伊斯蘭幾何圖案的網(wǎng)格法分類

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文根據(jù)構建對稱元素時使用的最小網(wǎng)格數(shù) (MNG) 和最小幾何形狀 (LGS)，提出了伊斯蘭幾何圖案 (IGP) 的合理分類。現(xiàn)有的按對稱群對重復圖案進行分類的方法在很多情況下并不恰當[Joy97]。對稱群理論與相關工匠的思維方式無關，完全忽略了單位圖案的屬性，只關注排列格式。本文認為，目前的對稱群理論只是將其作為排列格式，而不是對伊斯蘭幾何圖案的分類，因為它們采用的是"全局方法"，未能探索伊斯蘭幾何圖案建筑元素中的各種可能性。星形是伊斯蘭幾何圖案中最重要的元素，也是中心玫瑰花形，它構成了本文研究的核心。本文提出了新的命名法，用于描述基于MNG和LGS 的單元圖案，用于構建可用于實現(xiàn)最終設計的星形/玫瑰花形圖案。本文描述并演示了根據(jù)這種分類方法，在單元圖案最終設計所決定的網(wǎng)格中構建星形/輪狀單元圖案的程序。

1. 簡介

早在一千多年前，伊斯蘭工匠就開始在宮殿、清真寺和尖塔的表面裝飾伊斯蘭幾何圖案[Sai76]。這些幾何圖案始終如一地在表面上布滿星形區(qū)域，形成極具視覺效果的對稱圖案，因此被稱為 "伊斯蘭幾何圖案"。這些幾何圖案在歷史上常常令群理論家們敬畏不已，他們一直在努力對這些結構進行審慎的分類。人們曾多次嘗試對星形/玫瑰紋圖案進行分類，結果產(chǎn)生了各種各樣的構造組別和分類方法。Grunbaum和Shephard在試圖在獲得基本單元后，根據(jù)對稱群對這些幾何圖形進行分解，從而得出原始圖案的屬性[Gru92]。歐洲的群論家 Dewdney 等人提出了一種基于周期性放置的圓的反射線的分類方法 [Dew93]。Lee 提出了伊斯蘭幾何圖案共同特征的簡單構造，但未能提出基準分類定理 [Lee95]。此外，IGP 的一個重要方面也未能吸引任何類型的分類，那就是線條向間隙區(qū)域的天真延伸。為了描述延伸區(qū)域與單位圖案之間的關系，我們對現(xiàn)有的推斷幾何圖形的復雜性進行了深入研究。阿巴斯（S.J. Abbas）和薩爾曼（A. Salman）在其具有里程碑意義的論文《伊斯蘭幾何圖案的對稱性》（A Symmetries of Islamic Geometrical Patterns）中堅定地認為，到目前為止，還沒有人對伊斯蘭幾何圖案進行有價值的分類，并特別關注其構造 [Abb95]。本文提出的論點是，"7種飾帶群 "和 "17種墻紙群 "等流行的現(xiàn)有對稱群純粹是基礎模型。需要在研究單元圖案構造的基礎上進行更精細、更完善的分類，并特別關注單元圖案的網(wǎng)格系統(tǒng)。通過 MNG、LGS 和網(wǎng)格的排列和組合，這種分類法為單元圖案的完成提供了無限可能。

2. 對稱

對稱意味著平衡、部分重復或形式簡單統(tǒng)一。對稱僅僅意味著圖案。但對稱的范圍遠不止吸引人的建筑和漂亮的圖案那么簡單。不過，在數(shù)學上，對稱可以簡單地定義為集合在變換下的屬性不變[Abb92]。群論表明，在一維對稱周期圖案中，可分析為七種不同類型，并提供識別特定對稱類型所需的信息 [Abb95]。同樣，在二維對稱周期圖案中，可以生成和識別十七種不同類型的圖案。單維對稱圖案被稱為 "7種飾帶群"，二維對稱圖案被稱為 "17種墻紙群"。本文通過分析對稱圖案各個元素的構造，直觀地介紹了伊斯蘭幾何圖案中強大的圖案和對稱概念。下文將介紹現(xiàn)有的傳統(tǒng)對稱群理論，以支持我們的觀點，即它們只是排列圖案，而不是幾何圖形的分類理論，更不用說伊斯蘭幾何圖案了。

