埃舍爾圓形極限的秘密：四邊形和三角形生成雙曲鑲嵌

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

四邊形和三角形技術是在中世紀時期發展起來的，用來提供一種比例順序，暗示著生殖潛能。通過非歐幾里得系統的視角重新考慮四邊形和三角形技術使得能夠探索新的圖案生成方法。本研究調查了通過雙曲線鑲嵌的四邊形和三角形技術的圖案生成潛力。

介紹

在中世紀建筑中，比例對于提供神圣的秩序至關重要[1]。幾何形狀按順序和對稱排列，以確定比例。四邊形和三角形技術是基于幾何形狀之間的比例的方法[4]。這些技術應用于平面、剖面和立面。它們被用來確定建筑物的寬度和長度比。此外，拱頂結構的幾何形狀也是用這些技術創造的。此外，這些技術開發的圖案甚至被用于裝飾元素，如玫瑰窗。

圓是四邊形和三角形技術中使用的幾何基礎。繪畫首先從一個圓圈開始。通過生成多個圓，由圓的交叉點生成幾何形狀。復制這些形狀之間的關系，并提供幾何順序。這些技術背后的幾何順序是基于歐幾里德幾何的。用這些技術產生的圖案可以在期望的方向上不斷地復制和擴展。此外，具有相同基本幾何形狀的不同圖案可以組合在一起。

雙曲線鑲嵌是非歐幾里得的圖案，并且像四邊形和三角形技術一樣在圓的邊界內發展。雙曲線鑲嵌有一個幾何上特定的系統。然而，其中包含的幾何形狀有待改進。用不同的圖案支持這些表單可以作為表單查找的一種方法。本研究旨在討論基于歐幾里得幾何的四邊形和三角形技術在用非歐幾里得系統解釋時的生產潛力。這項研究通過雙曲線鑲嵌解釋了中世紀技術提供的生成系統。

四邊形和三角形技術

四邊形和三角形技術從一個圓開始。在四邊形技術中，在圓內畫一個正方形，它與圓有四個點接觸。為了創建八邊形，正方形旋轉了45度。通過將正方形分成更小的正方形，可以獲得不同的幾何圖案。該圖案可以在任何方向復制和再現。三角形同樣以圓形開始。在圓內畫一個等邊三角形，與圓有三點接觸。三角形繞其中心旋轉180度以創建一個六邊形。可以通過將三角形分成更小的三角形來形成圖案。

用四邊形和三角形技術發展出來的比例被用在哥特式建筑的許多地方。這項研究集中于用這些技術開發的哥特式拱頂平面圖。當檢查哥特式大教堂的結構時，從一個圓形創造的各種各樣的圖案就很突出了。其中一個哥特式拱頂的例子是位于庫特納霍拉的圣巴巴拉教堂。六邊形幾何形狀形成了拱頂結構。與圓有三點接觸的等邊三角形繞質心旋轉180度，得到六邊形。假設六邊形的每個角都是新圓的中心。畫六個相等的圓，得到一個花卉圖案。復制圖案以匹配六邊形邊緣(圖1)。

圖1：圣巴巴拉教堂的三角形技術

圖案是通過各種轉換(如分割、旋轉和平移)開發的。通過這種方式，可以獲得不同的圖案，盡管它是由簡單的幾何形狀產生的。在這方面，可以說四邊形和三角形技術是圖案生產的生成技術。因此，這些技術具有開發潛力和發展空間。

雙曲鑲嵌

鑲嵌(或密鋪)描述了用幾何形狀覆蓋平面。可以將相同的幾何形狀并排排列，連續重復，也可以將不同的幾何形狀組合在一起，產生鑲嵌。鑲嵌用Schl?fli符號表示。Schl?fli符號用{p,q}表示。變量p表示在鑲嵌中使用的幾何形狀是p-gon。變量q定義了有多少個幾何形狀在頂點點[3]相鄰。例如，{3,6}Schl?fli鑲嵌符號表示一個三角形覆蓋和三角形頂點處6個三角形的組合。同樣，{6,3}的符號表示密鋪六邊形和3個六邊形在角點的組合(圖2)。

圖2：帶有Schl?fli符號的鑲嵌

鑲嵌不僅適用于歐幾里得平面，也適用于非歐幾里得平面[2]。應用于橢圓平面(非歐幾里得平面)的鑲嵌稱為橢圓(或球面)鑲嵌，應用于雙曲平面的鑲嵌稱為雙曲鑲嵌。雖然不能表示雙曲平面，但龐加萊定義了圓盤模型，將其投影到歐幾里得平面。圓盤模型將一條線表示為一個圓弧，兩端垂直于圓盤的邊界。

