拋硬幣連續(xù)出了10次正面？窩要驗幣！“賭神”貝葉斯告訴你這幣還真有問題

認真閱讀下面的文章，并思考文末互動提出的問題，嚴格按照互動：你的答案格式在評論區(qū)留言，就有機會獲得由中信出版集團提供的優(yōu)質(zhì)科普書籍《統(tǒng)計的藝術(shù)》。

如果你已經(jīng)連續(xù)拋出了10次正面，那么下一次最有可能拋出的結(jié)果是什么？貝葉斯定理給出了答案，這不僅適用于拋硬幣，更普遍適用于科學探索。圖片來源：Wikipedia

先問你一個問題：

假如我拋了一枚硬幣10次，發(fā)現(xiàn)每次都是正面朝上。如果我再拋一次，出現(xiàn)正面的概率是多少？

我（譯者注：作者）經(jīng)常拿這個問題去問學生，無論是中學生還是大學生，甚至去問他們的老師。受過數(shù)學訓練的學生（通常也包括他們的老師）給出的答案幾乎如出一轍。他們會說，下一次拋出正面的概率絕對是 1/2。他們對此往往非常篤定，通常還會搬出那套熟悉的理論，告訴我“硬幣是沒有記憶的”，或者類似這樣的話。

但如果你去問一個（沒受過多少數(shù)學訓練的）賭徒，他們可能會說，既然這枚硬幣都已經(jīng)連續(xù)出了那么多次正面，風水輪流轉(zhuǎn)，下次怎么也該輪到反面了吧！所以，出現(xiàn)正面的概率肯定小于 1/2。

但是，在我看來（沒錯，這確實常常引發(fā)相當激烈的爭論），這兩種答案都錯了！事實上，下一次拋擲出正面的概率非常接近于 1。你沒看錯，就是 1。你可能會問：“怎么會這樣？難道我以前學的數(shù)學都是錯的嗎？”你先別急，咱們理理思路，如果要讓這枚硬幣在下一次拋擲時出正面的概率是 1/2，前提是它必須是一枚“絕對公平”的硬幣（也就是每次拋擲出現(xiàn)正反面的可能性完全相等）。可是，我從頭到尾都沒說過這是一枚公平的硬幣呀！那僅僅是你自己想當然的假設(shè)罷了。

你看，明明擺在眼前的是壓倒性的反面證據(jù)，你卻依然做出了硬幣是絕對公平的假設(shè)。仔細想想，如果一枚硬幣連續(xù)十次拋出正面，那它十有八九不是什么正經(jīng)硬幣。事實上，如果這枚硬幣真的質(zhì)地均勻，發(fā)生這種情況的概率只有 0.510，也就是 1/1024 ，接近于千分之一的概率。這就意味著，你需要把“連拋十次”作為一個回合，足足重復上一千個回合——也就是總共拋擲 10,000 次，我估摸著這至少得連續(xù)拋上三個小時，才能有較大的概率見證一次“連續(xù)十次正面”的奇跡。

估計絕大多數(shù)人扔不到一半就感覺手酸，早早放棄了。因此，既然我們已經(jīng)親眼看到了硬幣連續(xù)出現(xiàn)了十次正面，一個非常合理的推斷就是：這枚硬幣肯定不對勁，它的內(nèi)部可能存在某種偏向性，導致它更容易擲出正面。想通了這一點，情況就很明朗了，下一次拋出正面的概率絕對比 1/2 要高得多。

但是新的問題又來了，到底會高出多少呢？

我在這里所描述的，其實正是科學研究的運作方式。假設(shè)我們想要研究某個系統(tǒng)，我們會先進行一系列的觀察，并從中推斷其內(nèi)在可能的機制。這個過程需要我們提出假設(shè)，然后用數(shù)據(jù)去檢驗這些假設(shè)。一旦確立了假設(shè)，我們就可以開始做預測。但這必須在收集到數(shù)據(jù)之后才能進行，而且我們必須非常謹慎，不能在一開始就對系統(tǒng)做出不切實際的假設(shè)。

這個道理不僅適用于我們的這枚硬幣，還同樣適用于天氣預報、氣候變化預測，以及應(yīng)對流行病傳播的決策。它也適用于我們生活中的許多其他方面，無論是司法系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)，還是我們制定政策（甚至進行社會活動）的方式。