3. 7種飾帶群

保持給定直線不變（包括沿直線平移）的等距群稱為飾帶群。等距可定義為平面或空間的線性變換，它保持了點與點之間的距離。Andrew Glassner[Gla99]對飾帶群、摩爾紋、鏡面反射和周期性密鋪等許多相關主題進行了非常有啟發(fā)性的研究，為了說明7種飾帶群的論點（見圖 1），我們將介紹每個飾帶群的屬性。他展示了創(chuàng)建物理模型的價值，使我們能夠擴展我們的可視化技能和對主題的感知。必須指出的是，從非常明確的意義上講，飾帶群理論誤導了對伊斯蘭幾何圖案的分類。數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，用對稱群來解釋圖案的規(guī)則性是非常方便和有用的。這樣，代數(shù)學和其他數(shù)學學科的成果就可以應用于此類圖案的研究。然而，可以說這并不是工匠們在創(chuàng)作時所考慮的規(guī)則性概念。事實上，直到一個多世紀以前，即使對數(shù)學家來說，數(shù)學對象的規(guī)律性也有著完全不同的含義。這兩種方法的區(qū)別在很大程度上是全局觀點和局部觀點的對比。過去，數(shù)學家們用全等面、等角和其他局部性質的要求來定義柏拉圖多面體等對象的正則性，而現(xiàn)在，人們習慣于用旗子集合上對稱群的反證性來定義正則性。同樣，工匠們的目的很可能是要創(chuàng)造出幾何圖案，其中各部分以某種特定的方式與其近鄰相關，而不是試圖獲得無限延伸設計的整體對稱性。

圖1. Andrew Glassner的7種飾帶群[Gal99] 4.

4. 17種墻紙群

已經(jīng)證實，在兩個獨立方向上存在17組不同的周期性二維圖案。這 17 個圖案也被通俗地稱為 17種墻紙群。不過，Xah Lee [Lee98] 給出了 17 墻紙群的基本命名法（見圖 2）。克拉克大學的 David E. Joyce [Joy97] 在其關于 17 個平面對稱群的互聯(lián)網(wǎng)站中將對稱群視為平面圖案的分類。他寫道：“各種平面圖案可以通過使其不變的變換群來分類。對這些群的數(shù)學分析表明，正好有不同的平面對稱群”。現(xiàn)在，從上面的插圖中可以很清楚地看出，飾帶群和墻紙群的理論提出了排列基準，使我們能夠確定格式圖案排列的類型，而不是對單元圖案進行分類。此外，我們還可以得出這樣的結論，即還沒有一種可行的、可論證的方法，從整體上對綜合圖案進行分類，并特別關注其構造。

圖2. Xah Lee [Lee 98] 的17種墻紙群

5. 網(wǎng)格法分類

本文的目的是根據(jù)伊斯蘭幾何圖案單元圖案的構建提出一種新的分類法，因為事實證明現(xiàn)有的群理論并不能達到這一目的。

通常，任何給定的伊斯蘭幾何圖案都是根據(jù)其給定的幾何形狀來命名的。例如，在 Issam El-Said [Sai93] 的插圖中，圖案可以因為包含六角星而被歸類為六邊形圖案，也可以因為包含八角星而被歸類為八邊形圖案，等等（見圖 3）。但這可能會產(chǎn)生誤導，因為大多數(shù)伊斯蘭幾何圖案中最受歡迎的元素星形/玫瑰花形可能是由圓形、三角形、正方形、四邊形和六邊形等幾種幾何形狀組合而成的，而星形/玫瑰花形單元圖案可以根據(jù)其基本設計進行歸一化和分類。因此，我們不把這些圖像看作是六邊形或八邊形的單元圖案，而是根據(jù)星形/長條形網(wǎng)格的構造和規(guī)范化對這些圖像進行分類。并研究特定恒星/輪盤的重要屬性和特性。在我們的方法中，任何給定的恒星/輪盤都可以通過規(guī)范化來解密或解構。這一規(guī)范化過程將通過識別構成星形/輪廓圖的各個網(wǎng)格來實現(xiàn)。一旦網(wǎng)格元素被分離出來，就能確定可用于實現(xiàn) n 圖案星形/輪盤的基本幾何形狀。根據(jù)我們的觀點，星形解剖過程可分為以下幾個階段：

圖3 六邊形和八邊形圖案由Issam El-Said在《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93]中提出。

"Geometric Concepts in Islamic Art, I. El Said。Titus Burckhardt 在該書的導言中指出，所有幾何圖案都是通過同樣的方法得出的，即從圓的和諧分割中得出建筑物（或圖案）的所有重要比例....。然而，在某些情況下，作者卻忽略了圓的畫法，諷刺地揭示了圓的存在對于所謂的 "獨特方法 "或 "唯一方法 "是多么的無足輕重（見圖 4.2）[Sai76]。

