與數學家赫爾曼·外爾游覽波斯

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）的開創性暢銷書《對稱》（Symmetry，1952 年）中介紹了對稱性和對稱群的知識。外爾的意圖是通過藝術和建筑，從文化的角度說明如何更好地理解幾何變換，然后是數學結構。我們的目的是提供一組精選的波斯古跡圖片，作為補充，以說明外爾的觀點。在大師的指導下，我們重點研究了不同種類的對稱，從最簡單、最古老的對稱開始，到那些更復雜的對稱，而不考慮波斯境內的年代或地理情況。

簡介

赫爾曼·外爾（Hermann Weyl，1885-1955 年）從新澤西州普林斯頓高等研究院退休前，曾進行過4次關于對稱性的演講。根據《科學美國人》（Scientific Americann）的報道，這四次演講被收錄在一本名為《對稱》（Symmetry）的書中，該書于 1952 年首次出版，“是對雕塑、繪畫、建筑、裝飾和設計中的對稱性的一次精湛而迷人的考察”。在當時，這本書是專業數學家很少寫的書，現在依然如此： 外爾打算向不懂數學的人展示，從人類文明的曙光到相對論和量子力學等物理學的嶄新進展，對稱性和群的數學概念是多么耳熟能詳。他在前言中解釋道：

“我的目的有兩個：一方面展示對稱原理在藝術、無機和有機自然界中的廣泛應用，另一方面逐步闡明對稱思想的哲學數學意義。.... 作為這本書的讀者，我所考慮的范圍要比博學的專家更廣[Weyl 1952：序言（未編號）]。”

因此，他的書讓一些讀者大吃一驚：書中既沒有數學證明，也沒有參考書目。書中的定義非常精確，但在介紹這些定義時卻沒有絲毫停頓。雖然這本小書的編排非常嚴謹，從對稱性的普通含義到當代數學和物理學中的復雜成就都有涉及，但它卻讓人在時間和地點之間漫步，并有意想不到的跳躍和回溯。本書的主干部分展示了幾何和代數概念日益增長的復雜性；必須牢記的是，對稱性的概念是人類發展史上最古老的概念之一，而群的概念則是最新的概念之一，它出現于19世紀上半葉，盡管直到本世紀下半葉才被應用于幾何。

顯而易見，外爾主要是通過圖書館查找相關圖片，而且由于當時的標準，書中只有黑白照片。然而，半個世紀后的今天，一部融合了新技術并在地域上擴展了研究領域的作品已經有了用武之地。即使有了更多的旅行便利，這仍然至少在兩個方向上具有挑戰性：

- 嘗試收集具有代表性的插圖，而不局限于歐洲或古代地中海文明；

- 選擇一個在外爾書中似乎被低估的地理區域--不是因為作者的品味或知識不足，而是可能因為缺乏圖片--并設計一條與外爾書平行的路線。從這個角度來看，波斯是一個理想而又顯而易見的選擇。

波斯歷史悠久，疆域遼闊，可以說是外爾對稱思想的活見證。它提供了各種各樣的例子來說明他的觀點。粗略地說，從大流士和阿契美尼德王朝（公元前 550-330 年）到阿巴斯和薩法維王朝（公元 1501-1736 年），中東和中亞國家構成了一個帝國的不同部分，其范圍隨時間而變化，但始終包括從安納托利亞到印度河的廣大地區。我們將盡可能廣泛地選擇這一地區的例子，大致相當于薩珊帝國（公元前 224-651 年）的范圍（圖 1），同時牢記過去文明的邊界往往與政治邊界和當代邊界大相徑庭。在我們的選擇中，還包括一些證明波斯對中國東部和印度北部影響的遺跡。