幸運的是，我們有一個非常強大的工具可以提供幫助，那就是貝葉斯推斷（Bayesian inference）。如今，人工智能、機器學習以及機器的決策能力正在飛速發(fā)展，而貝葉斯推斷正是這一切的核心。

正面，貝葉斯贏！

老師和學生有時會批評我的第一個問題過于模糊。題干中沒有提供足夠的信息來得出答案。確實，這肯定無法作為一道合格的考題，至少在數(shù)學考試中是不合格的。從某種意義上說，這種批評是對的。但在現(xiàn)實中，我們經(jīng)常會面臨類似的情境，不得不依靠做出合理的假設(shè)來處理問題。因此，為了讓這個問題更加嚴謹，我將其重新表述如下：

我有一個裝了許多硬幣的袋子。其中大部分是質(zhì)地均勻的普通硬幣，拋出正面或反面的概率均為 1/2。然而，有比例為 p（假設(shè) p 的值很小）的硬幣是特殊的，它們兩面都是正面。如果拋擲這種硬幣，出現(xiàn)正面的概率就是 1（這里假設(shè)硬幣不會立在地面上）。我從這個袋子里隨機摸出一枚硬幣，連拋 10 次，結(jié)果每次都是正面朝上。那么，下一次拋擲它依然出現(xiàn)正面的概率是多少？

氣象學依賴于貝葉斯推斷。圖片來源：Pixabay

在這個更為嚴謹?shù)那榫诚拢覀儙缀蹩梢詳喽ǎ绻矌琶看味紨S出正面，那它極大概率是一枚存在偏向的硬幣（即兩面都是正面的硬幣）。在這種情況下，下一次拋擲肯定還是正面。運用貝葉斯推斷這一奇妙的方法，我們可以將這一推論表述得更加精確，甚至還能看出它與比例 p 的大小有著怎樣的關(guān)系。

要做到這一點，我們需要引入事件的條件概率（conditional probability）這一概念。在前面設(shè)定的游戲中，存在幾種可能發(fā)生的事件。其一便是“抽中一枚存在偏向的硬幣”這一事件。我們將該事件記為 A，并用 P(A) 來表示其發(fā)生的概率。將“抽中一枚均勻硬幣”的事件記為 B，并用 P(B) 表示該事件發(fā)生的概率。那么：

我們通常將這種概率稱為先驗信息（prior information）。只有在對這枚硬幣一無所知的情況下，P (A) = p 這一等式才成立。這是在獲取任何實測數(shù)據(jù)之前，硬幣存在偏向的概率。

一旦開始拋擲硬幣，我們就會對它有更多的了解，并隨之修正先驗信息，從而得出關(guān)于該系統(tǒng)的所謂后驗知識（a-posteriori knowledge）。作為人類，我們的大腦時刻都在經(jīng)歷著這樣的過程：不斷收集關(guān)于周遭環(huán)境的感官信息，并據(jù)此在腦海中構(gòu)建出對當前狀況的認知。這也是機器進行學習并更新其對某個系統(tǒng)已有知識的過程。對于這類機器而言，實現(xiàn)這一過程的核心工具正是貝葉斯分析（Bayesian analysis）。接下來，就讓我們看看它是如何發(fā)揮作用的。

假設(shè)我們有兩個事件 A 和 B。條件概率 P(A|B) 指的是在已知事件 B 已經(jīng)發(fā)生的前提下，事件 A 發(fā)生的概率。

舉個例子，假設(shè)事件 A 為“連續(xù)拋擲 10 次硬幣，每次都是正面朝上”，事件 B 為“我們抽中了一枚兩面都是正面的硬幣”，而事件 C 為“我們抽中了一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣”。稍作思考就會發(fā)現(xiàn)：

