【毅言堂】中小學銜接之正、反比例關系

【毅言堂】中小學銜接之正、反比例關系

在2022版新課標第三學段（5-6年級）內容要求中，關于數量關系：

（4）在實際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題。

（5）通過具體情境，認識成正比的量（如y/x=5）（例20）；能探索規律或變化趨勢（如y=5x）（例21）；

在學業要求中，關于數量關系：

能在具體情境中描述成正比的量y/x=k（k≠0），能找出生活中成正比的量的實例；能根據給出的成正比關系的數據在方格紙上畫圖，了解y=kx（k≠0）的形式，能根據其中一個量的值計算另一個量的值.

在學生七年級的時候，到底對正、反比例關系的認知如何，不妨看下面一道選擇題。

題目

如圖，在直線l上有定點A，B和動點C，D，其中C在線段AB上（不與A，B重合），D點在射線AB上，滿足AD=3AC，則下列說法正確的是（ ）

A、AC和BC成正比例關系

B、AC和BC成反比例關系

C、AC和CD成正比例關系

D、BC和BD成反比例關系

解析

定點A，B說明線段AB長度一定，不妨記為a；

動點C，則設AC=x，則AD=3x，這里的x是變化的量；將圖中各線段表示出來，其中BC=a-x，BD=3x-a，CD=AD-AC=2x，接下來根據正、反比例定義進行判斷，不難得出正確選項為C.

解題思考

我們需要先回顧在小學階段的正、反比例關系是什么？在北師大版小學六年級下冊專門有一個單元《正比例與反比例》，教材內容如下：

我們從實際情境出發，分別用具體的量來說明，正比例關系是指兩個量的比值是定值，而反比例關系是指兩個量的積為定值；

再來看上題中的各選項，AC=x，BC=a-x，顯然AC/BC這個比值中含x，這不是常數，選項A錯誤；

而AC×BC結果中也含x，也不是常數，選項B錯誤；

BC×BD結果中也含x，也不是常數，選項D錯誤；

只有選項C中AC/CD=1/2，是常數，選項C正確；

原本這道題到此結束，利用小學的概念完全可以理解，但是若老師“意猶未盡”，賣弄一下在八年級下和九年級上登場的正比例函數和反比例函數概念，問題反而更復雜了。

本題學生最容易產生理解錯誤的地方，恰恰在于對于“正”、“反”兩個字的理解上，詢問了答錯的學生，他們無一例外地認為，正比例就是兩個量一個增加，另一個也隨之增加，而反比例是一個量增加，另一個隨之減少；

瞠目結舌之下，隨口問“誰這么教的？”

統一答案：小學

細思之下，還真有可能，畢竟在小學階段，我們還在非負有理數的世界中打轉，對于y=kx而言，k為正數，y隨x增大而增大；對于y=k/x而言，k為正數，y隨x增大而減小；

不得不承認，在初中學習正比例函數和反比例函數的過程中，遇到過不少這樣理解的學生，哪怕數域已經擴充到了實數，這個思維定勢依然存在，所以必須回顧在小學階段，我們是如何教這兩個概念的，教材上明白無誤地給出了描述，在小學范圍內，比值為定值的兩個量，一定是一個增加，另一個隨之增加，而乘積為定值的兩個量，一定是一個增加，另一個減少；但這一切在引入負數之后，發生了改變，所以從中小學銜接角度看，小學階段對于正、反比例關系的教學，嚴格按課標要求進行，判斷是否正、反比例關系，不以增減性為依據，而要根據比值或乘積結果是否為常數為標準，這樣在初中階段，可避免學生錯誤的理解習慣。

在八年級下學期和九年級上學期，我們會分別學習正比例函數和反比例函數，如下圖：

僅就此題來看中小學知識點上的銜接，在小學階段，有很多數學概念是基于情境認知，描述性的定義，在沒有上升到嚴格定義之前，需要留有“空間”，通俗點就是不要把話說死了。當然，教師在課堂上注意用語是一方面，更重要的是防止學生理解上出現“A就是B”這樣的定勢思維，強調“在目前階段”，可引入適當的反例來說明“必要”和“充分”條件的區別。