凱爾特回紋圖案的遞歸結構

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1. 凱爾特回紋圖案

在公元前10世紀后半期，即盎格魯·撒克遜和維京時期，在不列顛群島創作的手稿和石碑中，所謂的凱爾特回紋紋樣與更廣為人知的交錯紋樣一樣常見。羅米利·艾倫（Romilly Allen）[2]對這些圖案的分類仍然是考古學家的標準，自從相關章節再版后[6]，這種分類變得更容易獲取，而且提供了很多有用的分析，但所有這些圖案分類嘗試都有一個固有的問題，那就是如何確定哪些是基本圖案，哪些只是變體。交錯圖案的情況更糟，因為通常有許多方法來選擇基本單位，而且有人提出了替代羅米利·艾倫嘗試的方法[9]。彼得·克倫威爾（Peter Cromwell）在他最近基于繩結類型的調查[10]中避免了這個問題，因為它僅限于小繩結。有時，對回紋圖案進行更直接的分類可能會掩蓋在數學上更重要的特性。

雖然只有幾種基本結構，但現存的凱爾特回紋圖案顯示出相當大的差異。最有特色的結構之一是以Z形圖案為基礎，其最基本的形式如圖1所示（Romilly Allen [2]），它出現在林迪斯芳福音書和蘇格蘭的幾個石質十字架上。其他的變體是在Z形的角上連接螺旋線而不是單條直線，還有許多其他的變體，如裝飾圖案主體的一對三角形。

圖1：一種常見的凱爾特回紋圖案。

本文所討論的回紋圖案屬于一個特殊的群體，其成員通?？淘诜礁裰校@些方格或單獨出現，或單行重復出現，或拼成一個表面圖案。圖 2(a)顯示的是羅米利·艾倫的第995號作品[2]，該作品在不列顛群島隨處可見，同時還有一個來自麥克杜南福音書（Gospels of MacDurnan）的簡單變體（第 997 號）。

圖2：(a)另一種常見的凱爾特調式（羅米利·艾倫的第 995 號），(b) 一種簡單的變體（羅米利·艾倫的第997號[2]）。

圖3顯示的是在威爾士安格爾西Penmon Priory教堂的一個字體左側發現的圖案[1]，該字體據信最初是一個十字底座，可追溯到10世紀末至11世紀初。這是羅米利·艾倫分類中的第 1001號[2]，他認為它是第995號的四個副本（圖 2），中間部分做了一些修改。

圖3：Romilly Allen從他的995號作品中得出的具有自相似性的凱爾特回紋圖案(圖2(a))。

2.底層結構

像這一時期的許多與世隔絕的藝術一樣，這種圖案似乎是為了以其錯綜復雜來制造炫目效果。給人的直接印象是許多指向不同方向的箭頭，盡管正如羅米利·艾倫所觀察到的，這組中的所有圖案也可以被看作是由直角等腰三角形構成的，這種洞察力將成為理解自相似性某些方面的回紋。仔細觀察會發現，每個箭頭都是作為其他箭頭之間的空間產生的，感知在它們之間以一種典型的圖形/背景錯覺的方式翻轉。許多眾所周知的分形曲線，如科赫的雪花(http://mathworld . wolfram . com/Koch snow flake . html)，都有相同的性質：只給出曲線的一小部分，就無法判斷雪花的內部是哪一面。這表明，這種特殊的回紋圖案比羅米利·艾倫的陳述分析所暗示的有更多的數學結構，并且可以從中推導出自相似分形。

事實上，取自Romilly Allen的結構(圖4(a))的構造基礎(對應于泥瓦匠切割的凹槽)可以進一步重復，如圖4(b)所示。這種排列與Mandelbrot的河流系統模型[15]相同，基于安東尼奧·塞薩羅的三角形掃描。

圖4：遞歸深度為(a) 2和(b) 3的基本構造。

遞歸規則可以看作是科赫雪花曲線的變體，角度由 60 變為 90，同時縮短了一些線段，以避免產生類似正方形網格的圖形。單位長度的直線被長度為 ?，一個 90 度的轉折，一條長度為 5? 的 "短 "線，它在自己身上翻了一倍，一個 90 度的轉折，一條長度為 ? 的線所取代。實際上有兩個骨架（內骨架和外骨架）。外骨架是將遞歸規則應用于正方形的邊緣；內骨架是將遞歸規則應用于從正方形中心開始的四對前后短線（長度 5?），比例系數為 1/√2。內骨架的遞歸深度比外骨架少一個，因此在圖 4(a) 中，內骨架的遞歸深度為 1。

