部分數學對象的拓撲學構造法

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

為理解和重構幾何世界中諸多對象的形態，數學家們將研究焦點集中于奇異性和形變理論。本文旨在向不熟悉數學的藝術家們介紹這些常見的拓撲學概念與工具，以期在藝術世界中催生嶄新的美學創造。

1 概述

1.1 引言

藝術家在創作中常運用各類物體，其中多為現實物體的圖像。這些作品皆蘊含某種程度的風格化與表現形式，并在藝術家的思維中推動著風格化的進程。有些藝術家創造了抽象性質的形態，例如埃及浮雕、羅馬鑲嵌圖案或凱爾特繩結。本質上，裝飾藝術中始終貫穿著兩條反復出現的線索：螺旋與鑲嵌圖案[1]。

藝術家們并未從他們的創作中發展出數學理論，除了在埃斯庫羅斯時代和文藝復興時期。然而，我們可以將他們視為這些理論的先驅。如今，許多藝術家熟悉出現在他們作品中的更廣泛的數學對象類別。通過發揮他們的想象力，運用定義這些對象的工具，可以為豐富當代及未來觀眾的數學對象庫及其作品內容作出貢獻。

本次展示旨在向數學家與藝術家們常用的各種構造原理作一個總體介紹。為避免技術性困難和復雜的數學理論，將僅聚焦于這些原理的基礎層面。

然而，我們期望部分藝術家能從以下內容中獲取對其創作有益的啟發。我們特別希望為那些因各種原因未能充分利用計算環境與專業軟件的藝術工作者提供參考。薩爾瓦多·達利的繪畫遺產，正是藝術家運用數學知識開創無可爭議之獨創風格的絕佳例證。而與立體主義表現相關的藝術作品——如充滿想象力的夏加爾之作——亦是人類創造力潛能的有力體現。

我們的論述將僅聚焦于拓撲學視角，因為這種偏向定性研究的選擇本身存在精確性不足的局限。代數與解析方法雖能規避此難點，但需要相應的數學知識與訓練基礎。《美國數學學會通報》火星號特刊[2]近期發表的專題文章，已對這些實用技術進行了進階導論。需要指出的是，這些結構與量化技術仍需進一步發展，方能充分發揮定性方法所提示的形狀潛能。數學家可通過量化手段對物體構造中涉及的形變進行數值控制，從而豐富這種定性研究方法。至于定性研究方面，喬治·弗朗西斯在《拓撲圖冊》[3]中研究的特定數學對象，或可為進階讀者提供有益參考。

我們默認所有讀者都已理解空間的（拓撲）維度1這一概念。鑒于本文面向藝術家而非數學家，其余多數術語將不采用更廣泛、更系統的（數學）精確定義。這樣的取舍旨在使論述更易于直觀理解。

廣義而言，陶藝家、雕塑家以及更精微層面上的畫家將會發現——他們與從事幾何研究的數學家們共享著相似的創作過程，其中形變與組合是最常見的操作手法。

就形變而言，我們將其劃分為兩種對立類型：延展與收縮。而這兩類形變又各自可細分為兩種對立模式：奇異型與正則型。

1.2 形態作為數學對象中受限制的類別

一般而言，數學對象可按如下方式分類：一類是能夠被可視化的對象，另一類是過于抽象、過于廣義而無法先驗地進行物理呈現的對象，例如范疇或函子。

接下來，我們將僅聚焦于第一類數學對象。

定義：此類數學對象將統稱為"形態"，這一稱謂更為簡潔且具概括性。

數學藝術家通常處理的是浸入或嵌入的1維、2維或3維形態。一維形態主要包括三角形等多邊形、拋物線等經典曲線、扭結或分形線條。二維形態則主要衍生自多面體、鑲嵌曲面、極小曲面、拓撲曲面和代數曲面。它們常以嚴格的數學定義和表現形式被運用，也常以適當的形變方式呈現。

基于數學對象的普遍定義，藝術家創造出屬于自己的形態。在繪制這些形態時，他們首先使用鉛筆或鋼筆，或更直接地運用數字符號進行創作。

數字可分為兩類：靜態數字與動態數字。

– 靜態n維數字是指由n個常規實數構成的集合（x?, ..., x?）。從動態視角來看，它實際上代表一種平移變換。

– 簡單動態n維數字則具有更強的普適性。它表示n維歐幾里得空間中的縮放與旋轉變換的結合。當n=2時，即為通常所稱的楚凱數（亦稱復數或混合數）。利用這類適用于形變控制（特別是共形與擬共形形變）的簡單動態n維數字，可進行標準的代數幾何運算。

