幾何天才生成伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案的新方法

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了一場(chǎng)關(guān)于其不尋常結(jié)構(gòu)的大爭(zhēng)論。令人驚訝的是，這些結(jié)構(gòu)在幾個(gè)世紀(jì)前就在伊斯蘭藝術(shù)中被發(fā)現(xiàn)了。這一最新發(fā)現(xiàn)引起了科學(xué)家們的注意，他們提出了幾種方法，通過(guò)分析分布在伊斯蘭世界的幾種準(zhǔn)周期圖案來(lái)理解這些結(jié)構(gòu)。本文提出了一種系統(tǒng)的方法來(lái)產(chǎn)生新的準(zhǔn)周期圖案的啟發(fā)，現(xiàn)有的伊斯蘭歷史圖案。該方法基于準(zhǔn)周期密鋪和幾個(gè)直觀參數(shù)構(gòu)建伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案。給定一個(gè)準(zhǔn)周期密鋪，該方法將其密鋪(菱形)劃分為對(duì)稱的直角三角形，并構(gòu)造其模板圖案。這些模板主題的構(gòu)建是通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)和組織良好的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)的。拼塊的內(nèi)容是通過(guò)將鏡像反射應(yīng)用于構(gòu)建的模板圖案而獲得的。最后，通過(guò)將構(gòu)建的拼塊的內(nèi)容放入拼塊中來(lái)繪制圖案。

1介紹

Dan Shechtman因發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)而獲得2011年諾貝爾獎(jiǎng)[26]。在這一發(fā)現(xiàn)的幾年前，數(shù)學(xué)家們對(duì)在平面上鋪上規(guī)則的圖案很感興趣，這些圖案永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)，以創(chuàng)造出非周期性的馬賽克。Roger Penrose為這個(gè)問(wèn)題提出了一個(gè)優(yōu)雅的解決方案：Penrose拼塊[22,23]。

令人驚訝的是，這些不尋常的結(jié)構(gòu)被用于伊朗馬拉加藍(lán)塔的幾何圖案[16]，以及伊朗達(dá)比伊瑪目神社的幾何圖案[15]，在它們被發(fā)現(xiàn)幾個(gè)世紀(jì)之前。伊斯蘭圖案與準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)的相似性吸引了許多科學(xué)家對(duì)幾種伊斯蘭幾何圖案的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和生成原理進(jìn)行研[2,5,10,19,21,24,25]。到目前為止，還沒有產(chǎn)生伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案的一般方法。

本文介紹了一種方法，此法生成新的伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案的靈感來(lái)自現(xiàn)有的建筑圖案。這種方法從現(xiàn)代已知的現(xiàn)有準(zhǔn)周期密鋪開始，并用受歷史伊斯蘭星星圖案啟發(fā)的圖案裝飾這些密鋪。

本文主要內(nèi)容。第2節(jié)：介紹最著名的相關(guān)作品，并特別關(guān)注構(gòu)造方法。第3節(jié)：介紹了伊斯蘭幾何圖案的分析和一些理論背景，這將有助于理解所提出的方法。第4節(jié)：新方法，展示了如何使用準(zhǔn)周期拼塊來(lái)構(gòu)建準(zhǔn)周期星形圖案，并提出了一種生成技術(shù)來(lái)設(shè)計(jì)其拼塊的主題元素。第5節(jié)：一些作品。第6節(jié)總結(jié)。