3. 完成構建

在骨架的兩端添加箭頭，就完成了圖案的構建（圖 5）。外骨架和內骨架上的箭頭是不同的，因為它們遵循的是具有兩個不同大小角度（45 和 90）的三角形的形狀。在數學確定的結構中，需要仔細調整組成線段的長度，以達到美觀的效果。

圖5：箭頭添加到圖4的基本框架中。

很明顯，我們缺少了一些東西，因為并不是每個箭頭之間的空隙都有另一個箭頭。內骨架上的箭頭工作正常，每個空隙都由外骨架上的箭頭填補，但外骨架上的箭頭留下的空隙意味著內骨架上有額外的箭頭。額外箭頭的空間不大，因此需要非常小。在內層骨架中任何一條全長直線的中點（遞歸中的每一步）添加一對箭頭，就完成了這個圖案。

外層骨架中的三個箭頭集群（圖6中的粗線）現在需要特殊處理，因為有三種不同類型的箭頭，所以不能全部用同樣的方法繪制，這樣當然會產生形狀相同的箭頭。通常情況下，在遞歸的底層只畫一條線，但現在我們需要在遞歸的第一層畫一個完整的箭簇：中央箭頭較小，側面箭頭也不對稱。同樣，出于美觀的考慮，我們需要非常小心地調整幾條不同線段的相對長度。圖6(a)顯示了遞歸到第2層的情況，再往前推進一步（圖6(b)），表明原始的回紋圖形確實可以擴展到更深的遞歸層。

圖6：遞歸生成的回紋圖案：(a) 第 2 級和 (b) 再上一級。

4. 箭頭的形狀

如前所述，這些圖案的基礎是將正方形分割成三角形，三角形內填充直線螺旋線。由于等腰直角三角形可以被反復分割成更小的副本，因此可以遞歸地繪制這些圖案。由于三角形的邊緣與螺旋線平行，它們決定了箭頭的形狀。外骨架上的箭頭從斜邊開始平行于斜邊，因此一開始要轉 45 度；內骨架上的箭頭從直角開始。小箭頭的進一步增加需要更多的類型。如果所有箭頭的形狀都相同，那么自相似性就會更強。

有一種構造也依賴于等腰直角三角形的特殊性質，它可以生成一個以正確方式組合在一起的箭頭形狀。圖7是圖6左下角的一部分。ABCDE 是內骨架的半個箭頭，WXYZ 是外骨架的半個箭頭。WA 是周圍小正方形的一條邊（例如，單位長度），WX 是外骨架的一條“短”線，長度為某個分數，例如，f。AB是內骨架的一條相應的“短”線，長度為√2f。BC 和 XY 也是相應的線段，因此它們的比例也必須相同，即 √2:1。YC 在 45 .

圖7：兩個幾何相似箭頭的部分。

因為XA=1-f，所以AB線和XY線之間的距離是(1-f )/√2。所以WX和CD的距離是(1-f )/2(因為相似)?，F在

于是

注意， Y 位于 DE 的延長線上，而 BC 在正方形底面的上方（1-f），所以

圖8顯示了這兩條線是如何沿著重復平分的等腰直角三角形的邊緣相互螺旋纏繞的。對應的邊緣比例為√2:1，因此每條螺旋路徑上的線段每轉一圈都會減半，也就是一個直角，從而產生了一條近似對數螺旋的正方形路徑，這與石頭上的設計不同，石頭上的設計是一條類似阿基米德螺旋的三角形路徑。新螺旋的自相似性確保了不再需要對其進行修改以適應額外的小箭頭。圖9顯示了圖6中帶有螺旋箭頭的圖案。

圖8：圖7中箭頭各部分之間的關系。

圖9：箭頭形狀一致的圖案。

圖10和圖9左側的圖案一樣，是根據圖3所示的原始雕刻設計的。軸已被移除，剩下的只是一對正方形螺旋，只留下一條邊界線，在螺旋的兩極有奇異點。顯然，遞歸可以繼續到任何深度，從而產生一個自相似分形。

圖10：以維京時期的原作為基礎的設計。

5中世紀的自相似設計

雖然遞歸和自參照在20世紀已變得司空見慣，但自相似性的例子在早期卻非常罕見。它們最常出現在伊斯蘭世界的裝飾藝術中。杰伊·邦納[7]追溯了這種自相似設計傳統的起源，從9世紀的開羅開始，大膽的主要圖案將較小比例的次要元素融入背景區域。到14世紀的西方和15世紀的東方，多層次幾何圖案的不同發展路線導致了真正的自相似設計，他將其分為三種類型。西方的例子依靠色彩來確定底層小比例圖案的大比例副本。東方的例子則是將較小比例的圖案作為背景，或作為較大復制圖案線條中的裝飾。

