非周期密鋪、彭羅斯密鋪與建筑形式的生成

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1995年9月，澳大利亞建筑事務所 Ashton Raggatt McDougall（ARM）邀請著名數學家羅杰·彭羅斯為他們即將完工的墨爾本皇家理工學院歷史悠久的Storey Hall建筑群翻新工程揭幕。彭羅斯承認該設計似乎“非常令人興奮”（彭羅斯，1996 年），但他遺憾地拒絕了邀請，理由是他已經承擔了太多的項目，無法在規定的時間訪問澳大利亞。他在回復邀請函的最后附上了一份神秘的后記，其中記錄了他目前正在研究“單拼塊問題”，最近“發現了一個由一種拼塊和復雜的匹配規則組成的拼塊集，可以通過額外的兩種小拼塊來執行”（彭羅斯，1996 年）。這份后記是了解彭羅斯與Storey Hall之間神秘聯系的第一條線索，也是了解一位科學家與一座備受爭議的獲獎建筑之間神秘聯系的第一條線索。

Storey Hall意義重大的原因有很多，但只有一個原因促使ARM邀請彭羅斯開放它。新落成的樓層大廳實際上覆蓋著一組特殊的巨型非周期性密鋪，這些密鋪是羅杰·彭羅斯在20世紀70年代發現的，后來被稱為彭羅斯密鋪。雖然從歷史上看，建筑總是與密鋪和圖案工藝密切相關，但Storey Hall代表了這一傳統的復興。

但是什么是彭羅斯密鋪，它與一般建筑尤其是門廳有什么關系呢？本文概述了彭羅斯密鋪的特殊屬性和特征，然后介紹了它們在ARM樓層大廳中的使用方式。這種二元分析的目的不是批評Storey Hall或其對非周期性密鋪的使用，而是將ARM的設計作為一種催化劑，在建筑形式生成的背景下對彭羅斯密鋪進行更深入的分析。

周期密鋪和非周期密鋪

幾何學家Grunbaum和Shephard記錄到“密鋪藝術一定起源于文明歷史的很早時期”，因為隨著“用石頭覆蓋地板”的第一次嘗試，人類“可以說已經開始了密鋪的制作”(Grunbaum和Shephard，1987: 1)。縱觀歷史，密鋪總是與建筑聯系在一起。從最早的原始小屋鋪上編織席子，用磚石砌成墻壁，或刻上幾何圖案的那一刻起，用數學術語來說，它就變成了密鋪結構。這是因為數學密鋪不是由組合材料的工藝來定義的，而是由通過應用一組通常為多邊形的形狀來重復創建圖案來定義的。由于這個原因，切割石馬賽克和彩繪壁畫或雕刻的凱爾特繩結一樣，都是數學密鋪的例子。在數學意義上，任何使用有限的一組形狀覆蓋或填充表面的幾何圖案系統都被認為是密鋪。Grunbaum和Shephard認為建筑藝術總是與密鋪工藝密切相關的原因之一是，密鋪或圖案通過裝飾為建筑物表面增添了豐富性。這種裝飾的價值不僅僅在于美觀，還在于象征性、實用性和經濟性。Grunbaum和Shephard認為，在歷史上的任何時候，“無論哪種密鋪受到歡迎，它的藝術和技術總是吸引著熟練的工匠、有創造力的從業者和慷慨的資助者”(1987: 1)。然而，盡管歷史上有許多關于通過幾何原理形成建筑的論文，但這些著作很少考慮密鋪和建筑之間的關系。2此外，盡管約翰尼斯·開普勒在他1619年的著作《和諧世界》中分析了密鋪圖案，但理解密鋪屬性的嚴格科學的方法僅在最近幾十年才形成。

