轉載推薦｜25年世界數學最重大的3發現，指向同一個思想：與“復雜性”共存

來源：老胡說科學

導語

從希爾伯特第六問題出發，文章梳理2025年數學三大突破：氣體動力學尺度統一、隨機幾何典型性刻畫與三維Kakeya猜想解決，揭示現代數學應對復雜性的全新范式。

關鍵詞：希爾伯特第六問題、玻爾茲曼方程、納維-斯托克斯方程、隨機幾何、雙曲曲面、譜隙、Kakeya猜想、分形維數、調和分析、復雜性

算法與數學之美（微信號：MathAndAlgorithm）丨來源

1900年，希爾伯特在巴黎提出第六問題的時候，其實沒有人真正知道他在要什么。后人常把這道題簡化成“把物理學公理化。”但如果你真按字面去理解，就會發現這幾乎是一個不可能完成的任務。物理不是幾何，物理方程來自實驗、近似、修補和工程經驗，而不是從定義和公理中推演出來的。希爾伯特當然知道這一點，他真正盯上的，是一個更具體、也更危險的問題：同一個物理系統，在不同尺度下寫出來的方程，是否真的在數學上彼此一致。

最典型的例子就是氣體。

如果你站在分子尺度上看氣體，每一個分子都是一個微小的剛性球，按照牛頓第二定律運動，發生彈性碰撞，沒有任何概率、沒有任何統計，只是一套確定性的微分方程。你給定初始條件，理論上就能算出未來的一切。

如果你稍微拉遠一點視角，不再追蹤每一個粒子，而是關心“某個區域里速度大概在這個范圍內的粒子有多少”，那么你會寫下玻爾茲曼方程。

這是一個統計方程，它描述的是概率密度如何隨時間演化，碰撞不再是“這一對粒子什么時候撞上”，而是“在統計意義下，碰撞如何改變分布”。

再把視角拉到工程尺度，你甚至連概率分布都不要了，直接用密度、速度、溫度這些宏觀量，寫出納維–斯托克斯方程，把氣體當成連續介質來處理。

物理學家對這三套描述之間的關系，心里非常清楚。他們知道在適當條件下，用哪一套方程都能得到一致的預測。但數學家不接受“心里清楚”。數學要的是：你能不能從第一套方程出發，通過極限過程，嚴格推導出第二套？

這件事卡住了一百多年。

困難不在于牛頓定律，也不在于玻爾茲曼方程本身，而在于兩者之間那片幾乎無法描述的中間地帶。

假設你真的想從牛頓定律出發，你就必須面對一個現實：氣體里不是十個粒子，而是趨近于無窮多個；每一個粒子都會發生碰撞，而且碰撞的時間、順序、對象都可能不同。任何一次演化，都對應著一段極其復雜的“碰撞歷史”。

數學家把這些歷史畫成圖，圖的節點是碰撞時刻，線段是粒子在兩次碰撞之間的運動軌跡。問題是，這樣的圖不僅數量巨大，而且結構極其復雜。隨著時間推移，可能出現同一對粒子多次相遇的情況，這在物理上叫“再碰撞”。一旦允許再碰撞，圖的復雜度會呈現災難性的增長。

1970年代，蘭福德曾經取得過一次重要進展。他證明了：如果你只看極短的時間區間，把所有可能的碰撞圖加起來，極限確實會給出玻爾茲曼方程。但這個“極短”短到什么程度？短到在物理上幾乎沒有意義。時間稍微拉長一點，再碰撞開始出現，整個證明立刻失效。

接下來的五十年里，幾代數學家都在試圖跨過這道坎。他們換過方法，換過表述，換過技術工具，但始終無法控制再碰撞帶來的爆炸。這個問題在圈內逐漸形成了一種共識：也許在長時間尺度下，微觀到中觀的極限，本身就是不可證明的。

直到2025年。

這一次的突破，來自于一種非常不“數學家本能”的想法。研究者沒有再試圖去精確控制所有可能的碰撞歷史，而是反過來問了一個問題：在所有這些天文數量的碰撞圖中，真正“危險”的那些，占多大比例？

