周向宇：陸啟鏗先生《微分幾何學及其在物理學中的應用》再版說明

“ 中國現(xiàn)代數(shù)學之父”華羅庚先生1950年歸國后，開創(chuàng)了多復變在中國的研究并創(chuàng)建了多復變學派。陸啟鏗先生是華先生歸國后首批親傳弟子，是華羅庚多復變學派的第二代傳人，是新中國自主培養(yǎng)的國際一流數(shù)學家，在多復變、復幾何和數(shù)學物理領域做出了奠基性和開創(chuàng)性的工作，取得了國際矚目的成就，堪稱自主創(chuàng)新的典范。其工作與幾何密切交融，在國際上較早地將多復變函數(shù)論與復幾何聯(lián)系起來。比如，他1957年關于多復變施瓦茨(Schwarz) 引理及典型域上解析不變量的工作，一個推論是多復變中關于不變度量的一個基本定理：卡拉西奧多里(Carathéodory)度量不超過伯格曼(Bergman) 度量; 另一推論作為著名定理誤冠以他人姓氏寫入多復變知名教材。還比如，他發(fā)現(xiàn)并證明了：具常全純截曲率完備伯格曼度量的有界域解析等價于單位球，從而以幾何條件刻畫了單位球。該成果在國際上被稱為“陸啟鏗定理”，在近期一些重要工作中仍發(fā)揮關鍵作用; 在同一篇文章中，他提出了著名的、備受關注的關于伯格曼核無零點的“陸啟鏗猜想”“陸啟鏗問題”。

陸啟鏗（左）在華羅庚家中

華先生、陸先生研究多復變的一個顯著特點是融合微分幾何等其他學科于其中，形成了中國多復變研究的一個傳統(tǒng)與特色。他們兩位均位列國際上多復變與復幾何交叉研究的主要先驅(qū)者。習近平總書記在2014年兩院院士大會和2016年“科技三會”上的兩次公開講話、在2023 年《求是》雜志上發(fā)表的署名文章《加強基礎研究實現(xiàn)高水平科技自立自強》中，三次褒揚“多復變函數(shù)論”，肯定了華先生與陸先生等開創(chuàng)與發(fā)展中國“多復變函數(shù)論” 的貢獻，激勵著華學派的后繼傳承者不斷前行。

多復變，是研究復流形及其全純映射的學科，是商高-趙爽“形體不變量”思想演化的一種體現(xiàn)。趙爽除了為《周髀算經(jīng)》作序作注外，還撰寫一篇論文。在商高“環(huán)而共盤”思想的基礎上，文中提出“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”，可稱為商高-趙爽“形體不變量”思想，該思想貫穿于數(shù)學的發(fā)展中。在多復變中，“形體”演化為復流形乃至復空間，“詭殊”演化為全純映射，“量均數(shù)齊”演化為全純不變量。多復變又稱復解析幾何。鑒于解析函數(shù)介于光滑函數(shù)(微分) 與多項式(代數(shù)) 之間，多復變便與復微分幾何與復代數(shù)幾何有著天然的密切聯(lián)系。微分幾何是學習與研究多復變的一個基礎。華先生、陸先生研究的典型域及其余緊商空間(局部厄米特(Hermitian) 對稱空間) 和典型流形均是多復變與復微分幾何/復代數(shù)幾何研究中典型且基本的全純域、斯坦因(Stein) 流形和射影代數(shù)流形。

《微分幾何學及其在物理學中的應用》第一版書影

1982年3月首印（左）；1986年3月第二次印刷（右）

《微分幾何學及其在物理學中的應用》是根據(jù)作者在1970年所編寫的《旋量分析與引力輻射》和1972 年編寫的《規(guī)范場與纖維叢》以及為中國科學院研究生院編寫的微分幾何學等講義為基礎而寫成的

現(xiàn)代微分幾何學的一個重要方面是其在物理學中的應用。本書的一個來源是陸啟鏗先生在1972年寫的《規(guī)范場與纖維叢》講義，這在當年業(yè)界內(nèi)是有名的并在專家中流通。正是陸先生率先明確指出并證明了物理上的規(guī)范場和數(shù)學上的纖維叢之間的清晰對應聯(lián)系，比如場勢對應于聯(lián)絡、場強對應于曲率、規(guī)范變換對應于轉(zhuǎn)移函數(shù)等。正如唐納森(Donaldson) 后來指出的，正是這種聯(lián)系產(chǎn)生了廣泛深入的影響。此外，受其關于多復變工作的影響，陸先生還與合作者提出了典型時空的概念及其與天體物理的聯(lián)系。

今天看來，該書仍不失為學生學習微分幾何、特別是張量方法的一本優(yōu)秀入門書，對數(shù)學工作者來說也是一本有特色、有價值的參考書。我們?nèi)阅軓闹惺芤妫@得啟發(fā)。在再版中，將繁體字改為了簡體字，對目前不太通用的以往術(shù)語進行了替換并給出了注釋，同時還添加了人名與術(shù)語的索引。在再版校對中，得到張良肇同學的協(xié)助，在此表示謝意，當然張同學表示在校對過程中也獲益匪淺。

本文摘編自《微分幾何學及其在物理學中的應用》（陸啟鏗著 周向宇校. 北京：科學出版社，2026.1）一書“再版說明”，標題為編者所加。

責任編輯: 胡慶家

本書介紹高維微分幾何學的基本知識，特別著重于與現(xiàn)代理論物理學有關的以及與大范圍微分幾何學有關的內(nèi)容。全書共分7 章：1. 張量分析；2. 四維空間；3. 旋量分析；4. N-P 方程；5. 微分流形；6. 黎曼幾何；7. 測地線的指數(shù)和比較定理。

本書可供高等學校數(shù)學系、物理系高年級學生、研究生及數(shù)學與物理工作者參考。

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