20世紀60年代早期，人們對王昊的作品越來越熱衷，這在數學界已成為不爭的事實。1961年，哲學家王昊對使用幾何作為符號邏輯工具時的模式識別問題產生了興趣。王昊想確定是否有一個程序來確定給定一組多邊形形狀后，它們是否會以一定重復其構型的方式密鋪一個平面。重復其配置或顯示多條對稱線的密鋪通常稱為周期性密鋪。最容易識別的周期性密鋪是基于正方形、矩形、梯形或平行四邊形的集合。為了檢驗是否存在一種程序來確定一組形狀是否會周期性密鋪，王昊開發了一組正方形拼塊，每個拼塊都具有不同的顏色邊緣。王昊拼塊的邊緣只允許連接其他相同顏色的邊緣——它們不能旋轉或反射，只能平移。王昊推測，如果存在非周期性密鋪（不重復其圖案的密鋪），那么他無法推導出一個決策程序，由此給定的一組拼塊將周期性地密鋪一個平面。相反，如果可以確定決策過程，那么就不存在非周期性的密鋪系統（Rubinsteim 1996:20–21）。

為了澄清王昊的推測，必須了解有兩種類型的非周期性密鋪。有些拼塊集可以周期性和非周期性地填充一個平面，有些拼塊集只能非周期性地填充一個平面。3前者的一個例子是Gardner的周期性和非周期性拼塊集；選擇由放置拼塊的人決定（圖78.1和78.2）。這種幾何集合的例子數不勝數；彭羅斯經常使用馬喬里·賴斯1976年的單個拼塊集來解釋這一觀點（圖78.3）。盡管如此，在數學中通常被稱為非周期性的形狀集通常是那些只能非周期性地填充平面的形狀集，或者那些必須是非周期性的形狀集。這后一類形狀是王昊主要關注的形狀。

圖78.1：周期性使用的加德納四邊形拼塊集(正方形周期)。

圖78.2：非周期性使用的加德納四邊形拼塊集（仍具有正方形周期）。

Fig. 78.3 Rice’s single polygon set tiling a surface periodically. Image: author

圖78.3：賴斯的單多邊形集周期性地密鋪一個曲面。

1965年Robert Berger發展了王昊的論文，證明了不存在周期性密鋪曲面的判定過程，因此一定存在一組非周期性拼塊。認識到這一點后，Berger著手尋找第一組非周期性拼塊。他發現的拼塊系統由20000多種不同形狀組成，第二年展出。然而，Berger的密鋪系統是基于一種邏輯特性，在接下來的幾年里，許多數學家生產了數量越來越少的拼塊集，這些拼塊集將非周期性地填充一個平面。1967年，Berger將拼塊數量從20426塊減少到104塊，1968年，唐納德·克努特進一步將拼塊數量減少到92塊。然而，在1971年，當拉斐爾·羅賓遜允許旋轉和反射一組拼塊，然后從拼塊上完全去除顏色時，發生了更戲劇性的減少。Robinson沒有使用顏色，而是使用了一系列幾何添加和縮進來確保某些邊緣可以組合在一起，而其他邊緣則不能。通過這種方式，Robinson將Knuth的92張牌減少到了6張牌（圖78.4和78.5）。實質上，Robinson的拼塊仍然是王昊拼塊，因為它們仍然基于正方形密鋪圖案，因此它們代表了建立在基礎正方形周期上的最小可能非周期拼塊集。然而，盡管方形密鋪周期的最小限制是六塊拼塊，但彭羅斯在1973年提出，通過使用平行四邊形密鋪周期，該集合可以減少到只有兩塊拼塊。此外，彭羅斯隨后提出了兩組兩塊拼塊，每種拼塊只能非周期密鋪。