這個問題一旦被提出來，整個局面就變了。

他們發展出一種新的分解方法，可以把一張極其龐大的碰撞圖拆解成許多局部結構清晰的小塊。通過這種拆解，他們發現，再碰撞雖然在邏輯上可能發生，但在統計意義下，其概率衰減得極快。換句話說，那些讓數學家頭疼了半個世紀的壞情況，在真正的極限過程中，幾乎從不發生。

這并不是一句物理直覺，而是一個可以量化、可以估計、可以放進不等式里的事實。一旦這一點被嚴格證明，剩下的工作就突然變得可控了。研究者不再需要追蹤所有路徑，只需要證明：忽略這些極少數的“病態路徑”，不會影響整體極限。

于是，一個在1900年被提出、在1975年被部分觸及、又在半個世紀里被反復宣判“可能做不到”的問題，終于在數學上被完整貫通。牛頓的確定性世界，在長時間、無限粒子、零直徑的極限下，嚴格收斂到玻爾茲曼的統計世界。

這不是對物理學的“重新解釋”，而是第一次在真正意義上，用數學證明了尺度之間的自洽性。

更重要的是，這種證明方式本身，已經超出了氣體動力學的語境。它展示了一種全新的范式：當系統復雜到無法逐一控制時，真正可行的道路不是更精細的追蹤，而是證明“失控的部分在整體中消失”。

這正是2025年數學發生變化的第一個信號。

隨機幾何終于可控了

如果說希爾伯特第六問題解決的是“從微觀到宏觀，世界為什么會變得平滑”，那么 2025 年發生的另一件大事，解決的則是一個看起來更抽象、但同樣根本的問題：在極其復雜的幾何世界里，什么才是“典型情況”。

這個故事的起點，繞不開一個人：Maryam Mirzakhani。

在她之前，雙曲曲面一直被認為是一類“太難整體理解”的對象。它們處處負曲率，局部看像馬鞍，整體卻可以扭曲、纏繞到幾乎無法直觀想象。

你沒法把它們完整嵌入三維空間，只能用抽象方式描述。正因為如此，它們在數學和物理中反復出現：從動力系統到量子混沌，從數論到統計物理，雙曲幾何幾乎無處不在。

但問題是：太多了。

雙曲曲面的空間本身是一個高維、非緊的對象。你可以問無數問題，比如“有多少條閉測地線”“這些測地線通常長什么樣”“曲面整體是否連通”?？梢坏┠汩_始認真算，就會立刻發現：極少數非常極端的曲面，會完全主宰你的計算結果。

Mirzakhani在2000年代做的一件事，第一次改變了這一切。她找到了一種方法，能夠精確計算“長度不超過L的閉測地線有多少條”，并且給出了隨L增長的漸近公式。這個結果的意義并不在于“數出了多少條線”，而在于：它第一次讓人有可能對“隨機雙曲曲面”提出嚴肅的問題。

比如，你可以開始問：如果我從所有可能的雙曲曲面中“隨機選一個”，它通常長什么樣？

其中一個最核心的量，叫做譜隙。它來自拉普拉斯算子的第一個非零特征值，取值介于0到1/4之間。直觀地說，這個數刻畫了曲面的“整體連通性”。譜隙越大，曲面上不同區域之間的路徑越多，信息擴散得越快；譜隙越小，曲面就越“松散”，容易被細長的脖子、狹窄的通道分割。

長期以來，數學家知道1/4是理論上的最優上界，也知道存在一些非常特殊的曲面，其譜隙接近這個極限。但真正的問題是：典型的曲面如何？

直覺告訴人們，大多數曲面應該“長得不錯”，譜隙接近1/4。但要證明這一點，卻極其困難。障礙來自一種被稱為“纏繞測地線”的結構：某些閉測地線會在局部區域反復繞圈，數量極多。這些測地線雖然在整體中極為罕見，但它們一旦出現，就會在統計上產生巨大的權重，把平均值徹底拉偏。