2相關(guān)作品

伊斯蘭藝術(shù)的一些歷史圖案的對(duì)稱性與準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)之間的相似性吸引了一些科學(xué)家去研究這些圖案的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。Makovicky研究了Maragha藍(lán)塔的圖案，證明了Penrose和Maragha拼塊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并開發(fā)了Penrose拼塊的新變體[16]。在另一項(xiàng)工作中，Makovicky和Fenoll Hach-Alí分析了西班牙的一些伊斯蘭八角形圖案，并推斷這些圖案是基于嵌套八角形的準(zhǔn)晶格[10]。在[21]中，研究了西班牙和摩洛哥與Penrose拼塊系統(tǒng)相關(guān)的十角形準(zhǔn)周期圖案。2011年，對(duì)非斯陵墓Moulay Idriss II的十二角圖案的分析表明，它與Ammann準(zhǔn)晶格相容[19]。在[18]中，Makovicky研究了在伊朗西北部Maragha的Gunbad-e-Qabud上進(jìn)行的準(zhǔn)周期性拼塊可能的同時(shí)代人和仿制品。在[20]中，E. Makovicky和N. Makovicky分析了瓜廖爾(北印度)Muhammad Ghaus陵墓的大型Jali屏風(fēng)的圖案，并提出它們可能是基于一種新型復(fù)合拼塊的準(zhǔn)周期性八邊形拼塊的近似物。在[15]中，Lu和Steinhardt證明了用線條裝飾的Girih拼塊的密鋪可以創(chuàng)造出越來(lái)越復(fù)雜的周期性Girih圖案。然后，他們說(shuō)明了這些密鋪與自相似變換的結(jié)合可以在伊朗伊斯法罕的Darb-I伊瑪目神殿(1453)上構(gòu)建近乎完美的準(zhǔn)周期彭羅斯圖案。在[25]中，Saltzman證明了Gunbad-i Kabud設(shè)計(jì)的單位胞和Darb-i Imam設(shè)計(jì)的很大一部分都是準(zhǔn)周期的。

所有這些分析研究對(duì)于理解這些圖案的結(jié)構(gòu)和發(fā)現(xiàn)它們的生成原理的謎題是重要的。

在構(gòu)建歷史的和新的準(zhǔn)周期圖案方面已經(jīng)取得了一些成果。在[4]中，Al Ajlouni提出了一個(gè)模型來(lái)描述伊斯蘭藝術(shù)的十角形準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)的理論。這個(gè)模型被命名為層次框架模型(HFM)，它基于嵌套十角圖的底層基本網(wǎng)格。這個(gè)框架決定了星形單位的中心。星形之間的空間是用重疊星形單元的排列來(lái)覆蓋的，這些重疊星形單元是根據(jù)底層子網(wǎng)格的某些交點(diǎn)來(lái)定位的。采用多層陣型來(lái)生成準(zhǔn)周期圖案全景。這種方法只描述了十角形和五角形圖案(具有五倍和十倍旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的圖案)。在每一個(gè)層面上，Al Ajlouni的方法都需要進(jìn)行搜索，以發(fā)現(xiàn)恒星之間不同的可能連接結(jié)構(gòu)。Al Ajlouni提出了一種基于相同原理的結(jié)構(gòu)模型，用于描述伊斯蘭建筑中基于八邊形的準(zhǔn)周期對(duì)稱的全球遠(yuǎn)程順序，包括Ammann-Beenker拼塊[3]。在[1]中，Aboufadil等人提出了一種基于多重網(wǎng)格和工匠采用的Hasba技術(shù)構(gòu)建摩洛哥準(zhǔn)周期圖案的方法。這種方法不適合計(jì)算機(jī)應(yīng)用，需要實(shí)驗(yàn)技能。在他的論文[12]中，Kaplan提出了一種基于準(zhǔn)周期密鋪的方法，利用菱形作為放置正多邊形的向?qū)?lái)生成非周期密鋪。玫瑰花密鋪在正多邊形中，其他方塊使用推理算法填充。本文的目的是提出一種系統(tǒng)的方法來(lái)生成新的伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案，在不干擾其真實(shí)歷史特征的情況下拓寬這些裝飾品的范圍。

3背景

3.1歷史圖案分析

摩洛哥非斯阿塔琳伊斯蘭學(xué)校的鑲板是伊斯蘭藝術(shù)中最美麗、最復(fù)雜的幾何圖案之一。對(duì)該圖案的分析表明，它是使用圖1所示的兩個(gè)裝飾的彭羅斯拼塊(胖菱形和瘦菱形)獲得的圖案的片段。菱形是用伊斯蘭藝術(shù)中著名的圖案裝飾的。這種圖案被稱為玫瑰花結(jié)，它完全排列在胖菱形內(nèi)(圖1(e))，部分排列在胖菱形和瘦菱形內(nèi)(每個(gè)角度包含一部分玫瑰花結(jié))(圖1(f))。