圖78.4：羅賓遜的六塊拼塊套裝。

圖78.5：顯示強迫非周期性的羅賓遜拼塊。

數學家約翰·康威將第一套“彭羅斯拼塊”命名為“飛鏢和風箏”套裝，該套裝源自一個菱形（或平行四邊形），其四條邊的長度相等（長度=?），鈍角為108°，銳角為72°。然后在菱形的銳角之間畫一條線（將每個銳角分成兩個32°角），其長度等于沿這條線測量的菱形典型邊的長度（即?）（圖78.6和78.7）。以這種方式創建的新點連接到菱形的剩余鈍角。然后沿著這兩條線切割菱形，形成風箏形狀（角度為72°、72°、72°和144°）和飛鏢形狀（角度為36°、72°、36°和216°）。然后，如果連接鈍角的兩條切割線的長度為1，則創建的其他長度按比例是黃金分割點的反射（即?=（1+√5）/2）。最后，這樣創建的兩個形狀，風箏和鏢，被著色或縮進，以確保它們只能連接到某些其他表面，因此只能非周期密鋪。

圖78.6：彭羅斯飛鏢和風箏拼塊的構造。

圖78.7：顯示強迫非周期的彭羅斯飛鏢和風箏圖案（為清晰起見，去掉了圖案上的色塊和壓痕）。

彭羅斯拼塊“飛鏢和風箏"組的一個有趣特性是，如果要密鋪一個無限大的表面，所需的風箏數量是飛鏢數量的 (1+√5)/2（約 1.618）倍；換句話說，飛鏢和風箏的比例是黃金分割點。

第二組彭羅斯非周期性拼塊中的第一塊拼塊與用于構建第一對拼塊的起始菱形完全相同。也就是說，第一塊拼塊是一個邊長相等（長度 = ?）的菱形，鈍角為 108°，銳角為 72°。第二塊菱形磚也有四條邊，長度與第一塊相等，但鈍角為 144°，銳角為 36°。然后用顏色、陰影或凹痕對它們進行修改，以確保它們按周期排列（圖 78.8 和 78.9）。第二組筆畫的比例和比率同樣反映了黃金分割的特征。通過仔細觀察多種比例的畢達哥拉斯五角星圖（圖 78.10），可以更容易地理解這兩組彭羅斯拼塊與黃金分割點之間的密切關系。

圖78.8：彭羅斯雙平行四邊形拼塊的構造。

圖78.9：顯示強迫非周期性的彭羅斯孿生平行四邊形拼塊（為清晰起見，去掉了強迫圖案的色塊和凹痕）。

圖78.10：畢達哥拉斯五角星圖，顯示了不同比例的四塊彭羅斯拼塊。

彭羅斯密鋪圖案的一個特殊特征是它們表現出準對稱性。正常情況下，拼塊圖案中任何類型的對稱都會使一組拼塊呈現周期性，但彭羅斯拼塊通過旋轉72°顯示出部分對稱，而不是完全對稱。因此，彭羅斯密鋪被稱為是準對稱的。這一特性很重要，因為直到1984年，人們還認為所有的晶體材料都必須基于具有常規周期對稱性的晶格。晶體僅在旋轉2、3、4和6次時表現出旋轉對稱性。然而，在1984年，丹妮·謝克曼通過電子顯微照相發現了鋁錳合金中的一種非周期性晶體結構。這種被稱為準晶的晶體結構幾乎具有五重對稱性，就像彭羅斯拼塊圖案幾乎對稱一樣。盡管正如克拉克內爾記錄的那樣，早在1966年就發現了晶體的五重對稱性，但人們普遍認為晶體不可能具有五重對稱性，因為形態結晶學中對此一無所知（克拉克內爾1969年）。對加德納來說，準晶的發現在科學界產生了巨大的反響:

在物理學家、化學家和晶體學家中，這一發現的影響是爆炸性的。類似的非周期性結構很快被引入其他合金，并開始出現數十篇論文。很明顯，固體物質可以表現出任何旋轉對稱的非周期晶格。兩個或兩個以上的各種各樣的實心磚被提議作為模型，一些強迫非周期性，一些僅僅允許(加德納1989: 25)。