我們將首先面向選擇使用鉛筆與畫筆的創作者展開論述。

1.3 形態的特征要素

當我們觀察一個物體時，視線會沿著一條軌跡移動——這條軌跡貫穿該物體某個關鍵部位至另一個關鍵部位。這條路徑被定義為"感知骨架"，而那些關鍵部位則被稱為"奇異點"。

換言之，形態最重要的特征之一在于其奇點集合：既包括內在奇點，也涵蓋觀察者視角所見的奇點。因此，物體奇點的任何變化都具有重要意義。

值得注意的是，奇點的出現、消失或改變通常會對物體的表現形式產生重要影響，因為這可能導致局部乃至整體曲率發生劇烈變化。

曲率同樣是形態的基本特征要素。曲率的顯著變化往往發生在奇異部位。

這些奇異部位在藝術作品的構建中扮演著重要角色，既具有強烈的形式意義，又承載著深層的語義內涵。玫瑰的尖刺、吸血鬼的獠牙、劍的鋒刃、刀的利刃——這些典型的奇異形態常常喚起恐懼或暴力的聯想。它們象征著在危險世界中保護自我完整性、進行防御與攻擊的符號工具。由于被賦予保護自我的根本職能，這些形態在我們的意識中占據著曖昧的地位。銳角在某種程度上具有攻擊性。布滿直線與尖角的素描和繪畫往往傳遞著僵硬與冰冷的意味。它們與骨骼輪廓存在某種共通性，并為其關聯對象定義出一種結構性的表現形式。

定義：在標準維度為n的物體中，奇異部位是指維度k嚴格小于n的子對象（這些子對象可以是連通的，也可以是非連通的）。

此類奇異部位的特征在于其具有物體的某種局部極值屬性，例如頭頂的最高點或鼻尖（見圖1）。

圖1 加拿大因紐特藝術

根據我們的定義，在一維物體曲線中，奇異部位只能是點；而在二維物體的曲面中，奇異部位可以包含點和/或曲線段。

奇異部位的鄰近區域自然被稱為正則區域。那么，正則區域與奇異區域之間的本質區別究竟何在？

讓我們用手指撫過雕塑表面，先從頭部左側開始向右移動：可以觀察到手指向上移動直至到達頭頂最高點，隨后轉為下降。因此當手指觸及頭頂時，其運動軌跡發生劇烈變化，從而形成奇點：原本向上的運動轉變為向下。若我們繪制手指軌跡的切線，當手指位于左側時切線斜率為"向上"（正值），位于右側時則為"向下"（負值）（圖2）。