這是因為那枚硬幣兩面都是正面，所以它每次拋擲必然都會出現(xiàn)正面。另外，正如我們在前面已經(jīng)計算過的，我們還可以得出：

你可以明顯看出，P(A|B) 要比P(A|C) 大得多。

貝葉斯是怎么說的

在小學二年級，我們就學過一個關(guān)于條件概率的通用公式。如果用 P(A and B) 來表示事件 A 和事件 B 同時發(fā)生的概率，那么公式就是：

這個公式可能不是那么一目了然——如果想了解它為什么成立，可以去閱讀相關(guān)的推導文章。

但是，P(A and B) 與 P(B and A) 顯然是同一回事，根據(jù)上述公式，它同樣等于P(B)P(A|B)。這也就意味著：

由中間的等式可得：

這個結(jié)果就是著名的“貝葉斯定理”（Bayes' theorem）。它由托馬斯·貝葉斯牧師（Revd. Thomas Bayes）提出，并由英國皇家學會（Royal Society）以《論有關(guān)機遇問題的求解》（An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances）為題于 1763 年正式發(fā)表。

托馬斯·貝葉斯（1701-1761）

貝葉斯并不算是一位職業(yè)數(shù)學家，盡管他對哲學和統(tǒng)計學有著濃厚的興趣。事實上，他是一名神職人員。但是，貝葉斯定理卻是整個數(shù)學領(lǐng)域最重要的成果之一！它不僅在概率論和統(tǒng)計學中居于核心地位，在衛(wèi)星追蹤（或幾乎任何其他目標的追蹤）、考古學、司法系統(tǒng)、氣象學，甚至在大名鼎鼎（讓人又愛又恨）的蒙提霍爾問題（即著名的“三門問題”）等截然不同的領(lǐng)域中，都有著數(shù)不勝數(shù)的應(yīng)用。它更是構(gòu)建整個機器學習領(lǐng)域的基石。對于區(qū)區(qū)一個定理來說，這成就可以說相當了不起了。

我們可以用通俗的語言來解釋這個定理為何如此重要。假設(shè)事件 B 是我們真正感興趣的研究對象，而事件 A 是我們?yōu)榱诉M一步了解 B 所進行的實驗。P(B) 就是我們在進行實驗之前對事件 B 掌握的“先驗知識”；而 P(B|A) 則是實驗之后我們對 B 獲得的“后驗知識”。貝葉斯定理為我們提供了一條從先驗知識通往后驗知識的橋梁。我們成功地從數(shù)據(jù)中推斷出了背后的真相，這正是“貝葉斯推斷”一詞的由來。當我們想要弄清楚一個無法直接測量的系統(tǒng)內(nèi)部正在發(fā)生什么，并且必須依靠間接的測量結(jié)果來進行推論時，這種思想在科學研究的各個方面都會被一遍又一遍地反復運用。

硬幣存在偏向的概率有多大？

作為例子，現(xiàn)在讓我們把這個定理應(yīng)用到最初的問題上，在不直接查看硬幣的情況下，推斷這枚硬幣是否兩面都是正面。我們這里重申一下設(shè)定，事件 A 為“連續(xù)擲出 10 次正面”，事件 B 為“我們抽中了一枚兩面都是正面的硬幣”。

我們已經(jīng)知道 P(A|B)=1，并且 P(B)=p。因此，為了計算出 P(B|A)（也就是在已知連續(xù)擲出 10 次正面的前提下，這枚硬幣兩面都是正面的概率），我們需要先算出 P(A)。P(A) 代表的是：從袋子里隨機摸出一枚硬幣，拋擲后連續(xù)出現(xiàn) 10 次正面的總概率。這里需要考慮兩種互斥的情況。第一種情況是，我們抽中了一枚兩面都是正面的硬幣，然后擲出了十次正面。這種情況發(fā)生的概率，其實就等于抽中這枚問題硬幣的概率 P(B)（因為一旦抽中它，擲出十次正面就是板上釘釘?shù)氖铝耍５诙N情況是，我們抽中了一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣（我們將此事件記為 C），然后擲出了十次正面。在這種情況下，擲出十次正面的概率就是兩個單獨概率的乘積：P(A|C)P(C)。因此，擲出十次正面的總概率 P(A)，就是這兩種互斥情況的概率之和：

我們剛才已經(jīng)算出了這里所有的項：P(B)=p，P(A|C) = 1 / 1024，以及 P(C) = 1-p。因此：

現(xiàn)在，我們可以完成最后的計算，得出在“連續(xù)擲出 10 次正面”的前提下，這枚硬幣兩面都是正面的概率為：

為了讓你對這個概率的具體大小有個直觀感受，假設(shè)我們有一個裝了 100 枚硬幣的袋子，其中只有一枚是兩面全為正面的問題硬幣。那么，p = 1 / 100。在這種情況下，已知硬幣連續(xù)擲出 10 次正面，它是問題硬幣的概率就變成了：