通過一個簡單的數學計算，就可以判斷一個鑲嵌是否是歐幾里得的。對1/p和1/q值求和，并檢驗其與1/ 2的關系。根據這個數學公式[3]:

如果1/p+1/q=1/2， {p,q}是歐幾里德鑲嵌，

如果1/p+1/q<1/2， {p,q}是雙曲鑲嵌

如果1/p+1/q>1/2， {p,q}是橢圓鑲嵌

根據這個數學公式，讓我們來看看正方形的不同組合。因為{4,3}的值大于1/2，所以它是一個橢圓鑲嵌。{4,4}是歐幾里得鑲嵌因為它等于1/2，根據相同的公式，{4,5}是雙曲鑲嵌因為公式的結果小于1/2。當對這些鑲嵌的視覺等效物進行檢查時，可以看到公式的有效性(圖3)。

圖3：{4,q}鑲嵌：{4,3}-橢圓鑲嵌，{4,4}-歐幾里得鑲嵌，{4,5}-雙曲鑲嵌

圖案生成

如前所述，四邊形和三角形技術產生由圓形邊界內的三角形和正方形形成的圖案。三角形的幾何形狀不僅僅用于哥特式拱頂。此形狀用作創建六邊形的基本幾何形狀。本研究僅限于使用{4，q}、{6，q}和{8，q } Schl?fli符號(圖4)的雙曲鑲嵌的規則鑲嵌，以產生雙曲鑲嵌中四邊形和三角形技術產生的對應圖案。

圖4：符號為{4,q}， {6,q}和{8,q} Schl?fli的正則雙曲鑲嵌

讓我們研究一下可以用雙曲線鑲嵌創建的四邊形和三角形技術示例。圣巴巴拉教堂拱頂圖是用六邊形繪制的。{6，3 }Schl?fli符號可以將其表示為歐幾里得鑲嵌。當三個六邊形通過它們的邊連接在一起時，就得到這種圖案。在這方面，它具有與帶有{6，4}、{6，5}和{6，6 } Schl?fli符號的常規雙曲線鑲嵌相同的幾何組合。如果在圣巴巴拉教堂應用的三角形技術被解釋為雙曲線鑲嵌，則獲得圖5中的鑲嵌。在應用鑲嵌時，根據圖4中的分區在幾何形狀上繪制圖案。

圖5：圣巴巴拉教堂拱頂圖案的雙曲線鑲嵌圖案

肋形拱頂是哥特式建筑中最常用的拱頂之一。肋拱頂的幾何形狀是基于正方形的，可以用正方形來制作。這是歐幾里得鑲嵌的一個例子，用Schl?fli符號{4，4}表示。這四個正方形由它們的邊連接起來。在這方面，正則雙曲鑲嵌與{4，5}、{4，6}、{4，7}和{4，8 }Schl?fli符號的鑲嵌具有相同的幾何組合。用四邊形生成的肋拱的雙曲線鑲嵌應用如圖6所示。

圖6：肋拱頂圖案的雙曲線鑲嵌

結論

四邊形和三角形技術作為圖案生產技術具有生產潛力，并且提供了比例順序。基于歐幾里得幾何和非歐幾里得系統的這些技術的解釋使得它們的生產潛力可以從另一個角度來考慮。在這項研究中討論的這些技術是重新考慮雙曲鑲嵌，一個非歐幾里得系統。在這種情況下，當樣本在雙曲平面上重新解釋時，鑲嵌的多樣性是驚人的。我們的目標是通過為進一步研究而產生的圖案來處理在第三維度中產生的形式。

參考文獻

[1] R. Bork, The Geometry of Creation: Architectural Drawing and the Dynamics of Gothic Design Burlington, Ashgate Publishing, 2011.

[2] D. Brant. Hyperbolic Tessellations. https://dmitrybrant.com/2007/01/24/hyperbolic-tessellations

[3] D. E. Joyce, Hyperbolic Tessellations. https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/poincare/tilings.html.

[4] NS. Ramzy, The Dual Language of Geometry in Gothic Architecture: The Symbolic Message of Euclidian Geometry Versus the Visual Dialogue of Fractal Geometry. Peregrinations: Journal of Medieval Art and Architecture. 2015;5(2):135-72.

[5] Gizem Efendio?lu and Sema Ala?am，Revisiting Ad Quadratum and Ad Triangulum to Generate Hyperbolic Tessellations

青山不改，綠水長流，在下告退。

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