圖1 薩珊波斯帝國（約公元 500 年）。

我們按照外爾書中的計劃，根據所涉及的對稱性而不是地理或年代因素對例子進行分類。

從和諧到對稱

在書的開頭，外爾指出了對稱一詞的一個古老而常見的含義，即和諧與平衡的總體感覺。即使不是數學家或建筑師，也會將伊斯法罕的納格什·賈漢廣場或撒馬爾罕的雷吉斯坦廣場的對稱體驗為和諧與平衡。但是，外爾立即轉向幾何變換的精確含義，并開始研究最簡單的幾何變換，即跨直線或平面的反射。這是藝術家們在觀察到人體或動物體在幾何變換中保持不變之后使用的第一種幾何變換，因此在最古老的神像表現中也能找到：由于不忠于現實，雕刻家們不得不雕刻兩個面對面的人物，每個人都是對方的反射像。外爾的書中有兩幅波斯藝術作品，其中一幅出自大流士在蘇薩的宮殿（公元前490年）。所選圖片沒有顯示上方的馬茲德翼太陽，但正如我們的圖片所示，其自身的反射不變性也尊重這種一般對稱性（圖 2）。

圖2 蘇薩浮雕，釉面磚（德黑蘭博物館）

圖3 加濟安泰普的赫梯浮雕（安卡拉博物館）

眾所周知，波斯藝術受到阿契美尼德帝國各民族許多先前元素的滋養，后來又融入了這些元素。巴比倫帝國和赫梯世界也有類似的對稱浮雕（圖3）。阿拉伯征服之后，對稱仍然是宮殿和宗教場所平面和立面的主要特征。清真寺精心裝飾和擴大的門廊（圖4）被稱為 “pishtaq”，是對反射最高境界的贊美。

圖4 星期五清真寺的Pishtaq，亞茲德（伊朗）

是否完美對稱？

有時，對稱乍一看似乎很完美，但仔細觀察就會發現有一些不完美之處。這一定有更高的原因，而且在波斯比在其他地方更明顯，它總是一種社會或宗教秩序的標志。首先來看亞茲德的一扇老門（圖5）：為了不違反對稱原則，這扇門有兩個門環！但仔細一看：雖然門環的位置保持了對稱，但它們的形狀卻不對稱。此外，它們發出的聲音也不一樣，這是為了讓人知道敲門的是男人還是女人，以便由相同性別的人開門！

圖5 傳統門，亞茲德（伊朗）

伊斯法罕納格什·賈漢廣場南側的沙赫清真寺（1611-1629 年）至少可以從兩個方面來考慮對稱性和對稱性的調整。首先，入口的pishtaq仔細地與矩形廣場的軸線對齊，但圓頂圣殿卻沒有類似的對齊方式（圖6a）。原因在于建筑必須面向麥加，這顯然是最優先考慮的問題。建筑師以一種非常優雅的方式解決了這個問題，他連續修建了兩個pishtaq，一個沿著面向 Naghsh-e Jahan 廣場的一側，另一個面向庭院，與麥加方向垂直。在兩座石塔之間，是宏偉的藍瓦庭院。這樣，廣場和清真寺內部都保持了對稱。游客在第一座清真寺和庭院之間的有頂通道上重新調整朝向麥加的腳步，離開一個對稱點，進入另一個對稱點。Naghsh-e Jahan 廣場東側的謝赫·洛特福拉清真寺也采用了同樣的設計。

圖6a 伊斯法罕沙阿清真寺(伊朗)

圖6b 入口細節

其次，人們常說，為了表示對神的敬意，裝飾物幾乎沒有什么可察覺的變化：純粹的對稱意味著人類也能達到同樣的完美（圖6b）。外爾報告了一個關于古代神廟的類似傳說。在圖6b中，箭頭指向一個沒有對稱的圖案；這是“阿里”（先知穆罕默德的女婿，在什葉派伊斯蘭教中備受推崇）的名字。

我們的第三個例子可以追溯到薩珊王朝的建立：公元226年，阿爾達希爾一世成為國王。幾年后雕刻的石頭浮雕講述了這個故事[Bier 1993],仿佛這是一個傳說：阿爾達希爾國王從波斯天空之神阿胡拉·馬自達那里得到了一枚戒指(圖7)。

圖7 阿胡拉·馬自達(右)和阿爾達希爾一世(左)，納克什·魯斯塔姆(伊朗)

對稱性占主導地位，將國王描繪成與神平等的形象；但這一幾何規則卻被彎曲了兩次：

- 首先，與馬的前腿形成對比，就像在鏡子中看到的一樣（阿爾達希爾的馬的左腿抬起，正對著阿胡拉·馬茲達的馬的右腿抬起），戒指是從右手給到右手的，象征的力量具有更高的優先權。外爾用了幾頁篇幅討論了他所謂的“左右數學哲學”[1952:20-25]；