五重準對稱違背了晶體限制定律，該定律表明晶格不能具有五重對稱。然而，正如Stewart和Golubitsky所堅持的那樣，“準晶體‘幾乎重復’了它們的結構，并且可以具有五重對稱軸”（Stewart和Golubitsky 1993: 95）。然而，盡管非周期拼塊圖案的幾何和數學有了這些最新的發展，彭羅斯拼塊仍然被廣泛認為是“娛樂數學”的例子（Gardner 1989）。雖然彭羅斯密鋪可能具有一些潛在的能力來描述自然無機形態中的晶體異常或“對稱性破壞”（Stewart和Golubitsky 1993年），但它們在很大程度上仍然沒有明確應用于任何特定領域。

斯托里大廳

斯托里大廳是一個大型禮堂，其附屬空間建在一個現有的歷史建筑中（圖78.11和78.12）。該建筑于1996年底投入使用，此后獲得了多項州級和國家級設計獎。設計中最有爭議的地方是，ARM公司精心修復和保留了原有維多利亞時期建筑的某些部分，但卻將其與色彩鮮艷、幾何形狀的現代建筑結合在一起。建筑設計師兼評論家諾曼·戴（Norman Day）描述說，維多利亞時期的原始細節幾乎完全被“白色、綠色、粉色、紫色和紅色面板，以及密鋪的綠色霓虹燈和巨大的白色半透明反射燈具面板”（Day 1995: 36）的復雜貼花所淹沒。這些拼塊覆蓋了斯旺斯頓街建筑的外立面和大部分內部空間，都是彭羅斯拼塊的第二組（雙平行四邊形），按照彭羅斯的顏色（而不是彭羅斯的凹痕）進行標記。用ARM的話說，在建筑外部，彭羅斯拼塊“籠罩在面紗和帷幔、折疊的窗簾、美味的花邊和粗壯的繩索線條中，標示著彭羅斯神秘幾何的內部邊界”（Ashton Raggatt McDougall 1996: 9）。在建筑內部，尤其是在禮堂空間，“拼塊仿佛在多個維度上重復自己的圖案”。

ARM聲稱，在Storey Hall 的設計中，他們使用彭羅斯拼塊作為雙重策略的一部分，即改變現有結構中占主導地位的歐幾里得幾何圖形，并將其作為“新科學”力量的象征。對于ARM 來說，使用彭羅斯拼塊不僅僅是指平面填充幾何，而是指與他們所描述的“新數學”相關的更大的概念轉變。不同的批評者將這一說法解讀為彭羅斯密鋪與分形幾何之間存在聯系。例如，Day聲稱，彭羅斯拼塊必須與外墻本身的形式結合起來閱讀，外墻是“現場澆筑的混凝土墻”，“根據新的復雜幾何學”而扭曲（Day 1995: 40）。在建筑內部，閱讀彭羅斯拼塊背后含義的行為變得更加復雜，因為這些拼塊與一系列其他科學和幾何圖形層疊在一起（Kohane 1996: 8-15）。諾曼·戴認為，在彭羅斯的幾何圖形中，還有通向“混沌理論、沃爾特·伯利·格里芬、城市主義、性革命、女權主義、愛因斯坦的石窟、柏拉圖的洞穴、X 和 Y 染色體、金庫雕塑、悖論[和]語境主義”的標志（Day 1995: 37）。

但是，彭羅斯拼塊是否具有意義，或者它們僅僅是幾何知識的圖標？當本章作者向查爾斯·詹克斯（Charles Jencks）詢問將數學形式應用于歷史建筑外觀的有效性時，詹克斯回答說，圖標的使用越具有“變革性”，結果就越有趣。在詹克斯看來，雖然斯托雷廳“在剖面圖或平面圖上并沒有真正使用彭羅斯拼塊圖案......但它在墻體深度、整體裝飾和圖標方面仍然使用了彭羅斯拼塊圖案”（Ostwald et al.）。詹克斯認為，所有這些用途都是創造建筑形式的適當手段。但這種使用方式難道不是簡單的“貼花”或“純裝飾”嗎？詹克斯認為，在斯托里大廳發生的事情遠不止將彭羅斯拼塊轉換成建筑裝飾這么簡單。他說：“看看這里的照明，以及它與古老的維多利亞式建筑之間的關系。它的肌理與維多利亞時期的建筑相似，具有相同的信息密度”。如果只是簡單的“貼花或應用裝飾”，那就“沒有組織深度更高的東西有趣”（Ostwald 等人，1996 年：30）。