沒有一個伊斯蘭的例子有超過兩個的遞歸深度，邦納把這歸因于材料的限制，而不是藝術家缺乏創造性。Jean-Marc Castera [8]更進一步，認為這些設計有意表達了無限遞歸的可能性，是有意識地喚起人們對無限的感知。

另一個自相似的設計出現在13世紀的科斯馬蒂作品中。除了最小的三角形之外，其他三角形經常出現在這幅作品中，它們由四個較小的相似三角形(連接較大三角形邊的中點)構成，內部三角形的顏色與其他三個三角形形成對比。這個過程被重復，這樣每個小三角形都得到了同樣的裝飾性處理，這樣的例子幾乎一樣普遍。這可以立即被認為是Sierpinski三角形的開始。一個最令人印象深刻的例子發生在意大利阿納格尼大教堂的人行道上(由雅格布和盧卡·科斯馬蒂兄弟設計)，其中曲線三角形的裝飾達到了遞歸深度四[16](
http://odur.let.rug.nl/koster/dolls.htm)。

自相似回紋圖案與這些例子的不同之處在于它是線性的。它的構造方法是將線段替換為更小線段的集合，而不是將一個區域或一塊瓷磚替換為更小瓷磚的集合。它的不同之處還在于沒有明顯的先例來暗示其構造方法。邦納發現了伊斯蘭自相似圖案的歷史發展過程，而科斯馬蒂圖案顯然是從一種明顯的裝飾手段自然發展而來的。

一般來說，凱爾特幾何藝術，特別是回紋圖案，由有限范圍的標準設備的精心制作組成。例如，只有少數可能的對稱被使用，即使當視覺印象暗示一個不同的。其他考古學家羅米利·艾倫通常忽略對稱的整體外觀，有時會扭曲圖案以符合標準方案，只保留拓撲特征[12]。他對1001號圖案的分析(如上所述)同樣忽略了看似明顯的特征，這可能是為了他的分類。這種圖案的幾個版本出現在愛爾蘭西海岸外的阿蘭群島的Inishmore上，它們表明羅米利·艾倫關于標準圖案的四個副本的解釋和遞歸構造都沒有反映出這種設計的當代11世紀觀點。由于唯一已知的例子發生在島嶼上，使得海上交流變得容易，有理由假設它們是相關的。

6. 愛爾蘭的例子

圖 11 [11] 顯示了D.格里菲斯·戴維斯繪制的Leabha Brechain橫軸的細節。它似乎與安格爾西的例子完全相同，但仔細觀察會發現底部中央區域有不規則之處。事實上，愛爾蘭的例子沒有一個是完全準確的。對這種異常現象的常見解釋是藝術家的謙遜，他并不追求完美，例如[4]，但其他例子顯示出更明顯的偏差，其他解釋也是可能的。

圖11：伊尼什莫爾一個十字軸上的回紋圖案的副本。

另一種愛爾蘭回紋圖案[3](圖12)明顯更不規則。右手邊似乎支持Romilly Allen的觀點，因為它由公共基本圖案的兩個精確版本組成，而中心部分可能是一個失敗的嘗試，以合并連貫的更大圖案所需的修改。它可能是一個試驗版本，或者是一個拙劣的復制品，但雕刻師不事先計劃就直接在石頭上工作似乎不太可能。

圖12：伊尼什莫爾基勒尼十字架軸上的回紋圖案。

圖13顯示的是1895年出版的一幅完整圖畫[17]，圖中的說明顯示，人們認為這些碎片都屬于同一個部分。這似乎不太可能，因為輪子的形狀與十字架的其他部分并不相關，但無論如何，它確實提供了回紋圖案的另外兩個例子，以及一些其他類型的幾何圖案，以供比較。

圖13：顯示兩個回紋圖案示例的圖紙。

十字架的左臂上有一個非常典型的維京時期的打結設計。例如，簡單閉環的存在就很有特點。事實上，所有具有這種回紋圖案的紀念碑也顯示了該時期的典型元素(例如，本文初步版本中的圖15[13])，這證明了估計的建造日期約為1000年。

右手手臂顯然是基于相同的圖案，但它以相當極端的方式扭曲。斯堪的納維亞和不列顛群島上的維京雕刻經常展示這種狂野的蜿蜒小路，在這種文化中，重復和規則性似乎并沒有多少美學價值。最近的一項工作[14]討論了類似的扭曲編織Maen Achwyfan(惠特福德十字架)作為維京人的創新。兩個版本的設計并置可能是藝術家即興創作的展示，也可能是為了對比傳統凱爾特/盎格魯·撒克遜設計的有序規則和北歐人的野性風格。