- 其次，仔細觀察會發現一個更微妙的跡象：皇帝實際上比阿胡拉·馬茲達小一點，以示尊重。這在政治上非常巧妙！

讓我們回到一種理論上的完美對稱，即水作為一面鏡子所產生的完美對稱。沒有人比波斯建筑師更精通這一概念了！1632年在印度阿格拉建造的泰姬陵是世界上最完美的建筑，它的影響力毋庸置疑。

在半荒漠地區，由于缺水，這一大膽的計劃具有更高的價值。我們還可以注意到，它是下文所考慮的多邊形對稱性的友好入門，因為在所有這些情況下，所產生的兩個正交線反射生成一個四元素組（所謂的克萊因四元素組 K = R2 x R2；有關組的精確定義和克萊因四元素組的 Cayley 表，見附錄），該組在其所有變換中都保留了正面視圖（圖 8、9、10）。在伊斯法罕，Chehel Sutun 宮（1647 年在阿巴斯二世統治下建成，見下圖 19a）的綽號“40柱宮”就源于這種對稱性，因為它只有20根柱子，而正面的倒影池中卻有鏡面反射！還有什么其他技巧能讓我們有機會在伊斯法罕的宮殿中看到這種對稱性呢？還有什么其他方法能讓我們有機會在建筑物的正面看到這組柱子呢？

圖8. 納迪爾·迪萬·貝格清真寺，布哈拉（烏茲別克斯坦）

圖9 星期五清真寺，克爾曼（伊朗）

圖10 亞茲德附近的 Ateshkadeh 拜火教寺廟（伊朗）

平移和旋轉

平移是繼反射之后最簡單的幾何變換，因此外爾接下來要研究平移。作為一個在平移及其迭代下不變的圖形的例子，他提到了蘇薩的大流士宮[Weyl 1952: 49, 圖 25]，但他也可以選擇波斯波利斯：阿帕達納樓梯提供了各種例子，從最基本的（圖11a，水平重復的單一形式）到最不尋常的，其中平移矢量的方向既不是水平也不是垂直的（圖 11b）！

圖11a、b：波斯波利斯的樓梯（伊朗）

當然，圖11b中的圖案并不完全相同，因為支流為大王運送著各種禮物。

在蘇薩的浮雕中，外爾展示了一個“基本”圖案（即通過一次平移迭代生成整幅圖畫的最小單位）的案例，該圖案由兩名士兵組成，他們的服裝有所區別。我們可以在《阿帕達納》中找到這種對稱圖案的一種新的實現方式，在該圖中，手持盾牌的波斯士兵與麥地亞戰士交替出現（圖12a）。如果考慮到服裝的長度和帽子的形狀，我們還可以在圖11b中看到這種對稱模式。在埃蘭文明時期（公元前13世紀）的蘇薩發現了一個更古老但更復雜的例子，其中的圖案單元由三個站立的人物組成（圖12b）。

圖12a 波斯波利斯(伊朗)，阿帕達納，阿切曼尼期

圖12b 蘇薩（伊朗），阿帕達納，埃蘭王朝時期（巴黎盧浮宮博物館）

早在幾個世紀之前，居住在后來成為赫梯帝國一部分的地區的人們就創作了具有類似對稱圖案的浮雕。安納托利亞中部赫梯人的浮雕、其后裔在現在的土耳其東部地區的浮雕以及美索不達米亞亞述人的浮雕都是阿契美尼德帝國波斯藝術的源頭，阿契美尼德帝國吸收了其前身的藝術傳統。沿著時間軸再往前走，我們會在比夏普爾的薩珊浮雕中發現精美的平移馬（圖 13）。

圖13 薩珊王朝浮雕，比夏普爾（伊朗）

然而，完美平移圖案的藝術可以追溯到更久遠的美索不達米亞文明：平移是滾動圓筒形印章的自然結果，其功能是在粘土文件上留下真實的簽名。美地亞和波斯的圓筒形印章也同樣使用對稱性。從幾何學的角度來看，一次完整的旋轉可以印出圖案，而每一次連續的旋轉則可以印出平移。圖 14展示了一個帶有怪獸獅子的例子。

