懺悔者為尋求赦免而在大教堂地板上走過的真實道路。這些例子與克諾索斯的大神迷宮和阿里阿德涅的舞池一樣，都是用拼塊來說明潛在的或期望的運動。

到19世紀初，象形拼塊在歐洲大部分地區已不再受歡迎，因為它既昂貴又令人望而卻步，而且在一些國家，社會對它的接受程度也不如從前。與此相反，簡單的裝飾性拼塊變得非常經濟實惠，在許多房屋的壁爐周圍、門窗臺，甚至廚房的墻壁上都能看到它的身影。在英國和美國的維多利亞時代，拼塊不僅堅固耐用，還是展示中產階級財富的一種手段，而且還具有以前的石材、木材或灰泥表面所不具備的衛生水平。然而，在19世紀末期，一系列相互沖突的力量開始改變拼塊的使用方式。一方面，工業革命擴大了大規模生產的規模，拼塊比以往任何時候都更容易獲得；另一方面，隨著英國工藝美術運動的興起，人們對手工制作的拼塊產生了新的熱情。現代建筑逐漸成為二十世紀早期建筑的主流，它摒棄了維多利亞、哥特復興和工藝美術風格的建筑以及幾乎所有的拼塊傳統。奧斯卡·尼邁耶（Oscar Niemeyer）可能是唯一一位在其設計的潘普利亞和巴西利亞（巴西）宗教建筑中加入精致壁畫和拼塊表面的現代主義建筑師。

到20世紀70年代和80年代，越來越多的建筑師和城市規劃師開始批評現代主義，認為其空間和形式往往冰冷、缺乏人性。對現代主義的反彈被統稱為“后現代主義”，旨在重新引入與歷史的聯系和人文關懷。為了實現這些目標，后現代主義建筑師采用的一種設計策略是在墻壁和地板上鋪設華麗的拼塊裝飾，其中一些裝飾旨在復制或喚起人們對歷史名勝或事件的回憶。例如，建筑師查爾斯·摩爾于 1978 年在美國新奧爾良建成的意大利廣場。這個公共空間的設計采用了多種裝飾性的、超大的、色彩鮮艷的拼塊圖案，這些圖案通常會讓人聯想到古羅馬（或古希臘）建筑（詹克斯，1991 年）。意大利廣場的地面鋪設了黑白相間的同心圓拼塊，讓人聯想起圣維塔萊大教堂和沙特爾大教堂的迷宮地板，以及拉斯維加斯賭場和購物中心的標志性圖案。由于摩爾選擇的拼塊通常都是廉價的批量生產的，整個效果就像是一個臨時的舞臺布景。羅伯特·文丘里和丹尼斯·斯科特·布朗于1982年設計的戈登·吳廳（美國普林斯頓）在其入口立面上方使用了宏偉的裝飾性拼塊圖案，而他們于1983年設計的路易斯·托馬斯分子生物學實驗室（美國普林斯頓）則覆蓋了多種不同的磚塊方格圖案。在這兩種情況下，拼塊圖案都趨于簡單，但它們如此突出和大膽的擺放方式是為了與現代主義形成反諷，并喚起人們對歷史建筑風格的回憶（von Moos，1987 年）。

20世紀最后十年，建筑界首次直接接觸到數學密鋪。在澳大利亞墨爾本，ARM 建筑師受委托翻新歷史悠久的 Storey Hall 禮堂。他們的設計于 1996 年完成，在歷史悠久的外墻以及整個新門廳和禮堂上都鋪設了石灰綠色的彭羅斯拼塊。雖然可以將 ARM 對拼塊的使用歸類為后現代傳統的延伸，但他們的設計多次引用了非周期性拼塊的實際數學特性，其解釋直接參考了彭羅斯的著作（Ostwald，1998 年）。他們設計的飛鏢和風箏組合不僅在三維空間中發揮了部分作用，而且還強調了表面上那些被擱置的部分或由于所遵循的邏輯中的故意缺陷而無法鋪貼的部分的重要性。另一個較近的例子是，墨爾本聯邦廣場是一個大型藝術娛樂綜合體，于2002年竣工。它由LAB建筑師事務所設計，使用了一種針輪非周期性拼塊組作為外部覆層，并對其部分規劃進行了造型。外部的風車拼塊由鋅（實心和穿孔）、玻璃（半透明和磨砂）和砂巖制成。聯邦廣場的公共空間鋪設了鵝卵石（通常鑲嵌有文字碎片），鵝卵石下面是一個隱藏的環境“迷宮”。

聯邦廣場和斯托里大廳并不是唯一一個大膽采用最新數學拼塊集來生成建筑空間和形式的建筑。Voronoi 網格的例子還有很多，包括Minifie Nixon于2004年設計的墨爾本創意中心（Centre for Ideas）和ARM于2009年設計的墨爾本演奏廳（Melbourne Recital Hall）。非周期性和準周期性鋪地圖案非常受歡迎，已被用于許多公共建筑和空間，例如牛津數學研究所、巴黎科學中心和里耶卡的扎梅中心，甚至還被用于商業生產的浴室和廚房拼塊。

在本文所舉的大多數例子中，重點都放在無縫覆蓋的表面上，但某些周期性拼塊組的組合會造成無法鋪貼的區域。按照慣例，這種情況被視為缺陷或錯誤，可以通過移除周圍的一些拼塊并重新制作圖案，直到沒有孔洞為止。但是，如果將孔洞、其形狀和頻率視為密鋪圖案的另一個維度呢？約翰·康威將這種對密鋪的思考方式稱為“孔洞理論”，它類似于想象“一座巨大的寺廟，地面由彭羅斯拼塊拼成棋盤格，中間正好有一根圓形圓柱。拼塊似乎在柱子下面，[但]柱子卻蓋住了一個無法鑲嵌的洞”（Gardner 1989: 26-27）。ARM's Storey Hall 在早期建筑設計中就詮釋了表面無法鋪設拼塊部分的意義。

結論

公元前1世紀，羅馬作家和軍事建筑師馬庫斯-維特魯威·波利奧出版了《建筑學》。在這部著作中，他將建筑的三大核心特性定義為堅固、商品和愉悅。這些特性也是拼塊、鑲嵌和編織表面在建筑中經久不衰的魅力所在。密鋪的部分原因是為了增加表面的強度或穩定性，它還能改善表面的功能或可用性，并提供了發展裝飾性、象征性或詩意性的機會。因此，出于實用、社會和文化方面的原因，密鋪在建筑中一直具有重要意義。然而，建筑密鋪與數學密鋪之間的關系卻不那么一致。

可以說，建筑，尤其是伊斯蘭建筑中的密鋪，實際上早于有關密鋪的正式數學知識的發展。還必須指出的是，近來，建筑師和設計師已經從非周期性密鋪的進步中汲取了經驗，并對其進行了公開的改造。由于多種文化和社會因素影響著建筑師和設計師使用數學概念的方式，這種關系是否會繼續下去目前還不得而知。但無論建筑與數學之間的關系如何演變，密鋪仍然是其最明顯和最顯著的接觸點之一。

參考文獻

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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