圖1：(a)摩洛哥非斯(Fez, Morocco)的Madrasa Attarine的面板，(b)相應(yīng)的裝飾拼塊，(c)裝飾拼塊的排列，(d)與面板相似的部分，(e)圓形菱形中玫瑰花的排列，以及(f)以六個(gè)菱形之間的共享頂點(diǎn)為中心的10角玫瑰花。

觀察上圖得出以下結(jié)論:

?準(zhǔn)周期拼塊的菱形可以用玫瑰和星星圖案裝飾。

?玫瑰花/星形的順序和菱形的角度之間有關(guān)系。

?玫瑰/星星可以在菱形的頂點(diǎn)上居中。

?每個(gè)菱形的每個(gè)角都包含玫瑰花結(jié)的一部分。這些部分的結(jié)合形成一個(gè)完整的玫瑰花結(jié)。

?必須確保圖案的線條在相鄰菱形邊緣上的連續(xù)性。

?伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案可以基于現(xiàn)有的準(zhǔn)周期拼塊生成。

因此，伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案可以由菱形的準(zhǔn)周期密鋪得到。伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案的構(gòu)造可以簡(jiǎn)化為其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)周期拼塊的內(nèi)容的生成。因此，本文的主要目的是形式化構(gòu)造一種新的伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案的一般方法。

3.2 設(shè)計(jì)元素

伊斯蘭星形圖案被認(rèn)為是伊斯蘭幾何藝術(shù)中最復(fù)雜、最著名的形式之一。幾何玫瑰和星星是這些圖案中最常見的圖案[13]。它們的結(jié)構(gòu)在幾篇論文中被描述[11,13,14]。可通過(guò)以下參數(shù)定義花結(jié)：花結(jié)階數(shù)N，半徑R，角度θ和φ，交點(diǎn)數(shù)s(圖2(b))。星型主題可以通過(guò)參數(shù)(N, R， θ， S)來(lái)定義(圖2(A))。除了上述參數(shù)外，我們還考慮了一個(gè)附加的雙值參數(shù)O，它定義了星形/玫瑰花的方向。如果星形/玫瑰花結(jié)在直角三角形的斜邊上有尖刺，則O = OH，如果沒有，則O = OL(圖3)。(用于確定此方向的直角三角形將在下一節(jié)中說(shuō)明。)因此，玫瑰將由參數(shù) (N, R, θ,φ, S,O) 定義，星形將由參數(shù)(N, R, θ, S,O)定義。

圖2：(a)星形和(b)玫瑰花形參數(shù)。

圖3：(a) O = OH (b) O = OL取向的10角星形和10角玫瑰花結(jié)。

3.3準(zhǔn)周期密鋪

數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家羅杰·彭羅斯在20世紀(jì)70年代提出了使用兩塊拼塊的準(zhǔn)周期拼塊的發(fā)現(xiàn)[22]已經(jīng)引起了幾位科學(xué)家的極大關(guān)注。De Bruijn給出了基于五邊形的準(zhǔn)周期密鋪的代數(shù)描述[7，8]。已經(jīng)提出了幾種技術(shù)來(lái)產(chǎn)生準(zhǔn)周期密鋪，例如來(lái)自高維的切割和投影方法[9]和廣義方法[27]。菱形的準(zhǔn)周期拼塊(圖4)將用作底層子網(wǎng)格，其拼塊將使用玫瑰花形或星形圖案裝飾。

圖4：(a)五邊形和(c)十邊形密鋪以及(b)它們相關(guān)的拼塊。

4 .建議方法

根據(jù)幾位科學(xué)家的定義[15,20,25]，準(zhǔn)周期性可以解釋為由特殊的拼塊邊緣和拼塊頂點(diǎn)標(biāo)記保證的非周期性情況。如果能從一個(gè)有保證的準(zhǔn)周期密鋪的代表性密鋪塊中推導(dǎo)出無(wú)標(biāo)記的歷史密鋪，則可以認(rèn)為它是準(zhǔn)周期密鋪，并且由此推導(dǎo)出的準(zhǔn)周期密鋪可以擴(kuò)展為整個(gè)平面的準(zhǔn)周期密鋪[20,25]。近似值是由拼塊類型和準(zhǔn)周期圖案的拼塊組合衍生出來(lái)的周期圖案[20]。本方法所產(chǎn)生的圖形是由準(zhǔn)周期拼接導(dǎo)出的。