這正是Mirzakhani未能跨過的最后一道坎。她的公式足夠精美，卻對這些極端情形缺乏有效的“過濾機制”。

多年之后，兩位數學家，Nalini Anantharaman和Laura Monk，重新回到了這個問題。他們很快意識到，單靠雙曲幾何內部的技術，已經走到了盡頭。問題不在于公式不夠精確，而在于：你根本不應該把所有曲面一視同仁地平均。

真正的轉機，來自一個看似無關的領域：隨機圖論。

2000年代初，數學家Joel Friedman曾證明過一件事：幾乎所有的大隨機正則圖，都是“最優展開子”，也就是說，它們的譜隙幾乎達到理論極限。這個結論的證明異常復雜，但在其核心，隱藏著一個關鍵技巧：利用M?bius反演，把“壞的結構”從整體平均中系統性地剝離出去。

Anantharaman和Monk意識到，她們面對的困境，本質上和Friedman面對的是同一個問題。極少數結構復雜、局部異常的對象，正在扭曲整體統計行為。與其試圖直接控制這些對象，不如換一種方式，讓它們在計算中自然抵消。

她們把這一思想移植到了雙曲幾何中，通過改寫 Mirzakhani 的計數公式，引入一種精細的反演過程。這個過程的效果非?！皻埧帷保耗切┌罅坷p繞測地線的曲面，被自動壓制了權重，而結構均勻、連通性良好的曲面，開始主導平均行為。

最終，她們證明了一件長期被認為“幾乎不可能精確表述”的事實：在適當的意義下，幾乎所有雙曲曲面的譜隙都趨近于1/4。

這不是在說“存在很多好曲面”，而是在說：如果你閉上眼睛，從這個幾何宇宙里隨便抓一個，十有八九，它的連通性已經接近理論極限。

這個結論的深層意義，并不在于雙曲幾何本身，而在于它為量子混沌、動力系統、甚至數論問題，提供了一種可靠的“背景假設”。它告訴研究者：在研究復雜系統時，可以放心地把“極端例外”當作真正的例外，而不是被迫圍繞它們構建理論。

從更宏觀的角度看，這件事和希爾伯特第六問題的解決，形成了一種奇妙的呼應。一個是在粒子層面處理幾乎不發生的再碰撞，一個是在幾何空間中排除極少數病態曲面。它們共同指向同一個方向：現代數學正在學會如何與“復雜性”共存，而不是被它吞沒。

三維空間拒絕被壓縮

如果說前兩件事分別解決了“尺度之間如何銜接”和“復雜幾何中的典型結構”，那么2025年的第三件事，解決的是一個更底層、也更危險的問題：空間本身，到底允許多極端的幾何行為。

這個問題的起點，來自1917年日本數學家Sōichi Kakeya的一個看似游戲般的提問。他問的是：如果你有一根無限細的針，把它旋轉一整圈，掃過所有方向，那么它所覆蓋的最小區域能有多??？這個問題在二維里已經足夠反直覺，而它真正引爆數學界，是在幾十年后人們意識到：這個問題并不關乎針，而關乎空間如何被方向填滿。

20世紀初，Abram Besicovitch給出了一個震撼性的結果。他證明，在二維平面中，你可以構造一個面積為零的集合，卻仍然包含“每一個方向的一根單位線段”。

也就是說，從測度的角度看，這個集合幾乎不存在，但從方向的角度看，它卻什么都有。這類集合后來被稱為Kakeya集。

這個結果直接擊穿了人們對“大小”的直覺。面積不再是衡量幾何復雜度的合適工具，數學家不得不引入分形維數，來描述這些看不見、卻無處不在的結構。到了1970年代，Roy Davies證明了一個關鍵事實：在二維中，任何Kakeya集，哪怕面積為零，其分形維數也必須是2，也就是“滿維”。

于是一個大膽的猜想自然浮現出來：在任意維度中，Kakeya集都必須是滿維的。

這就是Kakeya猜想。

問題在于，從二維走向三維，幾何世界發生了質變。二維里的“方向”本質上是一維的圓，而三維里的方向空間是一個球面，結構復雜得多。針不再只是“轉一轉”，而是可以以極其豐富的方式彼此錯開、交織、靠攏又分離。