圖2 上行與下行

正是這種普遍現象被用來界定奇異部位的特征：在該部位的臨近區域內，切線或切面的方向發生"劇烈"、"突變"或"驟然"的改變。

在奇異點處，屬于該點外側邊緣的切線斜率，其符號或數值會出現不連續性的突變。

因此，如下文所述，大多數這類奇異部位可以通過對物體內部修改和形變集合的擠壓過程來獲得。

2 內部形變

2.1 擠壓

定義：我們將擠壓（記作Pn→k）稱為一種平滑形變過程，它將維度n的形態正則區域轉變為維度k（k

實際上，通過對物體任意部位的周邊切線斜率符號或數值制造不連續性，即可實現該部位的擠壓過程。

在曲線上，擠壓發生在點狀位置；而在曲面上，擠壓既可發生在點狀位置，也可沿曲線發生——這些點與線從而獲得奇異部位的特征。

例1：幾何圖示（圖3與圖4）

此類奇點將被稱為內陷型奇點或氣泡狀奇點。

此類奇點將被稱為外凸型奇點或反氣泡狀奇點。

圖3 氣泡狀與反氣泡狀奇點

該點并非奇點：其周邊切線的斜率符號未發生改變，且這些斜率的數值也無突變。

圓的"北極點"在此處是一個奇點：其周邊點切線斜率的符號發生了變化。

該點為奇點：其切線斜率符號雖未改變，但數值卻發生了劇變。

該點為奇點：其斜率符號與數值均發生"劇烈"變化

圖4 正則點與奇點

例2（圖5）：運用外凸型奇點以及其他拓撲學工具，藝術家能否創造出如下丁香花形態？（圖6）

圖5 奇點生成與演變的示例

圖6 蘭花：美麗兜蘭?；ǘ渥笥覂蓚雀鞔嬖谝粋€外凸型奇點。

例3：另一個幾何對象——八字環。

取一段管狀空心圓柱體。可以沿著一條母線以凹陷或外凸的方式進行擠壓。原始母線由此轉變為奇異線。需注意該操作具有重要的可逆特性（圖7）。

標準圓柱體

外凸型圓柱體

內陷型圓柱體

圖7 曲面上的奇異線

觀察內陷型圓柱體。可以進行第二次外凸型擠壓，使得兩條奇異母線重合。甚至可以將局部結果進一步擠壓成奇異點并進行著色，從而得到下圖所示的“八字環”（圖8）：

圖8 法伯-豪瑟八字環

其他拓撲技術也能構建此圖形。

在結束常規奇點概念的討論前，讓我們觀察另一種現象。假設某段曲線開始以越來越強的幅度振動，它可能斷裂成極小的片段，這些片段不斷縮小直至最終離散為點集，形成連續、擬連續甚至離散的集合。我們將這種現象稱為分奇異化，其產生的結果稱為分形奇點（圖9與圖10）。

圖9 分形奇點

圖10 山脈奇點

2.2 膨脹

膨脹可分為兩類：奇異膨脹與正則膨脹。

奇異膨脹最具研究價值：它與形態蛻變及新異形體的創造密切相關。

正則膨脹在藝術中常用于激發觀者情感并強化教化寓意：埃爾·格列柯（在其大多數作品中）通過拉伸人物特征來表達靈魂對上帝的渴慕；奧諾雷·杜米埃的諷刺漫畫與希羅尼穆斯·博斯的怪誕人像，亦呈現出兩種不同的膨脹表現手法。

2.2.1 奇異膨脹

擠壓過程存在一個逆向操作，我們稱之為奇異膨脹。此處"奇異膨脹"的表述特指對奇點進行膨脹操作。

定義：奇異膨脹（記作Ik→p）是指將k維部位轉化為p維部位（k

若該過程驟然發生，此處可稱之為爆破。

膨脹部位與其奇異生成部位通過若干特性相關聯，其中一個基本而顯著的特性是：通過對膨脹部位進行連續形變，且保持各階段形變部位的拓撲特性不變，即可還原出奇異生成部位——這些拓撲特性對奇異部位具有特殊意義。

注記：擠壓過程將維度n的某個部分壓縮為更低維度k的部分。通?？赡艽嬖诙鄠€可接受的更低維度部分，即使我們將k限制為n-1時也是如此。當然，附加約束條件可以減少可能性的數量。

關于奇異膨脹也可作類似論斷：例如，一個點可膨脹為線段、圓、球體、二維圓盤、三維球體等。膨脹對象的一般操作過程自然是逐步推進，逐維提升（圖11）。

圖11 單點向不同尺寸圓形的奇異膨脹過程

例4：在這兩個標記為I0→1的示例中，一個奇點爆破膨脹成圓形或與圓具有相同拓撲性質的形態（圖12與圖13）。

圖12 奇點膨脹為圓形

圖13 奇點膨脹為圓形

例5：需注意在前述兩種情況中，奇點甚至可爆破膨脹為二維的圓盤，而該圓盤又可呈現平坦、凹陷、外凸或混合形態（圖14）。

奇異膨脹形成外凸圓盤，產生穹頂結構

奇異膨脹形成凹陷圓盤，產生坑狀結構

圖14 示例4中奇異點或圓形向二維圓盤的若干奇異膨脹形態

值得注意的是，當二維圓盤非平坦時，可變形為單側開口的管狀結構，其軸線可為任意非閉合曲線。這些曲線的分類可借助紐結理論實現。

藝術家會樂于描繪這樣的管狀結構——它從曲面及其生成的圓形區域蜿蜒而出，優雅地盤繞在表面。從這種管體中，時而會生長出或消隱著奇異的犄角，投射出幻妙的光束，照亮意想不到的舞蹈編排。