生成過(guò)程(圖6)從提取準(zhǔn)周期密鋪的菱形開始。然后，每個(gè)拼塊會(huì)被分成幾個(gè)對(duì)稱的直角三角形。如圖5所示，菱形被分成四個(gè)相同的直角三角形，正方形被分成八個(gè)相同的直角三角形。具有最小角度的拼塊將被稱為主拼塊并標(biāo)記為PTi，并且其對(duì)應(yīng)的直角三角形將被稱為主三角形并標(biāo)記為PTr(圖6)。因此，拼塊(模板單元)內(nèi)容的構(gòu)造可以簡(jiǎn)化為生成其對(duì)應(yīng)的直角三角形(模板主題)的內(nèi)容(圖6)。

圖5：(a, b)將菱形劃分為直角三角形(c)將正方形劃分為直角三角形。玫瑰結(jié)可以集中在突出的紅色角落。

圖6：所提方法的步驟。(a)初始準(zhǔn)周期密鋪，(b)密鋪的密鋪及其對(duì)應(yīng)的直角三角形的密鋪，(c)模板圖案的構(gòu)造，(d)單元圖案的生成，(e)單元圖案在密鋪中的插入。

4.1模板主題的構(gòu)建

模板主題步驟的構(gòu)建由四個(gè)操作組成:分割(徑向網(wǎng)格的生成)、第一半花瓣的構(gòu)建、花結(jié)的部分構(gòu)建，以及最后間隙主題的構(gòu)建。

4.1.1徑向網(wǎng)格。從前面的分析可以得出結(jié)論，拼塊包含部分星形/玫瑰形圖案。具有給定的準(zhǔn)周期密鋪的兼容玫瑰花結(jié)階N由以下等式確定:

其中，ω為PTi的最小角度，k為非空整數(shù)。玫瑰花形的半徑R可以由不等式來(lái)定義

其中I和L分別是PTr直角的最小邊和最大邊。圖7顯示了在R = 1和R = 1/2的情況下，薄菱形角上的玫瑰花形排列。星形/玫瑰形可以構(gòu)建在放射狀網(wǎng)格上。為了在PTr內(nèi)得到這個(gè)徑向網(wǎng)格，根據(jù)玫瑰花結(jié)的順序?qū)⒚總€(gè)角分成x個(gè)相等的角度:x = β/(π/N)(圖8(a))，其中β是角上的角度。

圖7：(A)Pti和它的Ptr，(b)在半徑R = 1的相應(yīng)頂點(diǎn)處的花的排列，和(c)R = 1/2的花的排列；重疊區(qū)域有陰影。

4.1.2前半瓣的構(gòu)造。放射狀網(wǎng)格的每個(gè)分區(qū)將包含半瓣星形/玫瑰結(jié)。玫瑰花半花瓣可以用以下步驟構(gòu)造:首先，我們從點(diǎn)K(定義半徑R和玫瑰花的方向)到角CEK的平分線繪制線段S0 = KG，其中EK是K上BC的垂線(圖8(a)和8(b))。然后，我們繪制從G到除法界的第二條線段S1(圖8(c))。線段S0和S1分別定義了花結(jié)的參數(shù)θ和φ。線段S1被認(rèn)為是一條光線，通過(guò)分割角傳播，連續(xù)的反射在分割角的邊界交替發(fā)生(如果入射角不同于π/2)，產(chǎn)生線段S2，…， SS(圖8(c)、8(d)、8(e))，其中S為圖3(b)中描述的花結(jié)參數(shù)。

圖8：(a - e)參數(shù)為(10, l = AC,π/10,π/10, 3, OH)的花結(jié)半瓣的構(gòu)造步驟，(f) 10角星的前半瓣。

如果θ = φ，則S0和S1與CEK角平分線對(duì)稱，則半花瓣僅從線段S0導(dǎo)出。同樣的步驟用于生成星的半瓣。這可以通過(guò)去掉點(diǎn)g來(lái)實(shí)現(xiàn)。線段S0直接到達(dá)除法的邊界。最后一條線段是SS?1(圖8(f))。