也就是說，這枚硬幣存在偏向的概率高達 91%。對于大多數(shù)人來說，這個可能性已經(jīng)相當有把握了。所以可以看到，在貝葉斯定理的運用下，原本僅有 1% 的“硬幣存在偏向”的先驗概率被更新為了 91%。

再次擲出正面的概率是多少？

現(xiàn)在，我們終于可以回過頭來回答最初提出的那個問題了。在已經(jīng)連續(xù)擲出 10 次正面的前提下，下一次擲出正面的概率究竟是多少？

如果這是一枚問題硬幣（即事件 B），那么下一次擲出正面的概率必然是 1。因此，基于現(xiàn)有的觀察數(shù)據(jù)（連出 10 次正面），下一次擲出正面且硬幣確實存在偏向的概率為：

如果這枚硬幣是質(zhì)地均勻的普通硬幣（即事件 C），那么下一次擲出正面的概率就是 1/2。因此，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)，下一次擲出正面且硬幣毫無偏向的概率為：

在第 11 次拋擲這枚硬幣時，再次出現(xiàn)正面的總概率，就是上述這兩個互斥事件概率的總和：

我們之前已經(jīng)算出了 P(B|A) 的值，而 P(C|A) 簡單來說就是 1- P(B|A)。因此，下一次再次擲出正面的概率就變成了：

如果 p = 1 / 100，那么P(再次擲出正面) = 0.955，約為96%。對于大多數(shù)實際情況來說，這個概率已經(jīng)足夠接近于 1 了。

在下圖中，我們將 P(再次擲出正面) 繪制為了 p 的函數(shù)。你可以清楚地看到，只有當 p 小到極其微弱的程度時，P(再次擲出正面) 才會與 1 產(chǎn)生明顯的差距。因此，我們完全有底氣說，最初那個問題的答案就是，下一次出現(xiàn)正面的概率非常接近 1，即便我們其實并不知道 p 的確切數(shù)值。

概率 P(再次擲出正面) 隨 p 變化的曲線圖。

大功告成……

……但是等等，有沒有一種可能，我對你隱瞞了真實的數(shù)據(jù)。這種情況下我們該怎么辦？它又跟天氣預報甚至機器學習有什么千絲萬縷的聯(lián)系？欲知后事如何，且聽下文分解。

背面，貝葉斯輸！

在現(xiàn)實中，科學家們往往只能基于不完美的數(shù)據(jù)來做出預測，天氣預報就是一個典型的例子。接下來，本文的后半部分將為你揭秘一項專為解決此問題而生的技術(shù)——“數(shù)據(jù)同化”（data assimilation）。它能夠在新信息的啟發(fā)下更新初始預測，并充分考慮到一個現(xiàn)實情況：無論是觀測數(shù)據(jù)還是最初的預測，其實都是不完美的。

在前面的章節(jié)中，我們學習了如何基于觀測數(shù)據(jù)，運用貝葉斯定理來調(diào)整對某個事件發(fā)生概率的預測。我們舉的例子是，一枚硬幣連續(xù)十次擲出了正面。面對這樣的數(shù)據(jù)，這枚硬幣十有八九存在問題，因此第十一次擲出正面的概率，理應(yīng)高于一枚普通均勻硬幣那 50% 的概率。貝葉斯定理從數(shù)學上證實了我們的直覺。

然而，對于我們所觀察到的現(xiàn)象，其實還存在另一種解釋。硬幣絕對公平?jīng)]有問題，真正出了問題的，是數(shù)據(jù)本身。例如，我可能在記錄正反面的時候剛好摘下了眼鏡。這下我根本兩眼一抹黑分不清哪面是哪面，為了圖省事兒，干脆把每次拋擲的結(jié)果都記成了正面。又或者，我明明看清了正反面，但是由于電腦系統(tǒng)出了故障，所有的結(jié)果全被強行錄入成了正面。

這些正是所謂儀器誤差（instrumentation error）的例子。在記錄數(shù)據(jù)時，這類誤差其實并不罕見（盡管在現(xiàn)實中往往不會像上述例子那么極端）。要知道，沒有任何數(shù)據(jù)記錄設(shè)備是絕對完美的，它們多多少少都會出現(xiàn)一些偏差。