圖14 伊拉克烏魯克的圓柱形印章（公元前4000至3000年）（巴黎盧浮宮博物館）

這個例子展示了線條反射和平移的結合，因為基本圖案本身具有垂直線條對稱性：由于這種對稱性無法通過旋轉印章來處理，因此設計了兩只動物面對面、頸部相扣的雕刻。

多邊形對稱

事實上，外爾的研究方向恰恰相反。他從每個長度為 a 的平移圖案開始，想象將其應用于圓周長為 a 的倍數（例如 na）的圓柱體的結果，從而引入有限群 Rn 和 Dn。前者是一個由 n 個元素組成的循環群，即 Id、r、r2、...rn-1（rr 是一個旋轉，使得 r n=Idd ）；后者是二面體群，即使 n 邊多邊形不變的所有對稱群：它有 2n 個元素，即 Rn 中的 n 個旋轉和 n 個軸通過旋轉定點的線反射。外爾認為，達芬奇在研究教堂的對稱性時，發現了這些是平面中唯一的有限對稱群這一事實[1952: 66]。外爾補充說：“在建筑中，4 的對稱性占主導地位”[1952: 65]。

轉念一想，這可能會讓人感到驚訝：以長方形為基礎的古跡比以正方形為基礎的古跡要多得多。當然，這必須理解為 “在正多邊形中”。方形古跡幾乎存在于所有文明中，即使是那些毫不相干的文明也不例外，但中亞有兩處方形古跡瑰寶：伊朗蘇薩附近 Chogha Zambil 的金字形城堡（圖 15）和烏茲別克斯坦布哈拉伊斯梅爾一世及其繼承者的薩曼尼王朝陵墓（圖 16）。Chogha Zambil 約建于公元前1250年，由埃蘭人建造；布哈拉的陵墓建于公元 905 年；這兩座陵墓都采用了D4對稱群。

圖15 Chogha Zambil，蘇薩附近（伊朗）

圖16 伊斯梅爾·薩馬尼陵墓，布哈拉（烏茲別克斯坦）

如果我們只研究裝飾而不是建筑物的總體形狀，還可以發現其他Dn的出現。例如，在建于公元 1312年的伊朗索爾塔尼耶著名的奧爾杰圖陵墓的天花板上就有 D6 組圖案（圖 17）。

圖17 奧爾杰圖陵墓，索爾塔尼耶（伊朗）

我們還可以在六芒星的中心觀察到一個D12不變圖形：藝術家暗中利用了D12是D6群的一個子群這一事實！陵墓本身是以D8不變八邊形為基礎的，這可能是繼正方形之后建筑師最常使用的正多邊形；吉爾吉斯共和國天山的布拉納塔（圖18）底座就是一個美麗的D8例子。這座塔建于9世紀末，是被地震毀壞了一半的尖塔的一部分，它顯示了波斯建筑的影響向東方傳播得有多遠。

圖18 布拉納塔（吉爾吉斯共和國）

正如外爾所說，奇數n的出現要少得多，這似乎有點奇怪，因為五邊形的構造方法在希臘傳統和中世紀波斯都是眾所周知的。五角形和十角形作為裝飾圖案出現在民用和宗教遺跡的天花板和墻壁上的頻率相對較高。圖19a展示的是伊斯法罕謝赫爾·蘇屯宮殿天花板上的一個例子（1647 年在阿巴斯二世統治下完工）。

這種帶有五角星和十角星的圖案確實是經典之作；從西邊的土耳其到東邊的中國新疆都有記載。印度也有這種圖案，如這幅jalii（北非和中東地區稱為 mashrabiyah 的一種木雕或石雕格子鏤空窗）（圖 19b）所示。這是 D10 不變圖案（大十角星）和 D5 星的混合體，巧妙地用四邊形完成（用五角星密鋪平面是不可能的）。

圖19 a左)伊斯法罕切赫爾蘇通宮(伊朗)；b右)城市宮殿，賈布爾(印度)