兩個回紋圖案之間存在類似的對比。上圖（圖14）相當精確，只有中央部分（右下角）有一處不規則。在下例（圖15）中，中心部分完全規則，但作為外邊界的部分卻有很多變化。雛形的曲線螺旋（左側）是 Inchbrayock 十字架的一個極端構思[14，第 218-219 頁]。我們不可能知道這些變化有什么意義，但圖15提供了一個很好的例子，說明維京美學在回紋圖案上的應用。

圖14：圖13 中的上部回紋圖案。

圖15：圖13中較低的回紋圖案。

無論對這種圖案的變化有什么解釋，總之它們似乎表明，這種圖案的構思是一個帶邊框的中央部分，而不是像羅米利·艾倫所說的那樣，是一個帶修改過的中央部分的基本圖案的四個副本。當然，沒有任何跡象表明人們意識到了它的遞歸結構，始作俑者最初是如何發明它的也是一個懸而未決的問題。有證據表明，這一時期的石匠使用模板[5]，至少在雕刻作品中是這樣，而且似乎可以合理地推斷，當時也有用于幾何設計的模板。有可能是在使用兩種尺寸的模板（一種尺寸是另一種的一半）進行試驗時出現的。

7. 結論

近代以前，圖案中的自相似性非常罕見，即使出現，也是早期做法的自然發展。沒有明顯的傳統可以解釋11世紀末凱爾特回紋圖案中出現的自相似性，而且現存的例子表明，即使藝術家們意識到了自相似性，他們也沒有賦予它任何特殊的美學價值。不過，從現代的角度來看，自相似性意味著一種遞歸的構造方法，可以以新穎的方式加以發展。遺憾的是，由于這種構造方法依賴于直角等腰三角形的特殊性質，因此沒有明顯的方法將其更廣泛地應用?；诼菪羌^之間的相似性以及箭頭之間的空間的構造可能會帶來更廣泛的可能性，甚至可能揭示出與凱爾特螺旋圖案的相似之處。

參考文獻

[1] J.R. Allen, Early Christian art in Wales, Archaeol. Cambrensis XVI (1899), p. 42.

[2] J.R. Allen, The Early Christian Monuments of Scotland, Society of Antiquaries of Scotland, Edinburgh, 1903 (edition limited to 400 copies; reprinted The Pinkfoot Press, Angus, 1993).

[3] Anonymous, Cruise in connexion with the Munster meeting, Whitsuntide, 1892, Proc. Roy. Soc. Antiq. Ireland 27 (1897), p. 267.

[4] J. Backhouse, The Lindisfarne Gospels, Phaidon, Oxford, 1981, p. 55.

[5] R.N. Bailey, Viking Age Sculpture, Collins, London, 1980.

[6] I. Bain, Celtic Key Patterns, Constable, London, 1993.

[7] J. Bonner, Three traditions of self-similarity in fourteenth and fifteenth century Islamic geometric ornament, Meeting Alhambra ISAMA-Bridges, University of Granada, Granada, Spain, 2003, pp. 1–12.

[8] J.-M. Castera, Play with infinity, Meeting Alhambra ISAMA-Bridges, University of Granada, Granada, Spain, 2003, pp. 189–196.

[9] R. Cramp, Corpus of Anglo-Saxon Stone Sculpture in England, General Introduction, Part 1, Vol. 1, Oxford University Press for The British Academy, Oxford, 1984.

[10] P.R. Cromwell, The distribution of knot types in Celtic interlaced ornament, J. Math. Arts 2 (2008), pp. 61–68.

[11] Editor, Archaeological notes and queries, Archaeol. Cambrensis, XIV (1897), p. 259.

[12] P. Gailiunas, Celtic key patterns, Symmetry: Cult. Sci. 20 (2009), pp. 191–200.

[13] P. Gailiunas, A Fractal Celtic Key Pattern?, Bridges Pecs 2010, Tessellations Publishing, Phoenix, 2010, pp. 293–298.

[14] D. Hull, Celtic and Anglo-Saxon Art Geometric Aspects, Liverpool University Press, Liverpool, 2003, pp. 229–232.

[15] B.B. Mandelbrot, Fractals Form, Chance and Dimension, Freeman, San Francisco, 1977.

[16] G. Perneczky, The Poly-dimensional Fields of SaxonSzasz, International MADI Museum Foundation, Budapest, 2002, pp. 19–21.

[17] T.J. Westropp, Aran islands, Proc. Roy. Soc. Antiq. Ireland vol. 25 (1895), p. 254.

[18] Paul Gailiunas, A recursive construction of a Celtic-key pattern

青山不改，綠水長流，在下告退。

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