4.1.3星形/玫瑰形部件的構(gòu)造。花結(jié)部分的構(gòu)建是通過(guò)另一半花瓣的生成。這是通過(guò)對(duì)第一半花瓣應(yīng)用鏡面反射來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如圖9所示。

圖9：另一半花瓣的構(gòu)造:(a)在BC斜邊的右平分線中應(yīng)用鏡面反射，以及(b，c)在BCA角的徑向網(wǎng)格線中應(yīng)用鏡面反射。

4.1.4間隙主題的構(gòu)建。在伊斯蘭星形圖案的制作中，玫瑰花的構(gòu)造部分之間的空白是最容易遇到的也是最重要的問(wèn)題。這個(gè)空間將包含一個(gè)間隙主題，連接圖案的玫瑰花。生成這個(gè)間隙圖案的最簡(jiǎn)單方法是在間隙區(qū)域內(nèi)擴(kuò)展玫瑰花的穗狀花序。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，我們首先列出峰值;如果尖峰位于三角形的一側(cè)，那么它將被命名為反射點(diǎn)。其他尖峰被稱為延伸點(diǎn)。

用一個(gè)延伸點(diǎn)來(lái)延伸每條邊，當(dāng)它遇到另一條延伸的或反射的邊時(shí)，或者當(dāng)它到達(dá)三角形的一邊時(shí)，就把它切掉。每條有反射點(diǎn)的邊都被認(rèn)為是一條光線。這種光線在邊上被反射，直到它遇到延伸的或反射的邊或到達(dá)三角形的邊。如果每個(gè)邊的端點(diǎn)(圖10(b)中的點(diǎn)P3)位于間隙區(qū)域內(nèi)，則每個(gè)邊的反射結(jié)果是可以接受的。對(duì)于具有共享延伸點(diǎn)的邊，如果兩個(gè)端點(diǎn)都在間隙區(qū)域內(nèi)(圖10(b)中的點(diǎn)P1和P2)，則接受其延伸的結(jié)果。這個(gè)條件確保了在每個(gè)擴(kuò)展點(diǎn)的完美交叉。如果滿足以下條件，端點(diǎn)Pi在間隙區(qū)域內(nèi):

(1) Pi在基本區(qū)域內(nèi)或在一側(cè)。

(2)對(duì)于圖案中的每個(gè)星/玫瑰圖，V Pi > RV，其中V和RV分別是以V為中心的星/玫瑰圖的中心和半徑，V P是玫瑰圖的中心和端點(diǎn)Pi之間的歐幾里德距離。

必須重復(fù)延伸/反射過(guò)程，直到玫瑰花結(jié)連接。第一次迭代的終點(diǎn)是第二次迭代的起點(diǎn)，依此類推，但是所考慮的間隙區(qū)域保持不變(圖10(c)和10(d))。

圖10：延伸/反射過(guò)程:(a)確定延伸點(diǎn)(綠色)和反射點(diǎn)(紅色)，(b)該過(guò)程的第一次迭代，其中玫瑰花形仍未連接(點(diǎn)P1、P2和P3是第一次迭代的端點(diǎn))，(c)確定該過(guò)程的第二次迭代的延伸點(diǎn)和反射點(diǎn)，(d)該過(guò)程的第二次迭代的結(jié)果，其中一個(gè)片段的反射將被移除，因?yàn)槠涠它c(diǎn)(P3)在間隙區(qū)域(BP3 ≤ RB)之外，以及(e)獲得的模板主題。

通過(guò)遵循相同的步驟和通過(guò)尊重玫瑰花結(jié)的相同參數(shù)，以及相同數(shù)量的延伸/反射過(guò)程的應(yīng)用，將產(chǎn)生相同的拼塊的模板圖案。這些條件確保了相鄰拼塊邊緣上線條圖案的連續(xù)性(圖11(c))。

4.2模板單元的構(gòu)造

模板主題生成后，我們通過(guò)三角形直角邊進(jìn)行鏡面反射，得到每個(gè)菱形的單元主題(圖11(a))。為了構(gòu)建方形的單元主題，我們通過(guò)斜邊應(yīng)用鏡面反射，然后是關(guān)于自由頂點(diǎn)的四重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(圖11(b))。