伊朗亞茲德星期五清真寺的伊旺（伊斯蘭教紀念碑中的一種拱頂大廳）上有幾顆七芒星（圖 20）。墻壁本身飾有 D10 圖案，但訣竅在于將 D77 圖案插入屋頂內部，因為此處空間縮小，無法再插入十邊形圖案。幾乎沒有人--也許只有數學家？- 會注意到這一 “微小 ”的變化；相反，他們看到的是一個完美的密鋪圖案。我們可能會問，為什么七芒星或七角星如此罕見，因為人們肯定知道近似的構造。下面兩個早期的例子（圖 21 和 22）展示了對這些圖形的完美掌握：盧浮宮的作品（圖 21）一面展示了七角形的構造，另一面展示了六角形的構造，并附有楔形文字注釋。

圖20 星期五清真寺，亞茲德（伊朗），上方有幾顆七角星，下方有十角星，如圖所示

圖21（左） 蘇薩泥板（巴黎盧浮宮）上的七角形結構。

圖22（右） 尼姆魯德青銅碗，新亞述時期，公元前9-8世紀（紐約大都會藝術博物館）

無反射旋轉

追逐Rn意味著在稀缺性上更進一步。然而，自人類誕生以來，Rn但非Dn不變的圖案就一直吸引著人們：“賦予這些圖案神奇力量的根源似乎在于它們驚人的不完全對稱--沒有反射的旋轉"[Weyl 1952: 67]。

當你進入亞茲德時，你經常會聽到當地人的夸耀：在任何地方都沒有像亞茲德這樣的清真寺。從我們的幾何角度來看，這當然是真的：我們在星期五清真寺的米哈拉布上發現了一個R6不變圖案（圖 23a），在阿米爾·查赫馬格清真寺令人印象深刻的 pishtaq上也發現了類似的圖案（圖 23b）。

圖23 a上）星期五清真寺，米哈拉布細節，亞茲德（伊朗）；b下）阿米爾·查赫馬格清真寺，亞茲德（伊朗）

在同一個紀念碑中，我們可以找到最常見的 Rn 不變圖案，n = 4（圖 24）。另一個漂亮的圖案出現在伊斯法罕的沙赫清真寺兩個pishtaq之間的走廊上（圖 25）。

圖24（左）伊朗亞茲德的Amir Chakhmagh清真寺 圖 25（右） 伊朗伊斯法罕沙阿清真寺

當然，對于數學家來說，最吸引人的圖案是伊斯法罕星期五清真寺西側的花壇（圖26a）：除了其固有的美之外，它還提供了阿布·瓦法（Abu Al-Wafa，940-998 年）對勾股定理的著名演示（圖 26b）。他的名著《對工匠有用的幾何構造》（Kitab Fi Ma Yahtaju Al-Sani Min Al-a Mal Al-Handasiyyaa）廣受歡迎，建筑師或工匠無需專業數學家的幫助即可使用，而這本書正是為此目的而寫的。

圖26a 伊朗伊斯法罕星期五清真寺

圖26b 伊朗伊斯法罕星期五清真寺，西伊萬的詳細圖案

裝飾對稱

雙向平移與上述有限群的結合產生了壁紙群；這些群與通過重復單個圖案在平面上鋪設瓷磚的不同方式有關。如果瓷磚是正多邊形，它們只能是等邊三角形、正方形或六邊形；后者最美麗的例子可以在撒馬爾罕的烏魯格·貝格學校（madrasaa 是一所伊斯蘭教學院，不僅教授神學，還教授文學、詩歌和科學）中找到，該學校建于公元 1420 年。鏤空的磚砌欄桿（圖 27）確實是一位革命王子的創意，因為它取代了通常的高大堅固的墻壁，使人無法看到里面或外面的情況：它的建筑功能是使學者們與喧鬧的市場保持某種程度的隔離，同時在精英階層和人民之間保持某種象征性的社會聯系。

圖27 從撒馬爾罕（烏茲別克斯坦）Ulugh Beg 伊斯蘭學校（建于公元 1420 年）的開放式磚砌結構中看到的 Shir Dor 伊斯蘭學校（建于公元 1636 年）。