我們在El-Said的《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93] 一書中發(fā)現(xiàn)了同樣的圖像（見圖 5），并清楚地標出了基圓，這表明El-Said并沒有忽略在圓中繪制單位圖案。在這種情況下，我們可以說（圖 4）是從一個不同的、方便的維度來觀察的，以便于得出合適的結論來證明 W.K. Chorbachi 提出的定理。（圖 5）中的圓是（圖 4）的復制品，它確實構成了設計單位圖案的基礎平面，這也是本文所要論證的。

圖4. 此圖摘自 W. K. Chorbachi，《Tower of Babel, Beyond Symmetry in Islamic Design》[Cho89]的圖 4.2，顯示在推導此圖案時沒有出現(xiàn)圓。摘自 I. El-Said，《Geometric Concepts in Islamic》[Sai76]。

圖 5. 圓形確實出現(xiàn)在單元圖案中。摘自 I. El-Said, Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design [Sai93]。

5.2 分割階段

在這里，我們將圓（360 度）除以 x 個點，從而得出星形/玫瑰花形的預期設計。

5.3 編排網(wǎng)格階段

網(wǎng)格劃分階段將啟動網(wǎng)格劃分過程。該階段是本文所述按時間順序排列的階段中最重要的階段。我們注意到，伊斯蘭幾何圖案中的星形圖案/玫瑰圖案的設計格式多種多樣，彼此迥異。由于伊斯蘭教本身遍布各大洲，每個國家都為伊斯蘭藝術貢獻了自己的藝術遺產(chǎn)。在這種背景下，要正確解讀星形圖案，就必須在非常正確的指導下努力了解星形圖案的類型。我們知道這項工作的復雜性，因為伊斯蘭藝術的本質是非常復雜的，而任何復雜的藝術都很難正常化。這一階段的核心目標是參照用于實現(xiàn)伊斯蘭幾何圖設計的最小網(wǎng)格數(shù) (MNG) 和最小幾何形狀 (LSG) 對星形圖案/玫瑰圖案進行描述和分類。

我選擇了一個不同尋常的復雜圖案來演示我們的分類方法（見圖 6）。該圖案摘自E. Hanbury Hankin 所著的《數(shù)學報》"Some Difficult Saracenic Designs, A Pattern Containing Fifteen Rayed Stars"[Han36]。在任何給定的單元圖案中，都需要根據(jù)我們的方法進行分類，我們首先要在給定的單元圖案中尋找不同類型的星形/玫瑰花形。我冒昧地給漢金給出的單元圖式涂上了顏色，以顯示給定單元圖式中不同類型的星形/玫瑰花形。給定的單元圖案與眾不同，因為它由兩種類型相似但設計不同的星星組成；一種是十二芒星，尺寸較小，另一種是十五芒星，尺寸較大。讓這個圖案顯得格外特別的是，這兩顆不同大小的星星之間用一組網(wǎng)格線精美地連接在一起。星星的大小并不影響我們的分類，影響我們分類的是每顆星星/玫瑰花瓣的設計方法及其網(wǎng)格屬性。因此，我們得出結論，這個給定的單元圖案的第一個屬性是它由多個星形/網(wǎng)格組成。如果我們開始按照漢金的標準或規(guī)范，根據(jù)傳統(tǒng)的飾帶群和墻紙群理論對單元圖案進行分類，我們將不得不把封閉區(qū)域作為主要的單元圖案。這樣，我們就通過了圖像的有限元素或有限屬性。下文將詳細闡述基于網(wǎng)格元素（MNG）和網(wǎng)格屬性（LGS）的伊斯蘭幾何圖案構建規(guī)范化過程。

5.3.1 最小網(wǎng)格數(shù) (MNG)

本節(jié)是命名規(guī)則的第一部分，其目的是確定最小網(wǎng)格數(shù)，即在 n 個網(wǎng)格的頂點與網(wǎng)格邊平分的情況下，網(wǎng)格相互之間的最小網(wǎng)格數(shù)。這一部分以最終設計為核心目標。一個無限循環(huán)的過程是識別交叉點，并設置頂點之間的正確關系，以實現(xiàn)玫瑰花環(huán)的二等分。

5.3.2 最小幾何形狀 (LGS)