還有一種可能性是，我在記錄數(shù)據(jù)時故意對你撒了謊。哪怕硬幣擲出了好幾次反面，我仍然向你偽裝出它存在偏向的假象。在刑事案件的取證中，這種情況屢見不鮮，人們往往必須在真假難辨的證據(jù)和數(shù)據(jù)面前，判斷到底該不該相信某位證人的證言。

于是，我們不得不面對這樣一個問題：如果擺在面前的數(shù)據(jù)不完全可靠，那么對于我們正在研究的系統(tǒng)（比如這枚硬幣到底是不是公平的），我們還能做出什么有意義的推斷嗎？

貝葉斯來救場

既然數(shù)據(jù)可能不太靠譜，要想準確估計系統(tǒng)的真實狀態(tài)，我們就需要有辦法來衡量這些數(shù)據(jù)的可靠性。對于測量儀器來說，溫度計就是個很好的例子。假設(shè)我們要測量某個實際溫度 T，溫度計每次給出的讀數(shù)可能會有些許波動，但如果這些讀數(shù)的平均值恰好等于 T，我們就稱這支溫度計是“無偏的”（unbiased）。而這些讀數(shù)的方差（variance）則反映了它們在平均值上下分散的程度，這就為我們提供了一把評估測量結(jié)果到底有多靠譜的標尺。如果方差很大，讀數(shù)飄忽不定，我們在心里對這組數(shù)據(jù)的采信度就會打個折扣；反之，如果方差很小，我們就會更加信任這些數(shù)據(jù)。通過這種方式，當面對一份可能存在誤差的測量數(shù)據(jù)時，我們就能精確權(quán)衡出究竟需要對原有的預測做出多大程度的修正，從而完成對某個事件（先驗）預測的更新。

這個過程，通常就被稱為“數(shù)據(jù)同化”（data assimilation）。數(shù)據(jù)同化的絕妙之處在于，它能將“不太靠譜的預測”與“同樣不太靠譜的數(shù)據(jù)”結(jié)合起來，最終孕育出一個比這兩者都要準確得多的全新預測！這簡直就像變魔術(shù)一樣，我們幾乎是在"無中生有"！

氣象學家們使用數(shù)據(jù)同化技術(shù)已有大約二十年之久，這極大地提升了天氣預報的可靠性。理論上，要想根據(jù)今天的天氣狀況準確預報明天全球的天氣，氣象學家在今天就需要對整個大氣層的狀態(tài)進行大約十億次測量。但在現(xiàn)實中，這根本不可能辦到，他們窮盡手段，撐死也就只能完成大約一百萬次測量。顯然，單靠這點數(shù)據(jù)，遠不足以了解今天的天氣狀況。

為了解決這個問題，氣象學家們想出了一個辦法。他們會先拿出昨天對今天所做的天氣預報，然后朝著今天實際觀測數(shù)據(jù)的方向，對這份預報進行 “微調(diào)”（ nudge）。然后用修正后的當日天氣預報，做明天的天氣預報。

數(shù)據(jù)同化正是用來完成這種“微調(diào)”的，它的基本思路如下：氣象學家根據(jù)昨天掌握的信息，對今天的天氣做出一個（先驗）預測。同時，他們還要盡可能多地去測量今天的天氣狀況，比如看溫度計（或者干脆直接瞅瞅窗外）。由于每次測量總會有些微小的差異，所以即便是一支絕對標準的“無偏”溫度計，也會給出一系列可能的測量值。

另一方面，基于昨日天氣對今日天氣所作的預測同樣也會存在誤差。實際上，是一大堆可能的誤差（畢竟我們的天氣模型和計算能力還遠遠談不上完美），我們將這種預測誤差分布的方差記為 Epred。然后，把這份預測與我們目前能收集到的關(guān)于今天天氣的（有限）觀測數(shù)據(jù)放在一起進行比對。當然，這些觀測數(shù)據(jù)自身也是帶有誤差的，我們將它的方差記為 Edata。

如果與 Edata 相比，Epred 的值較小，那么原本的預測只會朝著觀測數(shù)據(jù)的方向“微調(diào)”一點點。通俗點說，這是因為此時的預測結(jié)果比今天實際測量的數(shù)據(jù)更可靠，所以我們不想過多地被今天的測量數(shù)據(jù)“帶偏”。相反，如果 Epred 比 Edata 大得多，那我們就會在很大程度上采信實測數(shù)據(jù)。