不要以為這是這座宗教學校中唯一具有幾何趣味的物品：在室內墻壁上工作的藝術家們對裝飾性幾何有著深刻的理解，他們創造出了不同規則形狀的排列方式，這些形狀都不能單獨用來鋪貼平面，但如果將它們組合在一起，形成一個可以向兩個方向轉換的圖案，就能起到鋪貼平面的作用：這一點在圖 19 和 19b 中已經有所體現。在圖 19a 和 19b 中已經可以看到這一點。我們在一個伊旺的內壁上發現了一個很好的例子，其基本圖案是由五邊形、六邊形和正三角形組合而成的，正三角形里面還有七邊形（圖 28b）！

圖28. a，上圖）烏魯格·貝格及其天文小組的雕像，撒馬爾罕（烏茲別克斯坦）烏魯格·貝格學校；b，右圖）拼塊細節，伊萬內墻

盡管在純粹的宗教紀念碑中使用了非常復雜的傾斜結構，但很難讓人相信這些作品與親王對天文學和數學的深刻理解毫無關系。很難相信這些作品與王子對天文學和數學的深刻理解毫無關系： 烏魯克·貝格（Ulugh Beg，1393-1449 年）是帖木兒·冷（Timur-Leng）的孫子，他致力于科學事業，1409-1447 年擔任撒馬爾罕總督期間，他設法獲得了建造天文臺的資金，安排了宗教學校的建設，并召集了一支由70名天文學家組成的研究團隊在天文臺工作！在這些杰出的學者中，有天文學家卡迪·扎達·魯米（Qadi-Zada-al-Rumi，1364-1436 年）和數學家阿爾·卡希（Al-Kashi，1380-1450 年），后者可被視為著名的逐次逼近法之父。他設計了這種方法來計算正弦 (1°)，精確到十分之一位，比開普勒（1618 年）早了約 200 年。六百年后的今天，這種方法仍然是計算天文學中或多或少復雜方程的根的標準方法。

密鋪法可能有一個基于正方形的底層網格，但這并不意味著固定一個點的變換子群必須是正方形的對稱群，即D4。如，在圖29 a、b中，布拉那塔的盲拱(見圖18)僅顯示了旋轉和平移不變性，沒有任何反射:如果我們將圖29b中的紅點視為基本正方形的角，則使其保持不變的對稱是R4群。

圖29 a） 布拉納塔的盲拱門（吉爾吉斯共和國）；b） 磚飾細節

雖然布拉納塔不在波斯境內，但它的磚砌結構是公元1000年左右中亞伊斯蘭教的典型特征。例如，與布哈拉薩曼王朝陵墓的磚砌圖案相比，其受波斯影響的程度顯而易見。這些對稱圖案與外爾的圖 66 [1952: 114] 中的“mauresque”圖案相差無幾，具有相同的不變群，在壁紙群理論中被經典地命名為p4。

在莫臥兒王朝的古跡中，可以看到許多此類圖案的組合，例如阿格拉附近的阿克巴陵墓（建于公元 1613 年），其總體規劃和裝飾都很容易辨認出波斯風格的影響（圖 30）。在這里，藝術家將對幾何圖形的喜好與對自然和花卉的喜好融為一體。正如外爾（Weyl）[1952: 58]所指出的，花卉經常具有5或6次旋轉對稱性！仔細觀察就會發現，D5、D6 和 R6 在局部都有出現。請看花瓣的輕微旋轉！注意平移時的垂直不變性。

圖30 錫克安德拉（印度阿格拉附近）的阿克巴陵墓

另一個例子是舉世聞名的阿格拉泰姬陵，它反映了帖木兒王朝陵墓的影響；據說其首席建筑師烏斯塔德·艾哈邁德·拉哈里是波斯人。

最后一個例子是諾·貢巴德（No-Gonbad）附近的商隊客棧（圖 31），在這里我們可以看到轉譯和對稱，以及角樓周圍纏繞的圖案。請注意，塔樓頂部的“箭頭”是根據穿過大門的（虛擬）垂直面的平面反射而指向的。

圖31. 伊朗亞茲德至伊斯法罕公路上的 No-Gonbad

規模變化

在談到三維空間和相似群時，赫爾曼·外爾不再提及建筑，而是大自然的作品、花朵和貝殼。不過，建筑中也有這樣的例子：建于公元1778年的中國新疆吐魯番艾明尖塔就是一個很好的磚砌例子（圖 32）。它的圓錐形通過一組連續的相似點來確保其不變性（這些相似點的共同中心是一個虛擬點，即圓錐的頂點；塔樓只是圓錐頂點的截斷部分），磚砌突起物在其上形成圓錐螺旋形。與塔的垂直軸似乎有一個恒定的角度，建筑師注意保持這個角度。這是螺旋線的基本特性，每個系列都通過離散的子群保持不變--一個在右轉時增長，另一個在左轉時增長。