這種管體可能僅呈現波動形態，當觀者視線遠離初始奇點時，波動便逐漸消失（圖15）：

圖15 圖14左側的穹頂結構可變形為這些拓撲等價的管狀形態

例6：在前例中，奇點爆破膨脹為單個二維圓盤。但我們也可考慮該點爆破膨脹為多個具有相同圓形邊界的圓盤的可能性。此類情形存在若干特例。我們將選取最簡單的情況——當數量為二時，一個圓盤呈凹陷狀，另一個呈外凸狀：由此我們得到一個二維球面S2，因為二維球面可通過粘合兩個圓盤的邊界圓周構建而成。

實際上，奇點可爆破膨脹為二維球面，反之，該球面也能連續收縮為一點。需再次注意，從拓撲視角看，該球面可被任何具有相同拓撲性質的形態所替代（圖16）。

圖16 奇異點的二重奇異膨脹：左側為兩個凹陷型膨脹，右側為一凹一凸型膨脹

若出現連續無限個此類雙重膨脹的特殊情況，這些球體可能完全填滿一個碗狀區域，此處用符號D3表示。

例7：以一個橙子作為此類碗狀區域的物理模型，其邊界即二維球面S2。我們可以將該邊界視作碗狀區域的奇異部分。

膨脹二維球面主要有兩種方式：向內朝向碗狀區域的中心，或向外擴張。此類奇異膨脹可以是部分的，也可以是完整的。二維球面的完整向內膨脹形成三維球體D3。完整向外膨脹則填滿常規三維空間，留下一個可由前述三維球體填補的空洞。部分膨脹產生的物體形似內部存在空腔的三維球體（圖17）。

圖17 常規二維球面邊界的幾種不同膨脹形式

這種部分膨脹也被稱為加厚。我們更傾向于稱其為標準加厚。它通常被描述為笛卡爾積：設B為邊界，I為區間，標準加厚可表述為乘積B×I。

例如，若T是一個空心圓柱體或無厚度的管體，T×I將表示局部厚度為I的管體；若D3是以半徑為1的常規球面為邊界的常規三維球體，則D3的標準加厚將是半徑為1加上區間I長度的三維球體。

更廣義地說，設C為任意其他物體：笛卡爾積B×C可理解為以C為加厚方式對B進行的加厚操作。

2.2.2 正則膨脹與收縮

這類變換可以是全局的，也可以是局部的。視錯覺和變形畫通過長度與扭曲實現局部尺寸的增減。透視理論已將部分不改變形態拓撲特性的尺寸變換規范化。膨脹是視覺傳達中表達力量、意志與希望的重要元素。

折疊常被用作開展變換過程的第一步。

2.3 折疊

定義：折疊是指作用于物體某一部分，改變該部分各點處的局部曲率，并可能改變該部分尺寸的操作。

折疊可分為兩類：連續折疊（如折紙藝術中的技法）和奇異折疊。當沿區域內任意橫截線的切線或切面的垂直方向連續變化時，該區域的折疊是連續的；若方向變化在某處出現不連續性，則該折疊是局部奇異的（圖18）。

圖18 兩類折疊的簡單幾何示意圖

例8：在二維平面上作畫時，線條的折疊不僅可以改變其長度，還可結合旋轉。在三維空間中，線條的折疊需運用長度變化與扭轉——即在兩個非平行平面內同時進行的旋轉組合。需注意扭轉在語義與藝術表現上的重要性，它同時傳達著力量與運動，正如米開朗基羅與埃爾·格列柯創作的《拉奧孔》所展現的那樣。

喬治·弗朗西斯[3]作品中幾何扭轉的示例如下（圖19）：

圖19 喬治·弗朗西斯繪制的三種紐結

2.4 切割與展開

定義：切割是沿維度n（>k）物體的任意k維部分進行的分離、斷開操作。

任何曲面都可在其任意點處切口，并沿任意曲線切割。這將產生兩條微分同胚的曲線，稱為切割唇。它們屬于曲面的邊界，因而具有奇異部位的特性。

沿曲線切割曲面后，可能出現以下四種情況之一（圖20）：

孔洞形成于拉伸曲面后仍保持連通的狀態

2 個不連通部分

連通的狀態

2 個不連通部分，且其一存在孔洞

圖20 切割產生的四種不同效果

此類切割可能將曲面分離成不連通的碎片。當曲線是曲面上一個或多個圓盤的邊界時，這種情況就會發生（案例2和案例4中，曲面本身具有邊界曲線，而切割曲線與該邊界相交于兩點，從而與邊界共同形成至少一個作為二維圓盤邊界的環）。