圖11。(a)用于薄菱形和厚菱形的模板單元的構(gòu)造，(b)用于正方形的模板單元的構(gòu)造，以及(c)確保圖案連續(xù)性的模板單元的布置。(d)胖拼塊的中心元素(由四個(gè)五邊形包圍的菱形)是亞洲Kond tilings的常見主題[15，17]。

4.3圖案的構(gòu)建

在最后一步中，我們將模板單元放在準(zhǔn)周期點(diǎn)陣的點(diǎn)陣中，這被認(rèn)為是一個(gè)潛在的準(zhǔn)周期點(diǎn)陣(圖12)。

圖12：(a)從(b)構(gòu)建的模板單元獲得的十邊形和(c)五邊形伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案。

5結(jié)果和討論

5.1改變參數(shù)

設(shè)計(jì)元素的參數(shù)的數(shù)學(xué)定義允許我們通過(guò)改變一個(gè)或多個(gè)參數(shù)，從相同的準(zhǔn)周期密鋪中得到幾個(gè)圖案。我們將改變前一個(gè)例子(圖12)中玫瑰花結(jié)的半徑R，以允許玫瑰花結(jié)重疊(R = L/2)。在將鏡面反射應(yīng)用于第一半花瓣后，模板圖案的一部分位于PTr之外。該部分將被移除，允許玫瑰花形重疊(圖13(a))。這種技術(shù)使我們能夠避免尋找與重疊的正多邊形相關(guān)的不同構(gòu)型，這些正多邊形被約翰尼斯·開普勒命名為怪物，并在[6，12]中討論。圖14、15和16示出了通過(guò)改變玫瑰花結(jié)參數(shù)獲得的十邊形和五邊形準(zhǔn)周期密鋪的幾種圖案。圖17顯示了使用10角星作為設(shè)計(jì)元素獲得的準(zhǔn)周期圖案。

圖13：生成模板圖案。(a)去掉三角形外的部分，使玫瑰花在細(xì)菱形的陰影區(qū)域重疊;(b)模板主題和胖菱形的單元主題。

圖14：十角形準(zhǔn)周期圖案(左)和五角形準(zhǔn)周期圖案(右)及其相關(guān)的花結(jié)參數(shù)。

圖15：十角形準(zhǔn)周期圖案(左)和五角形準(zhǔn)周期圖案(右)及其相關(guān)的花結(jié)參數(shù)。這些圖案是通過(guò)改變半徑和相對(duì)于圖14的方向獲得的。

圖16：十角形準(zhǔn)周期圖案(左)和五角形準(zhǔn)周期圖案(右)及其相關(guān)的花結(jié)參數(shù)。這些圖案是通過(guò)改變角度θ和φ的玫瑰花與圖15。

圖17：用10角星作為設(shè)計(jì)元素得到的十角形和五角形圖案。

5.2七邊形和十四邊形圖案

前一節(jié)中描述的生成過(guò)程可以應(yīng)用于裝飾任何類型的準(zhǔn)周期拼塊。七邊形和十四邊形圖案分別包含七重和十四重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。這些密鋪由三個(gè)角度為2π/14、4π/14和6π/14的菱形組成。因此，這些密鋪的兼容玫瑰圖階數(shù)由等式N = k × 2π/(2π/14) = k × 14定義。圖18展示了每種類型的一個(gè)例子。

圖18：(a)構(gòu)建七邊形和(c)四十邊形準(zhǔn)周期圖案，通過(guò)(b)用指示的玫瑰花結(jié)參數(shù)生成模板和單位主題。

5.3八角形圖案

八邊形密鋪由一個(gè)π/4角的菱形和一個(gè)正方形組成。兼容玫瑰花結(jié)階數(shù)由N = k × 8定義。圖19示出了基于這種密鋪構(gòu)造的準(zhǔn)周期圖案的兩個(gè)例子。

圖19：構(gòu)造的八邊形圖案及其玫瑰花結(jié)參數(shù)。

5.4十二邊形圖案

十二邊形密鋪由一個(gè)正方形和兩個(gè)角度分別為π/6和π/3的菱形組成。兼容玫瑰花結(jié)階數(shù)由等式N = k × 12定義。圖20顯示了兩個(gè)構(gòu)建圖案的例子及其相關(guān)的玫瑰花結(jié)參數(shù)。