ARM使用彭羅斯拼塊作為建筑形式的生成器，這似乎并不反映其對地形數學的精讀，而是反映其對這些思想在理解類晶體中的作用的認識，以及與分形幾何的聯系，但這種聯系并不那么直接。萊昂·范·沙克（Leon van Schaik）（1996: 5）將斯托雷廳描述為“一種通過當代表面數學來工作的建筑”。對于van Schaik來說，彭羅斯拼塊不僅指的是地形數學，而且是“形式展開的交響樂，將我們包裹在與新數學的空間性的相遇中”。從這個角度來看，使用彭羅斯拼塊所產生的建筑形式只是建筑與拼塊之間歷史關系的延伸，而這種關系近年來似乎缺乏創造性。

彭羅斯密鋪和建筑

盡管它們可能用于解釋準晶，彭羅斯密鋪仍然只是簡單的平面填充圖案，具有一些不尋常的性質。此外，這些不尋常的屬性并沒有以任何明顯的方式與架構特別相關。4最后，在架構的上下文中，周期拼塊集合與非周期集合是相同的；選擇使用一個還是另一個純粹是審美的。然而，由于彭羅斯的發現，拼塊幾何學有了兩個新的發展，似乎對建筑形式的發展更有利可圖。這兩個發展看起來更有用的原因是它們促進了對非周期密鋪中空間維度以及拓撲維度的理解。1976年，數學家羅伯特·阿曼(Robert Ammann)提出，可以設計一個兩分量集合，它可以非周期性地密鋪空間。這意味著阿曼的拼塊不是“平面填充”系統，而是“空間填充”重要的是，這個相同的系統是由日本建筑師和幾何學家宮崎浩二(宮崎1977)在大約同一時間獨立發現的。阿曼的非周期性空間填充拼塊是通過創建兩個實體形成的一對菱形，每個實體都有六個邊，與彭羅斯用于形成飛鏢和風箏組的起始菱形完全相同。也就是說，空間填充拼塊的每個表面都是菱形，其邊長相等，108角為鈍角，72角為銳角。以這種方式產生的兩個立體與彼得·艾森曼的X房屋軸測圖模型的基本幾何形狀有著不可思議的相似之處，也與他的el偶數奇數房屋項目(Eisenman 1982，1995)相似。當以某種方式著色或修改時，阿曼的拼塊只能在三維空間中非周期地組合在一起。

密鋪幾何學的最后一個發現——一個相當復雜的發現，必須在這里以非常膚淺的方式描述——涉及密鋪平面中的強制洞。值得注意的是，為了描述彭羅斯非周期密鋪中強迫洞的存在，數學家們求助于建筑隱喻的使用（奧斯特瓦爾德和摩爾1995；奧斯特瓦爾德等人1997年）。例如，約翰·康威將洞理論的發現描述為類似于想象“一座巨大的寺廟，地板上密鋪著彭羅斯拼塊，正中央有一根圓柱。拼塊似乎在柱子下面。實際上，柱子覆蓋了一個無法密鋪的洞”（加德納1989:26–27）。彭羅斯拼塊的某些組合（以及任何必要的非周期性拼塊）可能會強制無法密鋪的區域。傳統上，這種類型的錯誤是通過移除一些周圍的拼塊并重新加工圖案直到沒有洞為止來糾正的。但是如果洞形成了，它們會以許多微妙而重要的方式影響更大的格局。密鋪平面中的孔，就像填充空間的非周期拼塊一樣，是突出的幾何空間系統，揭示了建筑、彭羅斯密鋪和其他非周期密鋪之間的許多可能聯系。非周期密鋪的這兩個方面值得在體系結構中進一步研究。

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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