3 外部形變

切割過程可能導致物體分離成多個部分，這構成了內部形變與外部形變之間的過渡。如果通過切割實現了分離，那么反過來，將兩個原始分離部分重新連接起來的逆操作也應當是可行的。我們所需要的只是一劑優質的"粘合劑"。

粘合過程（亦稱附著過程）在此被視為從外部對粘合對象施加的改變。

此類附著操作沿附著域構建：附著域可以是點、線段或曲面片。附加過程的前提是兩個將被粘合的對象擁有相似的區域，該區域將作為附著域使用。

需注意，附著過程也可在內部進行。

一個簡單的例子是用矩形制作籃子的過程，涉及切割、折疊與粘合。制作這種籃子有多種方法，以下為一例（圖21）：

圖21 唐老鴨造型

當兩個附著域屬于同一物體時，該附著過程在此稱為等同化。

莫比烏斯帶是等同化過程的經典產物。取一條矩形紙帶，將兩條短邊設定為相反方向，將紙帶扭轉奇數次，此時兩條短邊方向趨于一致，即可進行粘合（等同化）（圖22）。

圖22 標準莫比烏斯帶

4 綜合

所有物體均可通過前文所述的操作構建：擠壓、膨脹、折疊、切割、附著。

以下是一些可通過此類方式構建的經典數學對象。這些圖像由帕特里斯·耶內爾提供，使用"surfer"軟件生成（圖23）。

圖23 耶內爾使用surfer軟件創作的圖形游戲

這些對象僅通過求解一個多項式方程（我們將其簡寫為 p(x^m, y^n, z^p) = 0）而創建。盡管對于單一多項式方程而言，奇點的不同類型是有限的，但由于整數 m、n 和 p 的取值本身是無限的，因此可以預期形狀的數量是無窮的：人類的想象力無法先驗地涵蓋這些數學形狀之間存在的所有變化與微妙差異，更何況我們在此僅考慮一維多項式，而我們實際上可以考慮由多維空間中各類方程定義的物體在二維或三維空間上的投影。除極少數（如球體或圓柱體）外，目前這些數學對象中的大多數對我們而言并無特定意義：它們是陌生的，被視為人造的；由于缺乏意義，它們顯得冰冷而無生氣。但我們無法預知未來。人類在不斷演進。主觀詮釋或許正讓位于更有效的理性思考。這些對象可能因其通過智力訓練與我們的理性對話而獲得更大關注——這種訓練教會我們如何觀察它們，如何理解它們的屬性與特質。盡管通過增加內部對稱性它們可能顯得更豐富，但每個單獨呈現的數學對象都帶有某種程度的憂郁感，這部分源于它們的孤立性。

許多藝術作品并非僅呈現單一對象。當然也存在例外：在這類情況下，對象本身具備足夠的表達力與內在豐富性，有時甚至呈現為多個對象的組合體。雕塑藝術便是典型例證——材料的質感在其中扮演著重要角色（圖24）。

圖24 澤維爾·邦內-埃馬爾的兩件雕塑作品

藝術家更傾向于創作組合性作品。若干標準元素在這些創作中發揮著重要作用，例如光線、微妙的變形對稱、豐盈感（主要通過重復實現），以及透視（從經典透視到反向或正面透視，如夏加爾諸多作品所示）（圖25）。所有這些元素都與物理學的基本原理和事實相關聯。

圖25 自然界中的重復性

或許孩童、青年與長者（"赫拉克利特曾言兒童的游戲即成人的思想"）會樂于把玩我們先前探討的這類數學對象。他們將能構建飾帶與獨立式物件，用新穎的創作充盈空間，裁切全新形態，培育并握持別樣的花朵，通過在新組合中嵌入多元物體與材質，實現"夏加爾式"的全新聯結。如此，數學將一如既往地服務于藝術。

參考文獻

1. Bruter, C.P.: Deux Universaux de la De′coration http://math-art.eu/pdfs/ConferenceSaverne.pdf (2010). Accessed 10 April 2010

2. Faber, E., Hauser, H.: Today’s menu: Geometry and resolution of singular algebraic surfaces. Bull. Am. Math. Soc. 47(3), 373–417 (2010)

3. Francis, G.K.: A Topological Picturebook. Springer, New York (1987)

4 Claude Paul Bruter, An Introduction to the Construction of Some Mathematical Objects

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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