圖20：生成十二角準(zhǔn)周期圖案及其相關(guān)的模板圖案和單元圖案。

5.5九邊形和十八邊形圖案

九邊形和十八邊形密鋪由π/9，2π/9，3π/9和4π/9四個(gè)角度的菱形組成。兼容玫瑰花結(jié)順序?yàn)镹 = k × 18。圖21舉例說(shuō)明了每種密鋪類型。

圖21：(a)十八邊形準(zhǔn)周期圖案，(b)用玫瑰花結(jié)參數(shù)生成的模板主題和單位主題，以及(c)九邊形準(zhǔn)周期圖案。

5.7特殊情況

第一個(gè)特例是由于從正方形中提取的直角三角形的自由頂點(diǎn)(圖5)。可以在這個(gè)頂點(diǎn)上放置一個(gè)額外的M點(diǎn)星形/玫瑰形。玫瑰花結(jié)階M只取決于頂點(diǎn)的四重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱:M = k × 4。在圖22(a)中，生成的八角形圖案包含一個(gè)附加的八角星，放置在正方形三角形的自由頂點(diǎn)上。圖22(b)示出了具有兩個(gè)玫瑰花形的十邊形圖案。額外的八角形玫瑰花結(jié)(紅色)放置在正方形的直角三角形的自由頂點(diǎn)上。

圖22：(a)在正方形三角形的自由頂點(diǎn)上放置一個(gè)額外的八角星形(紅色)的八角形圖案，以及(b)在正方形三角形的自由頂點(diǎn)上放置一個(gè)額外的八角玫瑰形(紅色)的十二邊形圖案。

在第二種特殊情況下，將在直角三角形的邊上放置一個(gè)額外的玫瑰花結(jié)。圖23示出了五邊形和十邊形圖案，在胖菱形的邊上放置了10點(diǎn)玫瑰形。在八邊形圖案中，在兩個(gè)直角三角形的邊上構(gòu)建一個(gè)八角形玫瑰花結(jié)，并且在具有主16角玫瑰花結(jié)的正方形的三角形的自由頂點(diǎn)上生成一個(gè)八角星(圖24)。

圖23：(a)十邊形圖案和(b)五邊形圖案，在胖菱形(紅色)的直角三角形邊上放置一個(gè)額外的10角玫瑰花形圖案。

圖24：一種八角形圖案，主玫瑰花結(jié)的為16階，一個(gè)八角玫瑰結(jié)放在兩個(gè)直角三角形的兩邊，一個(gè)八角星放在正方形直角三角形的自由頂點(diǎn)上。這個(gè)圖案是著名的阿爾罕布拉周期圖案的一個(gè)準(zhǔn)周期版本，請(qǐng)見http://patterninislamicart.com/archive/main/7/ spain/spa1209

6結(jié)論

在這篇文章中，我們提出了一種新的方法來(lái)生成新的伊斯蘭準(zhǔn)周期圖案的靈感來(lái)自現(xiàn)有的建筑圖案。這種方法從現(xiàn)代已知的現(xiàn)有準(zhǔn)周期密鋪開始，并用受啟發(fā)的圖案裝飾這些密鋪。我們已經(jīng)將構(gòu)造的面積減少到從被認(rèn)為是潛在的準(zhǔn)周期晶格的準(zhǔn)周期密鋪的拼塊中提取的最小三角形。構(gòu)建過(guò)程包括幾個(gè)詳細(xì)描述的步驟。這些步驟允許我們使用星形和玫瑰花形作為設(shè)計(jì)元素來(lái)裝飾直角三角形。這些設(shè)計(jì)元素由它們的參數(shù)很好地定義。然后，我們將一些等距變換應(yīng)用于模板主題，以生成菱形(單元主題)的內(nèi)容。然后將單位主題復(fù)制到準(zhǔn)周期密鋪中。本方法允許我們通過(guò)改變每種密鋪類型的星形/玫瑰形參數(shù)來(lái)獲得一種新的準(zhǔn)周期圖案。

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