在三維里，Kakeya集通常被想象成無數根極細的管子，每一根指向不同方向。猜想要求證明的是：無論你如何安排這些管子，只要方向足夠豐富，它們就不可能被壓縮進一個低維結構里。

幾十年來，人們嘗試過各種方法，但始終卡在一個核心障礙上：管子之間可以高度重疊，而且這種重疊在局部看起來完全合法。你很難排除這樣一種情況：在無數個微小區域里，大量管子恰好擠在一起，整體卻依然覆蓋了所有方向。

一個重要的轉折，來自Charles Fefferman。他在研究Fourier分析時發現，Kakeya問題并不是一個孤立的幾何怪題，而是和調和分析中一整套關于Fourier變換的核心猜想緊密相連。這一發現讓Kakeya猜想從“幾何怪物”，變成了整個分析理論塔基的一塊基石。如果Kakeya在三維失敗，那么一連串更宏大的猜想都會隨之崩塌。

盡管如此，真正的進展依然極其緩慢。

直到近幾年，一個新的結構性洞察逐漸浮現。Larry Guth指出，如果三維 Kakeya 猜想存在反例，那么這個反例不可能是“均勻的”，它必須呈現出一種“顆?；钡男螒B：空間中會出現大量微小區域，在每個區域里，許多管子高度集中，而這些區域彼此之間又有某種組織結構。

這個觀察并沒有直接解決問題，但它改變了戰場。問題不再是“管子會不會重疊”，而是“這些重疊區域之間，能否再彼此高度重疊”。

2022年，Hong Wang和Joshua Zahl先解決了一個特殊但重要的情形：所謂“粘性Kakeya集”，也就是指向相近方向的管子，在空間中也彼此靠近。這一結構限制了自由度，使得分析變得可能。這一結果被普遍視為“終點就在前方”的信號。

真正的挑戰，是非粘性的情形。在這里，管子可以在方向上完全無序地散布，幾乎沒有任何表面上的規律。Wang和Zahl沒有試圖消滅這種混亂，而是利用Guth的“顆?！币暯牵瑢靵y本身進行分層。他們證明：任何一個點，都不可能同時屬于太多顆粒；而顆粒之間的相互作用，也受到嚴格限制。

這一步至關重要。它意味著，即便局部存在高度重疊，整體上也無法形成持續的壓縮效應。剩下的工作，是把這一結構性限制，通過一種被稱為“尺度歸納”的方法，逐步向更大尺度推進。

尺度歸納在這個問題中曾經屢屢失敗，因為哪怕每一步只損失一點點精度，經過多次迭代后，結論也會徹底失效。Wang和Zahl的關鍵發現是：顆粒結構恰好提供了控制損失的機制。每一次放大尺度，混亂都會被重新分配，而不會無限累積。

于是，在2025年，他們完成了最后一步證明：任何三維Kakeya集，其分形維數必然等于3。空間拒絕被壓縮。方向的豐富性，強制帶來了體積。

這件事的真正價值，并不在于“針到底能不能省地方”，而在于它為調和分析、偏微分方程以及信號處理領域的一整套方法，提供了可靠的幾何地基。許多長期懸而未決的問題，其難點都在于類似的“方向疊加是否會失控”，而三維Kakeya的解決，第一次給出了一個明確的答案：在足夠高的復雜度下，空間本身會反擊。

把這三件事放在一起看，會發現一種非常清晰的時代特征。無論是氣體中的再碰撞、雙曲曲面中的纏繞測地線，還是 Kakeya 集中的顆粒重疊，2025年的數學，不再試圖逐一消滅異常，而是證明：異常無法統治整體。

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隨機動力學讀書會

集智俱樂部聯合北京工業大學諸葛昌靖老師和北京化工大學王利老師共同發起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，主讀文獻《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發與數學理論推導的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學邏輯結構和知識體系。

本讀書會通過師生領讀，系統化地梳理書中的重要概念，讀完這兩本書，我們將掌握隨機過程的物理意義、基礎理論與實用方法，在隨機性的統一視角下，為跨學科建模應用鋪路架橋。

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