經(jīng)過這番“微調(diào)”后得到的結(jié)果，我們稱之為“分析值”，記為 A。這個分析值巧妙地兼顧了原始預測和實測數(shù)據(jù)，是對今天天氣狀況做出的最佳估計。拿著這個分析值，天氣預報員就可以去預測接下來幾天的天氣了。

數(shù)據(jù)同化過程示意圖。粉色橢圓代表預測結(jié)果及其可能存在的誤差范圍，橙色橢圓則代表觀測數(shù)據(jù)及其可能存在的誤差范圍。數(shù)據(jù)同化將原始預測朝著觀測數(shù)據(jù)的方向進行了“微調(diào)”，使得最終結(jié)果既落入原始預測的誤差橢圓之內(nèi)，又同時落在了觀測數(shù)據(jù)的誤差橢圓之中。

這種將觀測數(shù)據(jù)同化到天氣預測中的想法（在專業(yè)方面衍生出了3 DVAR（三維變分）、4 DVAR（四維變分）以及集合卡爾曼濾波（Ensemble Kalman Filtering）等具體方法），正是英國氣象局（Met Office）、歐洲中期天氣預報中心（ECMWF）以及全球各地氣象中心每天為我們準確預報天氣的關(guān)鍵。

氣象學中數(shù)據(jù)同化過程示意圖。

在這個案例，以及其他數(shù)據(jù)同化的應(yīng)用場景里，貝葉斯定理扮演的角色就是，它能精準地告訴我們，“微調(diào)”的幅度到底需要多大。它在新數(shù)據(jù)的啟發(fā)下不斷更新預測，并聰明地兼顧到了一個現(xiàn)實情況，也就是，無論是觀測數(shù)據(jù)還是原始預測，都是不完美的。我們可以利用它來編寫出一套算法，從而找到那個最佳預測。

極其成功的‘卡爾曼濾波’技術(shù)也運用了同樣的理念，即系統(tǒng)性地將系統(tǒng)已有認知與源源不斷的數(shù)據(jù)流結(jié)合起來。該技術(shù)最初是為了追蹤衛(wèi)星而發(fā)明的，如今卻已普及到了千家萬戶，廣泛應(yīng)用于包括飛機導航系統(tǒng)和你口袋里的智能手機在內(nèi)的無數(shù)設(shè)備中。這種想法還進一步被應(yīng)用在了現(xiàn)代機器學習領(lǐng)域，其中復雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正是在海量（且可能并不完全可靠的）數(shù)據(jù)的“投喂”下不斷接受訓練，從而學會去執(zhí)行各種五花八門的任務(wù)。

可以毫不夸張地說，我們?nèi)缃竦默F(xiàn)代世界，正是建立在貝葉斯定理及其無數(shù)神奇應(yīng)用的基礎(chǔ)之上！

作者：Chris Budd

翻譯：LogicMoriaty

審校：virens

原文鏈接： &

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今天我們將送出由中信出版集團提供的《統(tǒng)計的藝術(shù)》。

這是一本不需要數(shù)學背景，卻能讓你在人工智能時代保持清醒的“認知工具包”。英國皇家統(tǒng)計學會前會長施皮格爾霍爾特，用日常的生動案例，剝開數(shù)據(jù)迷霧，拆解因果關(guān)系，教你識別陷阱、提出關(guān)鍵問題、做出更優(yōu)決策。在人工智能不斷改變世界的今天，我們更需要統(tǒng)計學的底層素養(yǎng)，作為理解世界不確定性、應(yīng)對噪聲的思維方式——拉開認知差距，從擁有統(tǒng)計思維開始。

【互動問題：玩游戲抽卡、排隊或者平時碰運氣的時候，你有沒有遇到過類似‘連出10次正面’這種極其邪門、讓你甚至懷疑‘系統(tǒng)一定動了手腳’的經(jīng)歷？可以分享一下嗎？】

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為了保證更多的朋友能夠參與獲獎，過往四期內(nèi)獲過獎的朋友不能再獲得獎品，名次會依次順延

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編輯：姬子隰

翻譯內(nèi)容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場