這一階段是命名規(guī)則的第二部分，目的是在給定的單元圖案中確定用于構建星形/玫瑰花形的最低幾何形狀。下面的插圖（見圖7和圖8）描述了圖案（見圖6）的歸一化系列，以分別實現(xiàn)十二條射線和十五條射線的星形/輪廓線的分類。

十二射線星形/輪廓圖使用 3 個最小網(wǎng)格數(shù)（MNG）和一個四邊形作為最低幾何形狀（LGS），而十五射線星形/輪廓圖使用 3 個最小網(wǎng)格數(shù)和一個五邊形作為最低幾何形狀。因此，我們將這種圖案（見圖 6）歸類為 網(wǎng)格 3 四邊形/五邊形類。

圖 6：E. Hanbury 的圖案，包含十二（紅）條射線和十五（藍）條射線的星形/輪狀圖案，《數(shù)學公報》"Some Difficult Saracenic Designs"[Han36]。

圖 7. 12 射線星被歸類為（網(wǎng)格 3 四邊形類），因為它至少使用了 3 組網(wǎng)格，最低的幾何形狀是四邊形。

圖 8. 15 射線星被歸類為（網(wǎng)格 3 五角星類），因為它至少使用了 3 組網(wǎng)格，最低的幾何形狀是五邊形。

圖 9. 顯示一些伊斯蘭幾何星形/玫瑰花形的分類。

在這些部分之后是一系列圖像，它們將以非常合理和直觀的方式說明歸一化過程，并以可呈現(xiàn)的方式提出我們的觀點（圖 9）。

5.4 藝術階段

這是第四個階段；網(wǎng)格劃分完成后，我們可以通過為網(wǎng)格內部線條賦予權重的方式，為網(wǎng)格賦予必要的藝術屬性，從而設計出所需的星形/輪廓圖。這一階段還包括為 "星形/輪廓圖 "的各個部分著色和填充。

5.5 擴展階段

第五階段是 "名義 "或 "幻影 "階段，因為這一階段可能存在，也可能不存在。在這一階段，自然延伸將在概念邊界（通常為正方形或矩形）內和邊界外的外部區(qū)域完成無縫網(wǎng)格（見圖 7 和圖 8）。

圖 10. 此圖為 W. K. Chorbachi [Cho89] 的圖 4.3，顯示圓的方案與長矩形單元不符，標出了一個變化區(qū)。來自 I. El-Said [Sai76]。

在大多數(shù)設計中，El-Said[sai 93]將正方形視為明確的外部邊界(由圓和圓以外的相關網(wǎng)格擴展組成的邊界)。在這種情況下，W.K. Chorbachi[CHO 89]曾說過，在所有的設計中并不總是能找到正方形。在他的書《巴別塔:超越伊斯蘭設計中的對稱性》的節(jié)選中，他寫道:“……最后，在一些設計案例中，不可能掩蓋分析方法不成立的事實。這些圖(圖4.3)顯示為包含一個基于變化的非標準區(qū)域。細長的矩形區(qū)域顯然屬于“單向”的2重對稱概括，其在4重對稱組的正方形中被壓倒性地表示。在插圖中(見圖10 ), W.K. Chorbachi認為矩形是設計的外部邊界，并證明正方形不可能總是被標記為外部邊界。然而，他也認為外部邊界在設計中是不可或缺的。但是，正如上面已經(jīng)證明的那樣(見圖7和圖8 ),外部邊界對于星形/玫瑰形設計來說是虛幻的，并且它的存在不能總是被確認，直到并且除非外部網(wǎng)格的存在可以被追蹤。

6. 結論

我們可以得出這樣的結論：群理論是對排列進行分類，而不是對單元圖案進行分類。本文提出了一個可行的定理，使我們能夠根據(jù)網(wǎng)格屬性對任何星形/輪廓圖進行分類。它還為星形/輪廓圖生成了一個分類名稱，為讀者提供了有關最小網(wǎng)格數(shù)（MNG）和最小幾何形狀（LSG）的信息，這些信息用于實現(xiàn)伊斯蘭幾何圖案的設計。根據(jù)我們的經(jīng)驗，伊斯蘭幾何圖形的分類結果是相對的。在這種情況下，命名方法將根據(jù)新研究的結果而改變。

參考文獻

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Clark university, Worcester, MA 01610.

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[Ahm99] Ahmad M. Aljamali and Ebad Banissi, Grid Method Classification of Islamic Geometric Patterns

青山不改，綠水長流，在下告退。

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