圖32 中國新疆吐魯番艾明尖塔的兩幅視圖

從幾何到抽象群

當然，我們不會在古波斯的道路上找到與外爾書中最后一章提到的主題之一--群論在相對論或量子力學中的應用--的任何聯系。我們也找不到發生在2.0世紀的群論本身的非凡發展。在外爾于1955年逝世后的30多年里，有限群分類的斗爭才告一段落。然而，外爾的最后一個課題伽羅瓦理論與外爾有著精神上的聯系，因為它涉及代數方程的可解性：別忘了，為了說明波斯的這些對稱群，我們曾在代數學的故鄉--來自花剌子模的代數學之父阿赫瓦里茲米（al-Khwarizmi，公元780-850年）的故鄉，以及來自呼羅珊的尼沙布爾的奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam，公元 1048-1131 年）的故鄉--旅行過。歐瑪爾·海亞姆是第一個嘗試解三次方程（即三度方程）的人。

但是，盡管看起來很不尋常，我們卻在波斯遇到了對稱性科學的重大最新進展。外爾的最后一章題為 "晶體，對稱的一般概念"。在他的著作出版30年后，1982年，人們發現了準晶體。2011 年，也就是30年后，丹·謝赫特曼（Dan Shechtman）因這一發現獲得了諾貝爾化學獎。準晶體的生長可以用彭羅斯密鋪（Penrose tilings，1976 年）來建模，即沒有任何平移不變性的結構化平面圖。這些拼塊使用有限數量的拼塊形狀，包括五邊形和十邊形。只要想想一個頂點上的角度之和，就可以很容易地證明，沒有一種規則的拼塊只能使用這種拼塊。現在，最令人吃驚的事實來了：幾位研究人員（首先是馬科維奇[1992]和博納[2003]，后來是彼得·盧和彼得·斯坦哈特[2007]）在中世紀伊斯蘭建筑遺跡中發現了這種拼塊的圖像（稍作調整），最早可追溯到馬拉加的貢巴德·卡布德（Gonbad-e Kabud）（12 世紀）；最常被引用的是后來的伊朗伊斯法罕 Darb-i-Imam 神殿（圖 33）（1453 年）！

圖33 伊朗伊斯法罕的 Darb-i-Imam 神殿。

結論

外爾的目標是向讀者展示，文明史與科學和對稱性研究的最新進展之間存在著某種隱秘而深刻的聯系。在我們這個高度專業化研究和知識分門別類的時代，科學領域的學者與歷史、藝術和建筑領域的學者之間的互動在統計上仍然是個例外；毫無疑問，不僅普通大眾不知道它們，就連選定的讀者也很難想象它們。外爾是極少數試圖在數學家和普通人之間架起橋梁的人之一，這一使命必須繼續下去。去波斯旅行是與外爾著作的精神保持聯系的一種輕松愉快的方式，因此，讓我們希望那些研究群論的人會想去發現波斯的建筑，而波斯的游客會渴望對群論有一個基本的了解！

附錄： 關于群

群的誕生簡史

最早提出群的是拉格朗日（1770 年）、柯西（1815 年）和伽羅瓦（1830 年）。他們都關注五階及五階以上代數方程。他們開始研究多項式根的排列組合，而伽羅瓦是第一個把解這類方程的明確公式的存在與排列組合群的研究聯系起來的人。值得注意的是，盡管伽羅瓦的解法很精彩，但卻很乏味，他并沒有給出 “群”（group）一詞的精確定義，直到凱雷（1854 年）才給出了這一定義。

理解群論的另一個來源是對幾何變換的研究，主要由克萊因（1870 年）負責。

參考文獻

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Alain Juhel, Touring Persia with a Guide Named …Hermann Weyl

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[Wallpaper Groups]: http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/index.html

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青 山 不改，綠水長流，在下告退。

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